Przeczytaj
Warto przeczytać
Ruch jednostajny po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu krzywoliniowego. Podczas tego ruchu punkt materialnypunkt materialny porusza się po torzetorze, który ma kształt okręgu, w ten sposób, że wartość jego prędkości liniowejprędkości liniowej jest stała,. Oznacza to, że w jednakowych odstępach czasu punkt przebywa taką samą drogę.
W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu możemy zdefiniować okres i częstotliwość ruchu.
Okres to czas jednego pełnego obiegu, czyli czas, po którym punkt ponownie znajdzie się w położeniu początkowym (Rys. 1.).
Jednostką okresu - jako czasu - jest oczywiście sekunda, [] = 1 s.
Częstotliwość f opisuje liczbę obiegów wykonanych w ciągu 1 sekundy. Częstotliwość jest odwrotnością okresu:
Jednostką częstotliwości jest herc:
Przykład 1
Jeśli punkt obiega okrąg w ciągu 10 s, wówczas okres jego ruchu wynosi 10 s ( = 10 s), a częstotliwość 0,1 Hz ( = 0,1 Hz).
W ruchu po okręgu, a także w ruchu obrotowym, wielkości takie jak okres, częstotliwość i wartość prędkości liniowej v można zmierzyć niezależnie, ale można też skorzystać ze znanych związków między nimi:
oraz
gdzie jest promieniem okręgu, po którym porusza się punkt.
Powyższe wzory wynikają bezpośrednio z definicji wartości prędkości liniowej jako stosunku długości zakreślonego przez punkt łuku do czasu , w którym to nastąpiło:
gdzie i .
Wystarczy dokonać pomiaru tylko jednej z wielkości opisującej ruch po okręgu, a pozostałe można wyznaczyć z powyższych wzorów.
Przykład 2
ZEGAREK – BUDZIK
Oblicz częstotliwości ruchu wskazówek zegara (godzinowej, minutowej i sekundowej) oraz prędkości liniowe końców tych wskazówek.
Okresy ruchu wskazówek zegarka doskonale znamy:
dla wskazówki godzinowej = 12 h,
dla wskazówki minutowej = 1 h,
dla wskazówki sekundowej = 1 min.
Długości wskazówek można zmierzyć posługując się linijką. (Czy dostrzegasz, że twój pomiar będzie obarczony błędem?)
Długości wskazówek są promieniami okręgów, po których poruszają się ich końce (, , ).
Znając okres i promień okręgu dla każdej ze wskazówek, można obliczyć częstotliwości ich ruchu i prędkości liniowe końców, korzystając z wcześniej podanych wzorów: oraz .
Przykład 3
RUCH OBROTOWY ZIEMI
Możemy obliczyć częstotliwość oraz prędkość liniową dowolnego punktu na Ziemi, pod warunkiem, że znamy jego szerokość geograficzną.
Znamy okres obrotu Ziemi wokół osi: = 23h56m4s. Jest to tzw. doba gwiazdowadoba gwiazdowa. Czas ten można wyznaczyć, obserwując obrót Ziemi względem odległych gwiazd.
Zakładając, że Ziemia jest kulą, możemy określić jej promień . Promień Ziemi możemy wyznaczyć metodą podobną do tej, jaką ok. 200 lat p.n.e. posłużył się Eratostenes (grecki matematyk, filozof, astronom, geograf i poeta, 276 p.n.e. – 194 p.n.e.)
Należy wybrać dwie miejscowości, które mają tę samą długość geograficzną i obliczyć różnicę ich szerokości geograficznych (). Następnie, posługując się mapą, trzeba znaleźć odległość między tymi miejscowościami. Z proporcji:
otrzymujemy
gdzie jest promieniem kuli ziemskiej.
Przekształcając powyższy wzór, wyznaczamy szukany promień:
Punkt o szerokości geograficznej , znajdujący się na powierzchni kuli ziemskiej, porusza się po okręgu o promieniu (Rys. 4.):
Częstotliwość wszystkich punktów (niezależnie od ich szerokości geograficznej) jest taka sama i wyznaczamy ją ze wzoru:
Prędkość liniową dowolnego punktu na Ziemi o szerokości geograficznej znajdujemy ze wzoru:
Przykład 4
MONOCYKL
Akrobata porusza się na monocyklu ze stałą prędkością wokół areny cyrkowej, mierząc swoją prędkość za pomocą licznika rowerowego. Obserwator mierzy częstotliwość ruchu akrobaty – ile razy w ciągu określonego czasu okrąży on arenę lub okres – ile trwa jedno okrążenie.
Z poznanych wzorów na prędkość liniową lub akrobata i obserwator mogą wyznaczyć promień areny cyrkowej.
Słowniczek
(ang. point mass) ciało obdarzone masą, którego rozmiary w danym zagadnieniu możemy zaniedbać. Wówczas położenie ciała opisujemy jako położenie punktu geometrycznego.
(ang. trajectory) krzywa, po której porusza się punkt materialny.
(ang. linear speed) do określenia wielkości fizycznej, jaką jest prędkość , dodaje się często przymiotnik „liniowa”, aby podkreślić różnice między tą wielkością a prędkością kątową również podawaną przy opisie ruchu po okręgu.
(ang. stellar day) czas pomiędzy dwoma kolejnymi górowaniami punktu Barana (punktu równonocy wiosennej).