Kątem między prostą a płaszczyzną nazywamy kąt między prostą i jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę .
Rj5eHUdBnFFKI
W przypadku prostopadłościanuprostopadłościanprostopadłościanu będziemy rozpatrywać kilka różnych rodzajów kątów między prostymi (odcinkami) a płaszczyznami. Należą do nich:
1. Kąt między przekątną prostopadłościanu a płaszczyzną podstawy.
Miara kąta między przekątną prostopadłościanu a płaszczyzną jego podstawy jest równa mierze kąta między przekątną prostopadłościanu i przekątną podstawy.
R6Akzduk66EW1
2. Kąt między przekątną prostopadłościanu a ścianą boczną.
Miara kąta między przekątną prostopadłościanu a ścianą boczną jest równa mierze kąta między przekątną prostopadłościanu a przekątną ściany bocznej.
RSP4Ghd6Pxoeb
3. Kąt między przekątną jednej ściany a sąsiednią ścianą prostopadłościanu.
Miara kąta między przekątną ściany a sąsiednią ścianą jest równa mierze kąta między przekątną ściany a krawędzią wspólną obu ścian.
RDYcrEduZbDso
Do wyznaczania przybliżonych miar kątów będziemy używać funkcji trygonometrycznych oraz tablic wartości tych funkcji.
Przykład 1
Wyznaczymy miarę kąta między przekątną prostopadłościanu a płaszczyzną jego podstawy, jeżeli krawędzie prostopadłościanu mają długości ,,.
Rozwiązanie:
Narysujmy prostopadłościan, zaznaczmy odpowiedni kąt, jak na poniższym rysunku.
R17NNJBmzPHmk
Długość przekątnej podstawy obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.
Zatem:
,
.
Zauważmy, że trójkąt zbudowany z przekątnej podstawy, krawędzi bocznej oraz przekątnej prostopadłościanu, jest prostokątny.
Do wyznaczenia miary kąta użyjemy funkcji trygonometrycznej tangens. Wobec tego:
.
Korzystając z tablic wartości funkcji trygonometrycznych, otrzymujemy, że .
Przykład 2
W prostopadłościanie długości krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy , a suma wyrazów tego ciągu wynosi . Wyznaczymy sinus kąta między przekątną prostopadłościanu a ścianą, utworzoną z najdłuższych i najkrótszych krawędzi.
Rozwiązanie:
Narysujmy prostopadłościan i wprowadźmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. Krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy .
RvCQA0sk3JfZv
Ponieważ suma wyrazów ciągu arytmetycznego, który tworzą długości krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka wynosi , do wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie:
,
, czyli .
Wobec tego krawędzie prostopadłościanu mają długości odpowiednio ,,.
Zauważmy, że przekątna prostopadłościanu, przekątna ściany bocznej oraz krawędź podstawy tworzą trójkąt prostokątny.
Obliczmy długość przekątnej prostopadłościanu.
.
Zatem sinus kąta między przekątną prostopadłościanu a ścianą, utworzoną z najdłuższych i najkrótszych krawędzi prostopadłościanu, jest równy sinusowi kąta zaznaczonego na powyższym rysunku.
Wobec tego:
.
Przykład 3
Wyznaczymy miarę kąta z rysunku, jeżeli podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o obwodzie równym , a długość krawędzi bocznej jest o dłuższa od krawędzi podstawy.
RH1JPhakUMRIF
Rozwiązanie:
Wprowadźmy oznaczenia długości krawędzi oraz odcinków w prostopadłościanie.
Zauważmy, że w przekroju mamy trójkąt równoramienny, którego podstawa pokrywa się z przekątną podstawy prostopadłościanu, a ramiona z przekątnymi ścian bocznych prostopadłościanu.
R17KHkYjrGysf
Ponieważ obwód podstawy prostopadłościanu wynosi , zatem do wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie:
, czyli .
Ponieważ długość krawędzi bocznej jest o dłuższa od krawędzi podstawy, zatem .
Długość przekątnej podstawy wynosi oraz .
Rozważmy trójkąt, jak na poniższym rysunku.
R1KW3NYY4XhD1
Korzystając z funkcji trygonometrycznej tangens, otrzymujemy, że:
Jeżeli wykorzystamy tablice wartości funkcji trygonometrycznych, to .
Przykład 4
Długości przekątnej podstawy prostopadłościanu, krawędzi bocznej oraz przekątnej prostopadłościanu są kolejnymi liczbami naturalnymi. Wyznaczymy miarę kąta nachylenia przekątnej tego prostopadłościanu do ściany bocznej o mniejszej powierzchni, jeżeli krawędzie podstawy prostopadłościanu różnią się o .
Rozwiązanie:
Narysujmy prostopadłościan i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.
R73CAibLIKDP0
Ponieważ przekątna podstawy, krawędź boczna oraz przekątna prostopadłościanu tworzą trójkąt prostokątny, zatem do wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
,
,
.
Zatem oraz .
Ponieważ , zatem , , .
Do wyznaczenia wartości wykorzystujemy twierdzenie Pitagorasa i rozwiązujemy równanie:
Do wyznaczenia miary kąta użyjemy funkcji sinus.
Wobec tego .
Korzystając z tablic wartości funkcji trygonometrycznych, odczytujemy że .
Przykład 5
W prostopadłościanie przekątna ma długość i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem . Wyznaczymy tangens kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej o mniejszej powierzchni do płaszczyzny podstawy tego prostopadłościanu, jeżeli jedna z krawędzi podstawy jest dwa razy mniejsza od drugiej krawędzi.
Rozwiązanie:
Narysujmy prostopadłościan, wprowadźmy oznaczenia długości krawędzi i zaznaczmy odpowiednie kąty.
R12qecGNHemi4
Ponieważ przekątna długości jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem , więc:
,
.
Jeżeli jedna z krawędzi podstawy jest dwa razy mniejsza od drugiej krawędzi, to korzystając z twierdzenia Pitagorasa rozwiązujemy równanie:
Wobec tego tangens kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej o mniejszej powierzchni do płaszczyzny podstawy tego prostopadłościanu jest równy:
Słownik
prostopadłościan
prostopadłościan
równoległościan, którego wszystkie ściany są prostokątami
kąt między prostą a płaszczyzną
kąt między prostą a płaszczyzną
kąt pomiędzy prostą i jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę