Warto przeczytać

Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu krzywoliniowego.

Aby opisać położenie punktu P (Rys. 1a.) poruszającego się po okręgu, możemy wprowadzić układ współrzędnych kartezjańskich $x$, $y$ tak, aby jego początek znajdował się w środku okręgu. Położenie punktu P jednoznacznie opisuje kąt $\phi$ liczony od osi Ox oraz promień okręgu $r$. Kąt $\phi$ nazywamy drogą kątową lub przemieszczeniem kątowym i mierzymy go w radianachradianradianach. Jeśli oznaczymy przez $s$ drogę przebytą przez punkt materialnyPunkt materialnypunkt materialny wzdłuż okręgu (tj. długość jego łuku) w czasie, w którym droga kątowa wynosiła $\phi$, to zachodzi związek

RvN4W7OYshzaw

Rys. 1a. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym zaprezentowano ruch punktu po okręgu, w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Na ilustracji widoczny jest prostokątny układ współrzędnych narysowany czarnymi strzałkami. Oś pionowa układu skierowana jest w górę i podpisana małą literą y. Oś pozioma układu skierowana jest w prawo i podpisana małą literą x. Początek układu współrzędnych opisano cyfrą zero. W układzie widoczny jest okrąg narysowany niebieską i ciągłą linią, którego środek znajduje się w początku układu współrzędnych. Ze środka okręgu poprowadzono promień mała litera r, widoczny w postaci czerwonego odcinka, biegnącego od punktu zero w górę i w prawo do obwodu okręgu. W punkcie gdzie promień styka się z obwodem okręgu zaznaczono czerwony punkt opisany wielką literą P. Jest to punkt poruszający się po okręgu, w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Na obwodzie okręgu zaznaczono pogrubionym i zielonym łukiem drogę, jaką punkt przebył od położenia początkowego znajdującego się na osi mała litera x do aktualnego położenia. Przemieszczenie kątowe odpowiadające tej drodze zaznaczono jako kąt pomiędzy osią mała litera x a promieniem biegnącym do punktu wielka litera P. Przemieszczenie to opisano małą grecką literą fi. Długość łuku okręgu oznaczono wielką literą S.

Podczas ruchu punktu po okręgu przemieszczenie kątowe ulega zmianie i jest zależne od czasu $\phi =\phi \left(t\right)$.

Wartość prędkości kątowej $\omega$ (omega) definiujemy jako stosunek przyrostu (zmiany) kąta $\Delta \phi$, jaki zakreślił punkt do czasu $\mathrm{\Delta }\mathrm{t}$, w którym to nastąpiło:

Jednostką prędkości kątowej jest radian na sekundę (rad/s),

RUoLGCTTA0yAL

Rys. 1b. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym zaprezentowano schematycznie przyrost kąta w czasie dla punktu materialnego poruszającego się po okręgu. Na ilustracji widoczny jest prostokątny układ współrzędnych narysowany czarnymi strzałkami. Oś pionowa układu skierowana jest w górę i opisana małą literą y. Oś pozioma skierowana jest w prawo i opisana małą literą y. początek układu współrzędnych opisano cyfrą zero. W układzie widoczny jest okrąg, narysowany niebieską i ciągłą linią, którego środek pokrywa się z początkiem układu współrzędnych. Na obwodzie okręgu zaznaczono dwa czerwone punkty, do których poprowadzono promienie ze środka okręgu widoczne w postaci czerwonych odcinków. Jedne z punktów widoczny jest w prawej i górnej części obwodu. Podpisany został wielką P z indeksem dolnym jeden. Kąt od osi mała litera x i promieniem biegnącym do tego punktu, zaznaczono w postaci niebieskiego łuku skierowanego do promienia i podpisanego małą grecką literą fi z indeksem dolnym jeden. Drugi punkt widoczny jest w lewej i górnej części obwodu i oznaczony został wielką P z indeksem dolnym dwa. Kąt pomiędzy osią mała litera x i promieniem biegnącym do punktu wielka litera P z indeksem dolnym dwa zaznaczono w postaci zielonego łuku skierowanego do promienia, który opisana małą grecką literą fi z indeksem dolnym dwa. Kąt ostry pomiędzy promieniami biegnącymi do obu punktów oznaczono czerwonym łukiem i podpisano jaka zmiana położenia kątowego wielka grecka litera delta i mała grecka litera fi. Łuk na obwodzie okręgu pomiędzy punktami wielka litera P z indeksem dolnym jeden i wielka litera P z indeksem dolnym dwa zaznaczono pogrubioną, żółtą linią, a jego długość opisano wielka literą B.

Prędkości kątowej przypisujemy wektor. Jest on prostopadły do płaszczyzny okręgu i zaczepiony w jego środku. Zwrot wektora prędkości kątowej określa tzw. reguła śruby prawoskrętnej: układamy cztery palce prawej dłoni w ten sposób, że pokazują nam kierunek przyrostu kąta (ruchu punktu). Odciągnięty od palców kciuk wskazuje zwrot wektora $\overrightarrow{\omega }$ (Rys. 2a.).

R62t4ocg5NJXL

Rys. 2a. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym zaprezentowano wektor prędkości kątowej dla punktu poruszającego się po okręgu, w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Na ilustracji widoczny jest krąg w płaszczyźnie poziomej, narysowany ciągłą i niebieską linią. Na okręgu zaznaczono w postaci czerwonego grotu strzałki, kierunek ruchu punktu materialnego po okręgu. Ruch punktu następuje w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Do środka okręgu przyłożono czerwoną, pionową strzałkę, skierowaną w górę. Strzałka ta symbolizuje wektor prędkości kątowej mała grecka litera omega ze strzałką oznaczającą wektor. Wektor prędkości kątowej jest skierowany w górę zgodnie z reguła prawej dłoni, widocznej na tle strzałki. Chwytając dłonią za wektor prędkości, w taki sposób, że cztery palce ugięte są zgodnie z kierunkiem ruchu punktu po okręgu, kciuk skierowany jest w górę i wskazuje zwrot wektora prędkości kątowej. Pamiętaj, że wektor prędkości kątowej jest prostopadły do płaszczyzny, w której porusza się punkt.

RFPbo0VZNdl9E

Rys. 2b. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym zaprezentowano wektor prędkości kątowej dla punktu poruszającego się po okręgu, w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Na ilustracji widoczny jest krąg w płaszczyźnie poziomej, narysowany ciągłą i niebieską linią. Na okręgu zaznaczono w postaci czerwonego grotu strzałki, kierunek ruchu punktu materialnego po okręgu. Ruch punktu następuje w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Do środka okręgu przyłożono czerwoną, pionową strzałkę, skierowaną w dół. Strzałka ta symbolizuje wektor prędkości kątowej mała grecka litera omega ze strzałką oznaczającą wektor. Wektor prędkości kątowej jest skierowany w dół zgodnie z regułą prawej dłoni, widocznej na tle strzałki. Chwytając dłonią za wektor prędkości, w taki sposób, że cztery palce ugięte są zgodnie z kierunkiem ruchu punktu po okręgu, kciuk skierowany jest w dół i wskazuje zwrot wektora prędkości kątowej. Pamiętaj, że wektor prędkości kątowej jest prostopadły do płaszczyzny, w której porusza się punkt.

W ruchu jednostajnym po okręgu wartość prędkości kątowej jest stała.

Dla ruchu jednostajnego wartość prędkości kątowej można zapisać jako $\omega =\frac{pełnykąt}{okres}$, czyli

Korzystając ze związku częstotliwościCzęstotliwość fczęstotliwości $f$ z okresemOkres Tokresem $T$, otrzymujemy

Przykład: Jeśli punkt materialny poruszający się ruchem jednostajnym po okręgu wykona jeden pełny obieg w ciągu 4 sekund (czyli promień wodzący tego punktu zakreśli kąt 2$\pi$ rad w ciągu 4 s), to wartość prędkości kątowej tego punktu wyniesie

Zauważ, że nie ma znaczenia, gdzie leży punkt, dla którego obliczyliśmy wartość prędkości kątowej. Prędkość kątowa wszystkich punktów wzdłuż promienia okręgu jest taka sama. Zmienia się natomiast ich prędkość liniowa.

Znając definicję prędkości kątowej, możemy znaleźć związek między prędkością kątową i prędkością liniową punktu.

Wartość prędkości liniowej w ruchu jednostajnym po okręgu definiujemy jako stosunek długości ($\Delta s$) zakreślonego przez punkt łuku do czasu ($\Delta t$), w którym to nastąpiło:

Dla pełnego obrotu

więc wartość prędkości liniowej dana jest przez $v=\omega r$. Związek ten jest również prawdziwy dla ruchu niejednostajnego po okręgu, należy jedynie zastrzec, że są to wartości chwilowe prędkości liniowej i kątowej.

Słowniczek

radian

radian

(ang. radian) kąt środkowy w okręgu, dla którego długość łuku $s$ jest równa promieniowi okręgu.

1 radian = $180°/\pi$,

2$\pi$ radianów = $360°$.

R1QfvTj6HIiyz

Ilustracja przedstawia rysunek, na którym zaprezentowano schematycznie miarę kąta ostrego równego jednemu radianowi. Na ilustracji widoczny jest wycinek okręgu złożony z dwóch promieni i fragmentu obwodu pomiędzy zakończeniami promieni. Fragment okręgu narysowano czarną i ciągłą linią. Promienie okręgu opisano małymi literami r. Jeden z promieni biegnie poziomo w prawo a drugi biegnie w prawo i w górę. Długość łuku pomiędzy zakończeniami promieni jest równy długości promieni mała litera r. W takiej sytuacji, kąt ostry pomiędzy promieniami jest równy jednemu radianowi, co oznaczono na rysunku w postaci czerwonego łuku pomiędzy promieniami.