Zadanie 1

Smok Heighwaya to zbiór punktów w prostokątnym układzie współrzędnychukład współrzędnychukładzie współrzędnych, którego generowanie może być wynikiem serii następujących po sobie przekształceń geometrycznychprzekształcenie geometeryczneprzekształceń geometrycznych, zachodzących na danym punkcie $p=(p_x,p_y)$. Można je opisać za pomocą dwóch par równań:

1. $$\begin{array}{l}{p}_x^{\prime }=0,5p_x-0,5p_y\\ p_y^{\prime }=0,5p_x+0,5p_y\end{array}$$
2. $$\begin{array}{l}{p}_x^{\prime }=-0,5p_x-0,5p_y+1\\ p_y^{\prime }=0,5p_x-0,5p_y\end{array}$$

Wybór kolejnego przekształcenia jest losowy z jednakowym prawdopodobieństwem. Generowanie punktów zaczynamy od punktu początkowego $p_0=(0,0)$, wykonując określoną liczbę przekształceń kolejnych punktów.

Korzystając z dostępnych narzędzi informatycznych, wykonaj poniższe polecenia.

Zadanie 1.1

W pliku losowe_liczby.txt znajduje się 10000 wierszy. Każdy z nich zawiera liczbę 1 lub 2. Dla każdej kolejnej liczby w pliku wykonaj przekształcenie poprzedniego punktu zgodnie z podanym sposobem generacji smoka Heighwaya (jeżeli w pliku znajduje się liczba 1, to zostaną wykonane przekształcenia oznaczone numerem 1, a w przypadku liczby 2 – przekształcenia oznaczone jako 2). Utwórz wykres, na którym zaprezentujesz wygenerowane punkty.

W wyniku przekształceń otrzymamy fraktal:

RzJvMJ0n90oba

Ilustracja przedstawia wykres.
W osi X znajduje się skala liczbowa od -0.4 do 1.2.
W osi Y znajduje się skala liczbowa od -0.4 do 0.6.
Na wykresie znajduje się bardzo duża liczba niebieskich kropek, które tworzą spiralne kształty.

Zadanie 1.2

Wyznacz wysokość, a także szerokość utworzonego kształtu w układzie współrzędnych.

Zadanie 1.3

Obrót punktu $p=(p_x,p_y)$ wokół początku układu współrzędnych o kąt $\alpha$ można osiągnąć, stosując następujące przekształcenie:

Dokonaj obrotu utworzonych w podpunkcie 1. punktów o kąt $\alpha =90°$. Utwórz fraktal, na którym przedstawisz dwa bliźniacze smoki Heighwaya – każdy w innym kolorze.

Rozwiązanie:

Zadanie można rozwiązać w całości w arkuszu kalkulacyjnym, jednak prezentowane w tym materiale rozwiązanie będzie pokazane pod postacią pseudokodu, który należy zaimplementować w wybranym języku programowania.

Zadanie 1.1

Zacznijmy od napisania głównej pętli programu, w której wczytywane, a następnie przetwarzane będą kolejne losowe liczby z pliku losowe_liczby.txt.

dopóki plik losowe_liczby.txt się nie skończył, wykonuj:
	wczytaj liczbę a z pliku

W programie należy dodać także definicję aktualnie przetwarzanego punktu początkowego. W tym celu utwórzmy 2 zmienne pX oraz pY typu zmiennoprzecinkowego, które zainicjujemy wartościami 0 – zgodnie z warunkiem początkowym.

pX = 0.0
pY = 0.0

dopóki plik losowe_liczby.txt się nie skończył, wykonuj:
	wczytaj liczbę a z pliku

Wartość wczytanej zmiennej a zadecyduje, któremu z przekształceń 1 lub 2 należy poddać nasz punkt. W pętli głównej programu umieścimy instrukcję warunkową oraz zaimplementujmy przekształcenia podane w treści zadania. W tym celu dodamy w programie nowe zmienne pXNowe, pYNowe, które będą oznaczały współrzędne punktu po przekształceniu. Następnie obliczone wartości przypiszemy do aktualnego punktu – odpowiednio do zmiennych pX oraz pY.

pX = 0.0
pY = 0.0

dopóki plik losowe_liczby.txt się nie skończył, wykonuj:
	wczytaj liczbę a z pliku
        
    jeżeli a == 1 wykonaj:
    	pXNowe = 0.5 * pX - 0.5 * pY
        pYNowe = 0.5 * pX + 0.5 * pY
    w przeciwnym razie wykonaj:
		pXNowe = - 0.5 * pX - 0.5 * pY + 1
        pYNowe = 0.5 * pX - 0.5 * pY
    
    pX = pXNowe
    pY = pYNowe

Utworzony program jest w zasadzie gotowy. Pozostało tylko zamieścić w nim instrukcję, która odpowiadać będzie za rysowanie utworzonych punktów w układzie współrzędnych.

pX = 0.0
pY = 0.0

dopóki plik losowe_liczby.txt się nie skończył, wykonuj:
	wczytaj liczbę a z pliku
        
    jeżeli a == 1 wykonaj:
    	pXNowe = 0.5 * pX - 0.5 * pY
        pYNowe = 0.5 * pX + 0.5 * pY
    w przeciwnym razie wykonaj:
		pXNowe = - 0.5 * pX - 0.5 * pY + 1
        pYNowe = 0.5 * pX - 0.5 * pY
    
    pX = pXNowe
    pY = pYNowe
    
    rysuj punkt (pX, pY)

Zadanie 1.2

Aby wyznaczyć wysokość i szerokość utworzonego kształtu, będziemy potrzebowali dodatkowych zmiennych: xMax, xMin, yMax, yMin, które będą przechowywać maksymalne oraz minimalne wartości współrzędnych wśród wygenerowanych punktów. Za każdym razem po wyznaczeniu nowego punktu trzeba będzie porównywać jego współrzędne, aby wyznaczyć te, które są największe oraz najmniejsze odpowiednio na osiach OX oraz OY. Następnie pozostaje obliczyć różnicę pomiędzy xMax a xMin oraz między yMax a yMax.

pX = 0.0
pY = 0.0

xMax = 0.0
xMin = 0.0
yMax = 0.0
yMin = 0.0

dopóki plik losowe_liczby.txt się nie skończył, wykonuj:
	wczytaj liczbę a z pliku
        
    jeżeli a == 1 wykonaj:
    	pXNowe = 0.5 * pX - 0.5 * pY
        pYNowe = 0.5 * pX + 0.5 * pY
    w przeciwnym razie wykonaj:
		pXNowe = - 0.5 * pX - 0.5 * pY + 1
        pYNowe = 0.5 * pX - 0.5 * pY
    
    pX = pXNowe
    pY = pYNowe
    
    jeżeli pX > xMax wykonaj:
        xMax = pX
    w przeciwnym razie wykonaj:
        xMin = pX

    jeżeli pY > yMax, wykonaj:
        yMax = pY
    w przeciwnym razie wykonaj:
        yMin = pY

wysokość = yMax - yMin
szerokość = xMax - xMin
wypisz wysokość
wypisz szerokość

Dla danych dostarczonych w pliku otrzymamy w tym zadaniu odpowiedź zbliżoną do poniższej:

wysokość = 0.9961862761707053
szerokość = 1.495520476029701

Zadanie 1.3

W wykorzystywanych na egzaminie maturalnym językach programowania dostępne są funkcje oraz stałe matematyczne, dlatego w rozwiązaniu wykorzystamy funkcje trygonometryczne sin() oraz cos(), a także stałą PI. Ponieważ kąt, o który będziemy obracać punkty, jest stały, już na początku możemy obliczyć wartość używanych funkcji trygonometrycznych.

sin(90°) = sin(PI/2)
cos(90°) = cos(PI/2)

W celu realizacji przekształcenia utwórzmy dwie nowe zmienne rX oraz rY, które będą reprezentowały punkt obrócony o 90 stopni. Następnie w pseudokodzie wykorzystamy – podany w zadaniu – wzór wykorzystany do przekształcenia punktów. Kolejną czynnością będzie rysowanie punktów (oryginalnego oraz obróconego) w różnych kolorach – tak jak nakazuje rozwiązanie.

sin90° = sin(PI/2)
cos90° = cos(PI/2)

pX = 0.0
pY = 0.0

dopóki plik losowe_liczby.txt się nie skończył, wykonuj:
	wczytaj liczbę a z pliku
        
    jeżeli a == 1 wykonaj:
    	pXNowe = 0.5 * pX - 0.5 * pY
        pYNowe = 0.5 * pX + 0.5 * pY
    w przeciwnym razie wykonaj:
		pXNowe = - 0.5 * pX - 0.5 * pY + 1
        pYNowe = 0.5 * pX - 0.5 * pY
    
    pX = pXNowe
    pY = pYNowe
    
    rX = pX * cos90° - pY * sin90
    rY = pX * sin90° + pY * cos90
    
    rysuj punkt (pX, pY) w kolorze niebieskim
    rysuj punkt (rX, rY) w kolorze pomarańczowym

Po poprawnej implementacji powyższego pseudokodu, utworzony fraktal będzie prezentował się następująco:

RfrmargmQ7WyV

Ilustracja przedstawia wykres.
W osi X znajduje się skala liczbowa od -0.75 do 1.25.
W osi Y znajduje się skala liczbowa od -0.4 do 1.2.
Na wykresie znajduje się bardzo duża liczba niebieskich i pomarańczowych kropek.
Kropki te pogrupowane są kolorami.
Kropki te tworzą spiralne kształty.

Słownik