Warto przeczytać

Ruch bryły sztywnej zazwyczaj jest ruchem złożonym. Jeśli obserwujemy, na przykład, dachujący samochód, to jego ruch jest zarówno ruchem postępowym, jak i obrotowym. Skoro cały samochód zmienia swoje położenie względem jezdni i przydrożnych drzew, to mówimy o ruchu postępowym. Skoro dachuje, czyli obraca się dookoła osi (wokół których nie powinien!), to oczywiście również porusza się ruchem obrotowym. W tym e‑materiale skupimy się na ruchu postępowym.

W ruchu postępowym bryły sztywnej wystarczy, że opiszemy ruch środka jej masy. Omówmy to na przykładzie samochodu i jego ruchu wzdłuż ulicy. W najprostszej sytuacji samochód stoi na poboczu – w osi poziomej nie działają na niego żadne siły, więc pozostaje w spoczynku. Jeśli ruszy, zacznie działać napęd, ale pojawią się opory ruchu, związane z tarciem i oporem powietrza. Jeśli te siły działające na samochód się równoważą, porusza się on ruchem jednostajnym prostoliniowym (Rys. 1.).

Rk729ExFUnvVQ

Rys. 1. Rysunek przedstawia samochód na poziomej powierzchni, zwrócony w prawo. Do środkowego punktu samochodu przyłożone są 4 wektory sił. Wektor siły ciężkości skierowany pionowo w dół ma taka samą długość, jak wektor siły reakcji skierowany pionowo w górę. Wektor siły ciągu skierowany poziomo w prawo ma taka samą długość, jak wektor siły oporów ruchu skierowany poziomo w lewo.

Równania określające jego ruch będą zatem następujące, opisując kolejno drogę, prędkość i przyspieszenie:

Skoro wypadkowa siła działająca na ciało wynosi 0, to jego przyspieszenie również wynosi 0. Zatem jego prędkość jest stała. A droga, jaką to ciało pokonuje, to iloczyn prędkości początkowej i czasu. Powyższe stwierdzenia wynikają z pierwszej zasady dynamiki Newtona. Dla ruchu postępowego mają taką samą postać dla ruchu punktu materialnego, jak i środka masy bryły sztywnej. Bryła ta będzie posiadała również pęd $\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$, a jej energia kinetyczna wyniesie $E_k=\frac{m{v}^2}{2}$.

Co się stanie, jeśli kierowca wciśnie mocniej pedał gazu? Wtedy siła napędu przewyższy siły oporu. Pojawi się niezrównoważona siła – zatem samochód zacznie zwiększać prędkość, czyli poruszać się z przyspieszeniem (Rys. 2.).

R1MmQJAH5XxpC

Rys. 2. Rysunek przedstawia samochód na poziomej powierzchni, zwrócony w prawo. Do środkowego punktu samochodu przyłożone są 4 wektory sił. Wektor siły ciężkości skierowany pionowo w dół ma taka samą długość, jak wektor siły reakcji skierowany pionowo w górę. Wektor siły ciągu skierowany poziomo w prawo ma większą długość niż wektor siły oporów ruchu skierowany poziomo w lewo.

Jak szybko będzie rosła jego prędkość? Przyspieszenie możemy obliczyć z drugiej zasady dynamiki Newtona, będzie to iloraz siły wypadkowej i masy. Wtedy równania ruchu przybiorą następującą postać:

Powyższy przypadek zakłada, że siła wypadkowa będzie miała stałą wartość. Jeśli jednak mówimy o jeździe samochodem, taka sytuacja nie będzie miała miejsca – po jakimś czasie od wciśnięcia gazu samochód osiągnie nową, stałą prędkość ruchu. Dlaczego? Ponieważ siła oporu zależy od prędkości – im szybciej się poruszamy, tym większy musimy pokonać opór. Wartość przyspieszenia jest zatem zmienna w czasie. Zależy również od pola przekroju obiektu, materiału powierzchni, kształtu i innych parametrów aerodynamicznych. Spójrzmy na obiekt prostszy geometrycznie od samochodu – na kulę. Opór powietrza, którego doznaje taka kula, poruszając się z małą prędkością $v$, określa formuła Stokesa:

Grecka litera $\eta$ charakteryzuje ośrodek, w którym porusza się ciało, określa jego lepkość dynamicznąLepkość dynamicznalepkość dynamiczną – formuła ta jest słuszna zarówno dla ruchu w powietrzu, jak i w wodzie oraz dowolnym innym płynie. $r$ oznacza promień kuli, który decyduje o jej przekroju poprzecznym. Minus oznacza, że zwrot wektora oporu jest przeciwny do zwrotu wektora prędkości.

Dla większych prędkości wzór ten przestaje obowiązywać – siła oporu powietrza rośnie z kwadratem prędkości. Co więcej, współczynniki liczbowe zmieniają się w zależności od kształtu ciała: od 0,47 dla kuli przez 1,04 dla kwadratu po 0,04 dla profilu skrzydła samolotu. Obliczenie tych współczynników wymaga znajomości rachunku różniczkowego, tak samo jako opis ruchu, gdy siła ma zmienną wartość. Dla najczęściej spotykanych brył współczynniki te można odczytać z tablic.

Przyjrzyjmy się teraz kołom samochodu. Oczywiste jest dla nas, że wszystkie koła, czy to rowerowe czy samochodowe, mają taki sam kształt – są większymi lub mniejszymi gumowymi okręgami na metalowym stelażu. Ale dlaczego akurat są to koła i okręgi? Dlatego, że zadaniem „koła” jest utrzymywanie środka masy poruszającego się obiektu na tej samej wysokości. A jaka jest definicja okręgu? To zbiór punktów równoodległych od zadanego środka. Jeśli zatem opona się obraca, to bryła sztywna pozostaje na tej samej wysokości. Ale to prawda jedynie w przypadku płaskiej, gładkiej powierzchni. Co będzie, jeśli powierzchnia będzie wyboista? Wtedy wjeżdżając na górkę, środek masy będzie się unosił, a wpadając w dołek, będzie opadał. Chyba że kształt „koła” będzie dostosowany do kształtu powierzchni. Spójrz na Rys. 3. – przy takim kształcie podłoża, kwadratowe „koło” obracając się, utrzymuje środek masy na stałej wysokości. Tak, jak „okrągłe koło” na powierzchni płaskiej.

R13J2mNjwh84M

Rys. 3. Na rysunku pokazano pionowy przekrój przez powierzchnię drogi złożonej ze stykających się ze sobą, poprzecznie ułożonych walców i składający się z jednakowych łuków. Pokazano kolejne położenia kwadratowego „koła”, jadącego po tej drodze. W pierwszym położeniu wierzchołek kwadratu trafia w najniższy punkt drogi na styku dwóch łuków. W drugim położeniu środek boku kwadratu znajduje się w najwyższym punkcie drogi w środku łuku. W trzecim i czwartym położeniu wierzchołek kwadratu znów trafia w najniższy punkt drogi na styku dwóch kolejnych łuków. Położenie środka masy w każdym z położeń kwadratu znajduje się na tej samej wysokości. Przez środki masy kwadratu w kolejnych położeniach prowadzono poziomą linię.

Słowniczek