Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu krzywoliniowego.
Aby opisać położenie punktu P (Rys. 1a.) poruszającego się po okręgu, możemy wprowadzić układ współrzędnych kartezjańskich , tak, aby jego początek znajdował się w środku okręgu. Położenie punktu P jednoznacznie opisuje kąt liczony od osi Ox oraz promień okręgu . Kąt nazywamy drogą kątową lub przemieszczeniem kątowym i mierzymy go w radianachradianradianach. Jeśli oznaczymy przez drogę przebytą przez punkt materialnyPunkt materialnypunkt materialny wzdłuż okręgu (tj. długość jego łuku) w czasie, w którym droga kątowa wynosiła , to zachodzi związek
RvN4W7OYshzaw
Podczas ruchu punktu po okręgu przemieszczenie kątowe ulega zmianie i jest zależne od czasu .
Wartość prędkości kątowej (omega) definiujemy jako stosunek przyrostu (zmiany) kąta , jaki zakreślił punkt do czasu , w którym to nastąpiło:
Jednostką prędkości kątowej jest radian na sekundę (rad/s),
RUoLGCTTA0yAL
Prędkości kątowej przypisujemy wektor. Jest on prostopadły do płaszczyzny okręgu i zaczepiony w jego środku. Zwrot wektora prędkości kątowej określa tzw. reguła śruby prawoskrętnej: układamy cztery palce prawej dłoni w ten sposób, że pokazują nam kierunek przyrostu kąta (ruchu punktu). Odciągnięty od palców kciuk wskazuje zwrot wektora (Rys. 2a.).
R62t4ocg5NJXL
RFPbo0VZNdl9E
W ruchu jednostajnym po okręgu wartość prędkości kątowej jest stała.
Dla ruchu jednostajnego wartość prędkości kątowej można zapisać jako , czyli
.
Korzystając ze związku częstotliwościCzęstotliwość fczęstotliwości z okresemOkres Tokresem , otrzymujemy
.
Przykład: Jeśli punkt materialny poruszający się ruchem jednostajnym po okręgu wykona jeden pełny obieg w ciągu 4 sekund (czyli promień wodzący tego punktu zakreśli kąt 2 rad w ciągu 4 s), to wartość prędkości kątowej tego punktu wyniesie
Zauważ, że nie ma znaczenia, gdzie leży punkt, dla którego obliczyliśmy wartość prędkości kątowej. Prędkość kątowa wszystkich punktów wzdłuż promienia okręgu jest taka sama. Zmienia się natomiast ich prędkość liniowa.
Znając definicję prędkości kątowej, możemy znaleźć związek między prędkością kątową i prędkością liniową punktu.
Wartość prędkości liniowej w ruchu jednostajnym po okręgu definiujemy jako stosunek długości () zakreślonego przez punkt łuku do czasu (), w którym to nastąpiło:
.
Dla pełnego obrotu
,
więc wartość prędkości liniowej dana jest przez . Związek ten jest również prawdziwy dla ruchu niejednostajnego po okręgu, należy jedynie zastrzec, że są to wartości chwilowe prędkości liniowej i kątowej.
Słowniczek
radian
radian
(ang. radian) kąt środkowy w okręgu, dla którego długość łuku jest równa promieniowi okręgu.
1 radian = ,
2 radianów = .
R1QfvTj6HIiyz
Punkt materialny
Punkt materialny
(ang. point particle or ideal particle) ciało obdarzone masą, którego rozmiary w danym zagadnieniu możemy zaniedbać. Wówczas położenie ciała opisujemy jako położenie punktu geometrycznego.
Okres
Okres
(ang. period) czas jednego obiegu okręgu, czyli czas, po którym punkt ponownie znajdzie się w tym samym miejscu.
Częstotliwość
Częstotliwość
(ang. frequency) liczba obiegów wykonanych w jednostce czasu, najczęściej w ciągu 1 sekundy.