Prosta $y=ax+b$ jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji $y=f\left(x\right)$, jeżeli granica różnicy wartości funkcji $f$ i funkcji liniowej $y=ax+b$ dla $x$ dążącego do $\left(-\infty \right)$ jest równa zero:

RDHIKvbx0BXmk

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych, w którym narysowano wykres funkcji składający się z dwóch kawałków krzywej. Lewy biegnie ukośnie w dół przez drugą ćwiartkę i kawałek pierwszej. W drugiej ćwiartce wykres wypłaszcza się do ukośnej prostej narysowanej linią przerywaną, która podpisana jest jako asymptota ukośna lewostronna. Koniec kawałka krzywej leży na dodatniej półosi nieco dalej w prawo znajduje się początek drugiego kawałka krzywej, który biegnie ukośnie w górę w pierwszej ćwiartce.

Prosta $y=ax+b$ jest asymptotą lewostronną ukośną wtedy i tylko wtedy, gdy

i granice te są właściwe.

Prosta $y=ax+b$ jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji $y=f\left(x\right)$, jeżeli granica różnicy wartości funkcji $f$ i funkcji liniowej $y=ax+b$ dla $x$ dążącego do $+\infty$ jest równa zero:

R19vWDXsTBrjD

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych, w którym narysowano wykres funkcji składający się z dwóch kawałków krzywej. Lewy biegnie ukośnie w dół przez drugą ćwiartkę i kawałek pierwszej. Koniec kawałka krzywej leży na dodatniej półosi nieco dalej w prawo znajduje się początek drugiego kawałka krzywej, który biegnie ukośnie w górę w pierwszej ćwiartce, wypłaszczając się do ukośnej prostej narysowanej linią przerywaną, która podpisana jest jako asymptota ukośna prawostronna.

Prosta $y=ax+b$ jest asymptotą prawostronną ukośną wtedy i tylko wtedy, gdy

i granice te są właściwe.

• Jeżeli funkcja $y=f\left(x\right)$ daje się przedstawić w postaci $y=ax+b+g\left(x\right)$, przy czym spełniony jest warunek:
  $\underset{x\to -\infty }{\lim }g\left(x\right)=0$, to prosta $y=ax+b$ jest asymptotą ukośną lewostronną krzywej $y=f\left(x\right)$.

• Jeżeli funkcja $y=f\left(x\right)$ daje się przedstawić w postaci $y=ax+b+g\left(x\right)$, przy czym spełniony jest warunek:
  $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=0$, to prosta $y=ax+b$ jest asymptotą ukośną prawostronną krzywej $y=f\left(x\right)$.

Sprawdzimy, czy prosta o równaniu: $y=\frac{7}{3}x-\frac{19}{9}$ jest asymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{7x^2-4x+2}{3x+1}$.

Rozwiązanie

Sprawdzamy, czy prosta $y=\frac{7}{3}x-\frac{19}{9}$ jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{7x^2-4x+2}{3x+1}$:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\frac{7x^2-4x+2}{3x+1}-\left(\frac{7}{3}x-\frac{19}{9}\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\frac{9\left(7x^2-4x+2\right)-21x\left(3x+1\right)+19\left(3x+1\right)}{9\left(3x+1\right)}\right]=$

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\frac{63x^2-36x+18-63x^2-21x+57x+19}{9\left(3x+1\right)}\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\frac{37}{9\left(3x+1\right)}\right]=0$

Sprawdzamy teraz, czy prosta $y=\frac{7}{3}x-\frac{19}{9}$ jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{7x^2-4x+2}{3x+1}$:

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left[\frac{7x^2-4x+2}{3x+1}-\left(\frac{7}{3}x-\frac{19}{9}\right)\right]=\underset{x\to \infty }{\lim }\left[\frac{9\left(7x^2-4x+2\right)-21x\left(3x+1\right)+19\left(3x+1\right)}{9\left(3x+1\right)}\right]=$

$=\underset{x\to \infty }{\lim }\left[\frac{63x^2-36x+18-63x^2-21x+57x+19}{9\left(3x+1\right)}\right]=\underset{x\to \infty }{\lim }\left[\frac{37}{9\left(3x+1\right)}\right]=0$

Zatem prosta o równaniu $y=\frac{7}{3}x-\frac{19}{9}$ jest asymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{7x^2-4x+2}{3x+1}$

Wyznaczymy równanie asymptoty ukośnej lewostronnej wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{2x^3+2x}{5x^2-4}$.

Rozwiązanie

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy asymptoty ze wzoru: $a=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$

$a=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^3+2x}{5x^3-4x}=\frac{2}{5}$

Wyznaczamy współczynnik $b$ ze wzoru: $b=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]$

$b=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{2x^3+2x}{5x^2-4}-\frac{2}{5}x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{5\left(2x^3+2x\right)-2x\left(5x^2-4\right)}{5\left(5x^2-4\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{18x}{5\left(5x^2-4\right)}=0$

Zatem równanie asymptoty ukośnej lewostronnej wykresu funkcji $f$ ma postać: $y=\frac{2}{5}x$

Wyznaczymy równanie asymptoty ukośnej prawostronnej wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{-3x^4+2x^3+1}{2x^3-3x}$.

Rozwiązanie

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy asymptoty ze wzoru: $a=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$

$a=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{-3x^4+2x^3+1}{2x^4-3x^2}=-\frac{3}{2}$

Wyznaczamy współczynnik $b$ ze wzoru: $b=\underset{x\to \infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]$

$b=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{-3x^4+2x^3+1}{2x^3-3x}+\frac{3}{2}x\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2\left(-3x^4+2x^3+1\right)+3x\left(2x^3-3x\right)}{b=2\left(2x^3-3x\right)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{4x^3-9x^2+2}{2\left(2x^3-3x\right)}=1$

Zatem równanie asymptoty ukośnej prawostronnej wykresu funkcji $f$ ma postać: $y=-\frac{3}{2}x+1$

Wyznaczymy równania asymptot ukośnych wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^2}{2\left(x-4\right)}$.

Rozwiązanie

Równania asymptot ukośnych wyznaczymy na dwa sposoby.

Sposób 1

Funkcja jest określona, gdy $x-4\ne 0$, więc dziedziną tej funkcji jest zbiór $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{4\right\}$.

Prosta $y=ax+b$ jest asymptotą lewostronną ukośną wtedy i tylko wtedy, gdy

$a=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$ oraz $b=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]$ i granice te są właściwe.

Obliczamy granice:

$a=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{x^2}{2\left(x-4\right)}}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x}{2\left(x-4\right)}=$

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{x}{x}}{2\left(\frac{x}{x}-\frac{4}{x}\right)}=\frac{1}{2\left(1+0\right)}=\frac{1}{2}$.

Zatem:

$a=\frac{1}{2}$.

Mamy teraz: $b=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\frac{x^2}{2\left(x-4\right)}-\frac{1}{2}x\right]$.

Ponieważ

$\frac{x^2}{2\left(x-4\right)}-\frac{1}{2}x=\frac{x^2}{2\left(x-4\right)}-\frac{1}{2}x·\frac{x-4}{x-4}=\frac{x^2}{2\left(x-4\right)}-\frac{x\left(x-4\right)}{2\left(x-4\right)}=$

$=\frac{x^2}{2\left(x-4\right)}-\frac{x^2-4x}{2\left(x-4\right)}=\frac{4x}{2\left(x-4\right)}=\frac{2x}{x-4}$,

to $b=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\frac{x^2}{2\left(x-4\right)}-\frac{1}{2}x\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x}{\left(x-4\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{2x}{x}}{\left(\frac{x}{x}-\frac{4}{x}\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2}{\left(1-\frac{4}{x}\right)}=2$.

Prosta o równaniu $y=\frac{1}{2}x+2$ jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^2}{2\left(x-4\right)}$.

Analogicznie wyznaczamy równanie asymptoty ukośnej prawostronnej:

$a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{x^2}{2\left(x-4\right)}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{2\left(x-4\right)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{x}{x}}{2\left(\frac{x}{x}-\frac{4}{x}\right)}=\frac{1}{2\left(1+0\right)}=\frac{1}{2}$

$b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\frac{x^2}{2\left(x-4\right)}-\frac{1}{2}x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x}{\left(x-4\right)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{2x}{x}}{\left(\frac{x}{x}-\frac{4}{x}\right)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2}{\left(1-\frac{4}{x}\right)}=2$.

Prosta o równaniu $y=\frac{1}{2}x+2$ jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^2}{2\left(x-4\right)}$.

Odpowiedź

Prosta o równaniu $y=\frac{1}{2}x+2$ jest asymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^2}{2\left(x-4\right)}$.

Sposób 2

Rozwiążemy teraz ten przykład korzystając z twierdzenia o wyznaczaniu asymptot ukośnych.

Ponieważ licznik funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^2}{2\left(x-4\right)}$ jest stopnia wyższego niż mianownik, dzielimy licznik przez mianownik:

$\begin{array}{l} \left(x^2+0x+0\right):\left(2x-8\right)=\frac{1}{2}x+2\\ -\left(\underset{¯}{x^2-4x}\right)\\ 0+4x+0\\ \underline{ -\left(4x-16\right)}\\ 0+16 \text{reszta}\end{array}$

Możemy więc funkcję $f\left(x\right)=\frac{x^2}{2\left(x-4\right)}$ zapisać w postaci $y=ax+b+g\left(x\right)$, czyli

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}x+2+\frac{16}{2\left(x-4\right)}$.

Oznaczmy przez $g\left(x\right)=\frac{16}{2\left(x-4\right)}$ i zauważmy, że $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{16}{2\left(x-4\right)}=0$, więc prosta $y=\frac{1}{2}x+2$ jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^2}{2\left(x-4\right)}$.

Podobnie pokazujemy, że prosta $y=\frac{1}{2}x+2$ jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu tej funkcji.

Odpowiedź

Prosta $y=\frac{1}{2}x+2$ jest asymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^2}{2\left(x-4\right)}$.

Wyznaczymy równania asymptot wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^2-3}{x-2}$.

Rozwiązanie

Funkcja jest określona dla $x\ne 2$, zatem: $D_f=\left(-\infty , 2\right)\cup \left(2, \infty \right)$.

Zauważmy, że $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x^2-3}{x-2}=\left[\frac{4-3}{0^{-}}\right]=-\infty$ oraz $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2-3}{x-2}=\left[\frac{4-3}{0^{+}}\right]=\infty$, więc prosta $x=2$ jest asymptotą pionową wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^2-3}{x-2}$.

Ponieważ licznik funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^2-3}{x-2}$ jest stopnia wyższego niż mianownik, dzielimy licznik przez mianownik:

$\begin{array}{l} \left(x^2+0x-3\right):\left(x-2\right)=x+2\\ -\left(\underset{¯}{x^2-2x}\right)\\ 0+2x-3\\ \underline{ -\left(2x-4\right)}\\ 0+1 \text{reszta}\end{array}$

Funkcję $f\left(x\right)=\frac{x^2-3}{x-2}$ zapisujemy w postaci $f\left(x\right)=x+2+\frac{1}{x-2}$.

Prosta $y=x+2$ jest asymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^2-3}{x-2}$ ponieważ $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x-2}=0$ i $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x-2}=0$.

prosta $y=ax+b$ jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji $y=f\left(x\right)$, jeżeli granica różnicy wartości funkcji $f$ i funkcji liniowej $y=ax+b$ dla $x\to -\infty$ jest równa zero

prosta $y=ax+b$ jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji $y=f$, jeżeli granica różnicy wartości funkcji $f\left(x\right)$ i funkcji liniowej $y=ax+b$ dla $x\to +\infty$ jest równa zero