Warto przeczytać

Ruch jednostajny po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu krzywoliniowego. Podczas tego ruchu punkt materialnyPunkt materialnypunkt materialny porusza się po torzeTor ruchutorze, który ma kształt okręgu, w ten sposób, że wartość jego prędkości liniowejPrędkość liniowaprędkości liniowej jest stała,$|\overrightarrow{v}|=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$. Oznacza to, że w jednakowych odstępach czasu punkt przebywa taką samą drogę.

W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu możemy zdefiniować okres i częstotliwość ruchu.

Okres $T$ to czas jednego pełnego obiegu, czyli czas, po którym punkt ponownie znajdzie się w położeniu początkowym (Rys. 1.).

Re9gaKTzdDO5Q

Rys. 1. Ilustracja przedstawia okrąg narysowany niebieską linią. Na obwodzie okręgu, w jego najwyższym punkcie zaznaczono czerwony punkt oznaczony wielką literą P. Wewnątrz okręgu, równolegle do jego obwodu biegnie czarna strzałka, która wskazuje kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Linia zaczyna się nieco pod punktem wielka litera P i kończy po zatoczeniu pełnego okręgu. Na końcu linii widoczny jest grot strzałki.

Jednostką okresu - jako czasu - jest oczywiście sekunda, [$T$] = 1 s.

Częstotliwość f opisuje liczbę obiegów wykonanych w ciągu 1 sekundy. Częstotliwość jest odwrotnością okresu:

Jednostką częstotliwości jest herc: $[f]=1\text{Hz}.$

Przykład 1

Jeśli punkt obiega okrąg w ciągu 10 s, wówczas okres jego ruchu wynosi 10 s ($T$ = 10 s), a częstotliwość 0,1 Hz ($f$ = 0,1 Hz).

W ruchu po okręgu, a także w ruchu obrotowym, wielkości takie jak okres, częstotliwość i wartość prędkości liniowej v można zmierzyć niezależnie, ale można też skorzystać ze znanych związków między nimi:

oraz

gdzie $r$ jest promieniem okręgu, po którym porusza się punkt.

Powyższe wzory wynikają bezpośrednio z definicji wartości prędkości liniowej jako stosunku długości $\Delta s$ zakreślonego przez punkt łuku do czasu $\Delta t$, w którym to nastąpiło:

gdzie $\Delta s=2\pi r$ i $\Delta t=T$.

Wystarczy dokonać pomiaru tylko jednej z wielkości opisującej ruch po okręgu, a pozostałe można wyznaczyć z powyższych wzorów.

Przykład 2

ZEGAREK – BUDZIK

R1Ntoo8oPXBbK

Rys. 2. Ilustracja przedstawia zdjęcie czerwonego budzika, z dwoma czerwonymi i owalnymi dzwonkami na górze. Tarcza budzika jest biała. Na tle tarczy widoczne są trzy wskazówki: krótka i gruba wskazówka godzinowa, długa i średniej grubości wskazówka minutowa oraz długa i cienka wskazówka sekundowa. Ruch końca wskazówek można określić, jako przykład ruchu jednostajnego, przy czym parametry ruchu dla każdej ze wskazówek są inne. Zależą one od długości wskazówek i czasu ich obiegu wokół tarczy budzika.

Oblicz częstotliwości ruchu wskazówek zegara (godzinowej, minutowej i sekundowej) oraz prędkości liniowe końców tych wskazówek.

Okresy ruchu wskazówek zegarka doskonale znamy:

dla wskazówki godzinowej $T_g$ = 12 h,

dla wskazówki minutowej $T_m$ = 1 h,

dla wskazówki sekundowej $T_s$ = 1 min.

Długości wskazówek można zmierzyć posługując się linijką. (Czy dostrzegasz, że twój pomiar będzie obarczony błędem?)

Długości wskazówek są promieniami okręgów, po których poruszają się ich końce ($r_g$, $r_m$, $r_s$).

Znając okres i promień okręgu dla każdej ze wskazówek, można obliczyć częstotliwości ich ruchu i prędkości liniowe końców, korzystając z wcześniej podanych wzorów: $f=\frac{1}{T}$ oraz $v=\frac{2\pi r}{T}$.

Przykład 3

RUCH OBROTOWY ZIEMI

Możemy obliczyć częstotliwość oraz prędkość liniową dowolnego punktu na Ziemi, pod warunkiem, że znamy jego szerokość geograficzną.

R1bSnWWsd5k2u

Rys. 3. Ilustracja przedstawia rysunek kuli na którą naniesiona siatkę przypominającą południki i równoleżniki na kuli ziemskiej. Kula symbolizuję Ziemię. Siatka narysowana jest ciemno niebieskim kolorem, z wyjątkiem najdłuższego równoleżnika podpisanego jako cyfra zero i symbol stopni równik. Z górnej części kuli wycięto cząstkę, w taki sposób, że wycięty fragment biegnie wzdłuż fragmentu równika i wzdłuż dwóch południków ku górze. Wewnątrz kuli zaznaczono jej środek w postaci ciemnoniebieskiego punktu. Ze środka kuli poprowadzono czarne linie o długości promieni kuli, jeden w górę a dwa do punktów ograniczających wycięcie. Kąt pomiędzy poziomymi promieniami oznaczono małą grecką literą lambda. Lambda w tym przypadku określa długość geograficzną. Ze środka kuli poprowadzono czerwoną linię do jednego z południków, na którym zaznaczono kolejny czarny punkt. Kąt nachylenia czerwonej linii względem powierzchni poziomej oznaczono małą grecką literą fi. Fi oznacza w tym przypadku szerokość geograficzną.

Znamy okres obrotu Ziemi wokół osi: $T$ = 23h56m4s. Jest to tzw. doba gwiazdowaDoba gwiazdowadoba gwiazdowa. Czas ten można wyznaczyć, obserwując obrót Ziemi względem odległych gwiazd.

Zakładając, że Ziemia jest kulą, możemy określić jej promień $R$. Promień Ziemi możemy wyznaczyć metodą podobną do tej, jaką ok. 200 lat p.n.e. posłużył się Eratostenes (grecki matematyk, filozof, astronom, geograf i poeta, 276 p.n.e. – 194 p.n.e.)

Należy wybrać dwie miejscowości, które mają tę samą długość geograficzną i obliczyć różnicę ich szerokości geograficznych ($\Delta \phi$). Następnie, posługując się mapą, trzeba znaleźć odległość $s$ między tymi miejscowościami. Z proporcji:

otrzymujemy

gdzie $R$ jest promieniem kuli ziemskiej.

Przekształcając powyższy wzór, wyznaczamy szukany promień:

Punkt o szerokości geograficznej $\phi$, znajdujący się na powierzchni kuli ziemskiej, porusza się po okręgu o promieniu (Rys. 4.):

R1bUDjxdyHKyi

Rys. 4. Na ilustracji widoczny jest okrąg narysowany niebieską linią. Przez środek okręgu przechodzie pionowa, czarna i przerywana linia będąca jedną z jego osi symetrii. Ze środka okręgu poprowadzono czarnymi liniami dwa promienie. Jeden z nich jest poziomy i biegnie ze środka okręgu w prawo do jego obwodu. Podpisano go wielką literą R. Drugi promień biegnie w prawo i w górę. Kąt ostry pomiędzy promieniami oznaczono mała grecką literą fi. Na końcu promienia biegnącego w prawo i w górę zaznaczono zielony punkt wielka litera P. Na rysunku widoczne jest również czerwona, pozioma linia łącząca punkt wielka litera P i przerywaną pionową linię stanowiącą oś symetrii okręgu. Długość tej linii opisano małą literą r.

Częstotliwość wszystkich punktów (niezależnie od ich szerokości geograficznej) jest taka sama i wyznaczamy ją ze wzoru:

Prędkość liniową dowolnego punktu na Ziemi o szerokości geograficznej $\phi$ znajdujemy ze wzoru:

Przykład 4

MONOCYKL

R1Y7x3tGkgjjd

Rys. 5. Ilustracje przedstawia zdjęcie roweru jednokołowego leżącego na szarym chodniku. Rower posiada jedno koło z białą oponą oraz siodełko umieszczone dokładnie nad kołem. Ze środka koła wychodzą dwa czarne pedały służące do wprawiania pojazdu w ruch.

Akrobata porusza się na monocyklu ze stałą prędkością wokół areny cyrkowej, mierząc swoją prędkość za pomocą licznika rowerowego. Obserwator mierzy częstotliwość $f$ ruchu akrobaty – ile razy w ciągu określonego czasu okrąży on arenę lub okres $T$ – ile trwa jedno okrążenie.

Z poznanych wzorów na prędkość liniową $v=\frac{2\pi r}{T}$ lub $v=2\pi rf$ akrobata i obserwator mogą wyznaczyć promień areny cyrkowej.

Słowniczek