Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Asymptoty wykresów funkcji pozwalają lepiej wyobrazić sobie ich kształt. Asymptoty nie są częścią wykresu, stanowią jedynie linie pomocnicze przy szkicowaniu wykresów.

Są trzy rodzaje asymptot:

  • pionowe,

  • poziome,

  • ukośne.

W poniższym materiale omówimy asymptoty ukośne.

Asymptota ukośna lewostronna wykresu funkcjiasymptota ukośna lewostronna wykresu funkcjiAsymptota ukośna lewostronna wykresu funkcji

Niech funkcja f będzie określona w przedziale -, c, gdzie c.

Asymptota ukośna lewostronna wykresu funkcji
Definicja: Asymptota ukośna lewostronna wykresu funkcji

Prosta y=ax+b jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji y=fx, jeżeli granica różnicy wartości funkcji f i funkcji liniowej y=ax+b dla x dążącego do - jest równa zero:

limx-fx-ax+b=0.
RDHIKvbx0BXmk

Z definicji asymptoty ukośnej lewostronnej wynika, że wykres funkcji dla x dążącego do - coraz bardziej zbliża się do asymptoty.

Asymptota ukośna lewostronna
Twierdzenie: Asymptota ukośna lewostronna

Prosta y=ax+b jest asymptotą lewostronną ukośną wtedy i tylko wtedy, gdy

a=limx-fxx oraz b=limx-fx-ax

i granice te są właściwe.

Asymptota ukośna prawostronna wykresu funkcjiasymptota ukośna prawostronna wykresu funkcjiAsymptota ukośna prawostronna wykresu funkcji

Niech funkcja f będzie określona w przedziale c, , gdzie c.

Asymptota ukośna prawostronna wykresu funkcji
Definicja: Asymptota ukośna prawostronna wykresu funkcji

Prosta y=ax+b jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji y=fx, jeżeli granica różnicy wartości funkcji f i funkcji liniowej y=ax+b dla x dążącego do + jest równa zero:

limx+fx-ax+b=0.
R19vWDXsTBrjD

Z definicji asymptoty ukośnej prawostronnej wynika, że wykres funkcji wraz ze wzrostem argumentów coraz bardziej zbliża się do asymptoty.

Asymptota ukośna prawostronna
Twierdzenie: Asymptota ukośna prawostronna

Prosta y=ax+b jest asymptotą prawostronną ukośną wtedy i tylko wtedy, gdy

a=limx+fxx oraz b=limx+fx-ax

i granice te są właściwe.

Dowód

Jeżeli prosta y=ax+b jest asymptotą ukośną prawostronną krzywej o równaniu y=fx, to zgodnie z definicją asymptoty ukośnej mamy:

limx+fx-ax+b=0, zatem: limx+fx-ax+bx=0.

Wyrażenie: fxx zapisujemy następująco: fxx=fxx-ax+bx+ax+bx.

Ponieważ limx+ax+bx=a, to, korzystając z twierdzenia o granicy sumy dwóch granic, z których każda ma granicę właściwą, otrzymujemy:

limx+fxx-ax+bx+ax+bx=limx+fx-ax+bx+limx+ax+bx=0+a=a.

Aby otrzymać drugą z granic, skorzystamy z równości limx+b=b oraz z twierdzenia o granicy sumy funkcji:

limx+fx-ax+b+limx+b=0+b, więc limx+fx-ax+b+b=b, czyli limx+fx-ax-b+b=limx+fx-ax=b.

Z udowodnionego twierdzenia wynika, że istnienie granic właściwych a=limx+fxx oraz b=limx+fx-ax jest warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby prosta y=ax+b była asymptotą ukośną prawostronną krzywej y=fx.

Podobnie można udowodnić, że istnienie granic właściwych a=limx-fxx oraz b=limx-fx-ax jest warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby prosta y=ax+b była asymptotą ukośną lewostronną krzywej y=fx.

Jeżeli prosta y=ax+b jest jednocześnie asymptotą ukośną prawostronną i lewostronną, to nazywamy ją asymptotą obustronną wykresu funkcji f.

RlWl46MOCCXZJ

Jeżeli współczynnik kierunkowy asymptoty ukośnej wynosi zero, to asymptotę ukośną y=b nazywamy asymptotą poziomą.

Asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej, dlatego też jeśli istnieje asymptota pozioma lewostronna lub prawostronna, to nie badamy istnienia asymptoty ukośnej.

o wyznaczaniu asymptot ukośnych
Twierdzenie: o wyznaczaniu asymptot ukośnych
  • Jeżeli funkcja y=fx daje się przedstawić w postaci y=ax+b+gx, przy czym spełniony jest warunek:
    limx-gx=0, to prosta y=ax+b jest asymptotą ukośną lewostronną krzywej y=fx.

  • Jeżeli funkcja y=fx daje się przedstawić w postaci y=ax+b+gx, przy czym spełniony jest warunek:
    limx+gx=0, to prosta y=ax+b jest asymptotą ukośną prawostronną krzywej y=fx.

Przykład 1

Sprawdzimy, czy prosta o równaniu: y=73x-199 jest asymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji fx=7x2-4x+23x+1.

Rozwiązanie

Sprawdzamy, czy prosta y=73x-199 jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji fx=7x2-4x+23x+1:

limx-7x2-4x+23x+1-73x-199=limx-97x2-4x+2-21x3x+1+193x+193x+1=

=limx-63x2-36x+18-63x2-21x+57x+1993x+1=limx-3793x+1=0

Sprawdzamy teraz, czy prosta y=73x-199 jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji fx=7x2-4x+23x+1:

limx7x2-4x+23x+1-73x-199=limx97x2-4x+2-21x3x+1+193x+193x+1=

=limx63x2-36x+18-63x2-21x+57x+1993x+1=limx3793x+1=0

Zatem prosta o równaniu y=73x-199 jest asymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji fx=7x2-4x+23x+1

Przykład 2

Wyznaczymy równanie asymptoty ukośnej lewostronnej wykresu funkcji fx=2x3+2x5x2-4.

Rozwiązanie

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy asymptoty ze wzoru: a=limx-fxx

a=limx-2x3+2x5x3-4x=25

Wyznaczamy współczynnik b ze wzoru: b=limx-fx-ax

b=limx-2x3+2x5x2-4-25x=limx-52x3+2x-2x5x2-455x2-4=limx-18x55x2-4=0

Zatem równanie asymptoty ukośnej lewostronnej wykresu funkcji f ma postać: y=25x

Przykład 3

Wyznaczymy równanie asymptoty ukośnej prawostronnej wykresu funkcji fx=-3x4+2x3+12x3-3x.

Rozwiązanie

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy asymptoty ze wzoru: a=limxfxx

a=limx-3x4+2x3+12x4-3x2=-32

Wyznaczamy współczynnik b ze wzoru: b=limxfx-ax

b=limx(3x4+2x3+12x33x+32x)=limx2(3x4+2x3+1)+3x(2x33x)2(2x33x)=limx4x39x2+22(2x33x)=1

Zatem równanie asymptoty ukośnej prawostronnej wykresu funkcji f ma postać: y=-32x+1

Przykład 4

Wyznaczymy równania asymptot ukośnych wykresu funkcji fx=x22x-4.

Rozwiązanie

Równania asymptot ukośnych wyznaczymy na dwa sposoby.

Sposób 1

Funkcja jest określona, gdy x-40, więc dziedziną tej funkcji jest zbiór Df=4.

Prosta y=ax+b jest asymptotą lewostronną ukośną wtedy i tylko wtedy, gdy

a=limx-fxx oraz b=limx-fx-ax i granice te są właściwe.

Obliczamy granice:

a=limx-fxx=limx-x22x-4x=limx-x2x-4=

=limx-xx2xx-4x=121+0=12.

Zatem:

a=12.

Mamy teraz: b=limx-fx-ax=limx-x22x-4-12x.

Ponieważ

x22x-4-12x=x22x-4-12x·x-4x-4=x22x-4-xx-42x-4=

=x22x-4-x2-4x2x-4=4x2x-4=2xx-4,

to b=limx-x22x-4-12x=limx-2xx-4=limx-2xxxx-4x=limx-21-4x=2.

Prosta o równaniu y=12x+2 jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji fx=x22x-4.

Analogicznie wyznaczamy równanie asymptoty ukośnej prawostronnej:

a=limx+fxx=limx+x22x-4x=limx+x2x-4=limx+xx2xx-4x=121+0=12

b=limx+x22x-4-12x=limx+2xx-4=limx+2xxxx-4x=limx+21-4x=2.

Prosta o równaniu y=12x+2 jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji fx=x22x-4.

Odpowiedź

Prosta o równaniu y=12x+2 jest asymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji fx=x22x-4.

Sposób 2

Rozwiążemy teraz ten przykład korzystając z twierdzenia o wyznaczaniu asymptot ukośnych.

Ponieważ licznik funkcji fx=x22x-4 jest stopnia wyższego niż mianownik, dzielimy licznik przez mianownik:

   x2+0x+0:2x-8=12x+2-x2-4x¯      0+4x+0       -4x-16              0+16 reszta

Możemy więc funkcję fx=x22x-4 zapisać w postaci y=ax+b+gx, czyli

fx=12x+2+162x-4.

Oznaczmy przez gx=162x-4 i zauważmy, że limx+162x-4=0, więc prosta y=12x+2 jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji fx=x22x-4.

Podobnie pokazujemy, że prosta y=12x+2 jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu tej funkcji.

Odpowiedź

Prosta y=12x+2 jest asymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji fx=x22x-4.

Przykład 5

Wyznaczymy równania asymptot wykresu funkcji fx=x2-3x-2.

Rozwiązanie

Funkcja jest określona dla x2, zatem: Df=-, 22, .

Zauważmy, że limx2-x2-3x-2=4-30-=- oraz limx2+x2-3x-2=4-30+=, więc prosta x=2 jest asymptotą pionową wykresu funkcji fx=x2-3x-2.

Ponieważ licznik funkcji fx=x2-3x-2 jest stopnia wyższego niż mianownik, dzielimy licznik przez mianownik:

   x2+0x-3:x-2=x+2-x2-2x¯     0+2x-3      -2x-4            0+1 reszta

Funkcję fx=x2-3x-2 zapisujemy w postaci fx=x+2+1x-2.

Prosta y=x+2 jest asymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji fx=x2-3x-2 ponieważ limx-1x-2=0limx+1x-2=0.

Słownik

asymptota ukośna lewostronna wykresu funkcji
asymptota ukośna lewostronna wykresu funkcji

prosta y=ax+b jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji y=fx, jeżeli granica różnicy wartości funkcji f i funkcji liniowej y=ax+b dla x- jest równa zero

asymptota ukośna prawostronna wykresu funkcji
asymptota ukośna prawostronna wykresu funkcji

prosta y=ax+b jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji y=f, jeżeli granica różnicy wartości funkcji fx i funkcji liniowej y=ax+b dla x+ jest równa zero