Przeczytaj
Przypomnijmy, że każdemu wektorowi umieszczonemu w układzie współrzędnych możemy przyporządkować dwie współrzędne. Pierwszą interpretujemy jako przesunięcie w poziomie: jeśli jest dodatnia, to przesunięcie następuje w prawo, jeśli ujemna - w lewo. Druga określa przesunięcie w pionie: jeśli jest dodatnia, przesunięcie następuje w górę, jeśli ujemna - w dół. Złożenie obu przesunięć to droga, jaką należy pokonać, aby dostać się od początku wektora do jego końca. Podamy teraz i udowodnimy dwa wzajemnie odwrotne twierdzenia.
Jeżeli wektory w prostokątnym układzie współrzędnych mają równe odpowiednie współrzędne, to są one wektorami równymi.
Niech oraz . Skorzystamy z interpretacji współrzędnych wektorów jako przemieszczenia w pionie i w poziomie, które prowadzą od początku do końca wektora. Możemy zauważyć, że w obu przypadkach, aby z początku wektora dotrzeć do jego końca, należy przemieścić się w poziomie o tę samą liczbę jednostek w tę samą stronę; przemieszczenie w pionie również jest takie samo w obu przypadkach. Oznacza to, że oba trójkąty prostokątne widoczne na rysunkach poniżej są przystające (na mocy cechy bkbcechy bkb), zatem wektory zawarte w przeciwprostokątnych są równe.
Jeśli wektory w układzie współrzędnych są równe, to mają równe współrzędne.
Wektory równe mają ten sam kierunek, zwrot i długość, zatem trójkąty prostokątne zbudowane na tych wektorach jako na przeciwprostokątnych o przyprostokątnych równoległych do osi układu mają równe kąty i przystające przeciwprostokątne. Zatem na mocy cechy KBK są przystające.
Wektory zawarte w przyprostokątnych są wektorami parami równymi w obu trójkątach prostokątnych. Rrasa jaką należy pokonać, aby przemieścić się od początku wektora do końca jest taka sama dla wektorów zawartych w każdej z przeciwprostokątnych. Oznacza to, że wektory zawarte w przeciwprostokątnych mają równe współrzędne.
Powyższe dwa twierdzenia można zapisać jako jedno:
Wektory w układzie współrzędnych są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe współrzędne.
Wyznaczymy wartości parametru tak, aby wektory o współrzędnych oraz były równe.
Zgodnie z kryterium równości wektorów w układzie współrzędnychkryterium równości wektorów w układzie współrzędnych wektory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe współrzędne. Wobec tego, wektory będą równe dokładnie wtedy, gdy spełnione będą równania: i , czyli wystarczy rozwiązać układ
który jest równoważny z układem
.
Jedyną liczbą spełniającą warunki zadania jest liczba .
Dane są punkty , , . Wyznaczymy wierzchołek równoległoboku . Zauważmy, że wektory oraz są równe. Oznacza to, że odpowiednie współrzędne są równe, czyli spełnione są równania: oraz , czyli i . Zatem .
Słownik
twierdzenie orzekające, że wektory w prostokątnym układzie współrzędnych są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe odpowiednie współrzędne
twierdzenie orzekające, że dwa trójkąty są przystające dokładnie wtedy, gdy dwa boki jednego trójkąta są przystające odpowiednio do dwóch boków drugiego trójkąta oraz kąty między tymi bokami w obu trójkątach również są przystające