Przeczytaj

Już wiesz

Proporcjonalnością odwrotną nazywamy zależność między dwiema wielkościami zmiennymi $x$ , $y$ , określoną wzorem $x \cdot y = a$ , gdzie $a$ jest liczbą różną od zera. O zmiennych $x$ , $y$ mówimy, że są odwrotnie proporcjonalne. Współczynnik $a$ nazywamy współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.

Ważne!

Iloczyn odpowiadających sobie wartości dwóch wielkości odwrotnie proporcjonalnychwielkości odwrotnie proporcjonalnewielkości odwrotnie proporcjonalnych jest stały.

Ważne!

W przypadku rozpatrywania wielkości odwrotnie proporcjonalnych w zagadnieniach z fizyki należy pamiętać o dziedzinie budowanego modelu matematycznego. Zmienne $x$ oraz $y$ muszą być dodatnie. Dodatni jest także współczynnik proporcjonalności odwrotnej $a$ .

Przykład 1

Wskażemy wielkości odwrotnie proporcjonalne w zagadnieniach z fizyki wśród poniższych przykładów:

a) prędkość i czas, przy stałej drodze;

b) prędkość i droga, przy danym czasie;

c) przyspieszenie i czas, przy danej prędkości;

d) przyspieszenie i prędkość, przy stałym czasie;

e) gęstość i objętość, przy ustalonej masie;

f) natężenie i opór, przy stałym napięciu;

g) masa i przyspieszenie, przy danej wartości siły;

h) siła przyciągania ciał i kwadrat odległości między nimi, przy ustalonej masie ciał;

i) siła przyciągania ciał i ich masa, przy danej odległości między ciałami;

j) masa i prędkość, przy ustalonym pędzie;

k) masa i pęd, przy ustalonej prędkości;

l) ciśnienie i pole powierzchni, przy danej sile nacisku;

ł) ciśnienie i siła nacisku, przy danym polu powierzchni;

RQ23H2Wz1qcbX

Odpowiedź
W powyższych przykładach wielkości występujące w a), c), e), f), g), h), j) oraz l) są odwrotnie proporcjonalne, gdyż wraz ze wzrostem jednej z tych wielkości druga maleje tyle samo razy.

Przykład 2

RtzYkX2DWavAR

Ilustracja przedstawia dziewczynę stojącą na zamarzniętej wodzie. — Źródło: Christian Regg, dostępny w internecie: pixabay.com, domena publiczna.

Odpowiemy na pytanie: Dlaczego kładąc się na lodzie zmniejszamy ryzyko załamania się lodu?

Rozwiązanie

Tafla lodu pęka, gdy wywierane jest na nią określone ciśnienie.

Ze wzoru

$p = \frac{F_{n}}{S}$

wynika, że ciśnienie $(p)$ jest odwrotnie proporcjonalne do pola powierzchni $(S)$ , na które działa siła nacisku $(F_{n})$ . Zwiększając pole powierzchni, zmniejszamy ciśnienie wywierane na taflę lodu. Powierzchnia ciała jest kilkunastokrotnie większa od powierzchni stóp, dlatego kładąc się na powierzchni lodu kilkunastokrotnie zmniejszamy ciśnienie, a co za tym idzie zmniejszamy ryzyko załamania się lodu.

Przykład 3

Obliczymy jak będzie zmieniał się czas pokonania pewnej trasy w zależności od prędkości, z jaką będziemy się poruszać. Załóżmy, że jadąc samochodem z prędkością $40 \frac{k m}{h}$ , pokonujemy trasę w ciągu pół godziny. Obliczymy, ile czasu zajmie pokonanie tej trasy:

a) rowerem z prędkością $20 \frac{k m}{h}$ ;

b) hulajnogą z prędkością $10 \frac{k m}{h}$ ;

c) pieszo z prędkością $5 \frac{k m}{h}$ ;

d) pociągiem z prędkością $80 \frac{k m}{h}$ .

Rozwiązanie

Ze wzoru $v = \frac{s}{t}$ wynika, że prędkość $(v)$ jest odwrotnie proporcjonalna do czasu $(t)$ , jeśli droga $(s)$ jest stała.

a) jeśli prędkość zmalała dwukrotnie, to czas wzrośnie dwukrotnie, czyli wyniesie godzinę;

b) jeśli prędkość zmalała czterokrotnie, to czas wzrośnie czterokrotnie, czyli wyniesie $2$ godziny;

c) jeśli prędkość zmalała ośmiokrotnie, to czas wzrośnie ośmiokrotnie, czyli wyniesie $4$ godziny;

d) jeśli prędkość wzrosła dwukrotnie, to czas zmaleje dwukrotnie, czyli wyniesie $15$ minut.

Przykład 4

Sporządzimy wykres zależności między wielkościami opisanymi w przykładzie 3, czyli między wartością prędkości a czasem, przy ustalonej drodze.

Rozwiązanie

Ze wzoru $v = \frac{s}{t}$ wyznaczamy $s$ :

$s = v t$

$s = 40 \frac{k m}{h} \cdot \frac{1}{2} h = 20 k m$

zatem: $v = \frac{20}{t}$

Sporządzimy tabelkę:

$t [h]$	$v [\frac{k m}{h}]$
$\frac{1}{2}$	$40$
$1$	$20$
$2$	$10$
$4$	$5$
$\frac{1}{4}$	$80$

R1VwqKTK16UZh

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą określającą czas od zera do ośmiu oraz osią pionową określającą prędkość od zera do osiemdziesięciu. Wykresem zależności prędkości do czasu jest hiperbola.

Ważne!

Pamiętajmy o dziedzinie. Wykresem tej zależności jest jedna z gałęzi hiperbolihiperbolahiperboli. Wykres sporządzamy tylko dla dodatnich wartości czasu oraz prędkości.

Przykład 5

Obliczymy, o ile procent zmaleje siła przyciągania, jeśli odległość między środkami mas ciał wzrośnie o $25 %$ .

Rozwiązanie

Niech $F$ oznacza siłę przyciągania, $G$ stałą grawitacji, $m_{1}$ oraz $m_{2}$ to masy oddziaływujących grawitacyjnie ciał, natomiast $r$ to odległość między środkami mas ciał. Ze wzoru $F = G \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{r^{2}}$ wynika, że siła przyciągania jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między środkami mas ciał.

Jeśli odległość zwiększymy o $25 %$ , to będzie ona równa $1, 25 r$ , czyli:

$F = G \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{{(1, 25 r)}^{2}}$

$F = G \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{1, 5625 r^{2}}$

$F = \frac{1}{1, 5625} G \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{r^{2}}$

$F = 0, 64 \cdot G \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{r^{2}}$ .

Zatem siła przyciągania stanowi $64 %$ początkowej siły przyciągania, czyli jest mniejsza o $36 %$ .

Słownik

wielkości odwrotnie proporcjonalne

jeżeli wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne to $x \cdot y = a$ , gdzie $a$ jest liczbą stałą

hiperbola

krzywa będąca wykresem funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ , składa się z dwóch gałęzi

Wprowadzenie

Animacja

Słownik