Kątem $\alpha$ między prostą $m$ a płaszczyzną $\pi$ nazywamy kąt między prostą $m$ i jej rzutem prostokątnym $m\text{'}$ na płaszczyznę $\pi$.

Rj5eHUdBnFFKI

Grafika przedstawia płaszczyznę, która jest podpisana literą $\pi$. Przez płaszczyznę przechodzi prosta m, która przecina płaszczyznę w punkcie A. Na prostej m znajduje się punkt P. Na płaszczyźnie narysowana została prosta m’, która jest rzutem prostokątnym prostej m, zatem również przechodzi prze punkt A. Na prostej m’ znajduje się punkt P’. Linia łącząca punkt P z punktem P’ jest pod kątem prostym do płaszczyzny. Kąt pomiędzy prostą m i m’ jest podpisany literą alfa.

Wyznaczymy miarę kąta między przekątną prostopadłościanu a płaszczyzną jego podstawy, jeżeli krawędzie prostopadłościanu mają długości $3$,$5$,$6$.

Rozwiązanie:

Narysujmy prostopadłościan, zaznaczmy odpowiedni kąt, jak na poniższym rysunku.

R17NNJBmzPHmk

Grafika przedstawia prostopadłościan. Wymiary podstawy prostopadłościanu to 5 i trzy. Długość krawędzi bocznej prostopadłościanu to sześć. W prostopadłościanie została zaznaczona przekątna podstawy prostopadłościanu oraz przekątna prostopadłościanu. Przekątna dolnej podstawy prostopadłościanu jest podpisana literą x. Kąt pomiędzy tymi liniami jest podpisany literą alfa.

Długość przekątnej podstawy obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.

Zatem:

$x^2=5^2+3^2$,

$x=\sqrt{34}$.

Zauważmy, że trójkąt zbudowany z przekątnej podstawy, krawędzi bocznej oraz przekątnej prostopadłościanu, jest prostokątny.

Do wyznaczenia miary kąta użyjemy funkcji trygonometrycznej tangens. Wobec tego:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{6}{\sqrt{34}}=\frac{6\sqrt{34}}{34}=\frac{3\sqrt{34}}{17}$.

Korzystając z tablic wartości funkcji trygonometrycznych, otrzymujemy, że $\alpha \approx 46°$.

W prostopadłościanie długości krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $4$, a suma wyrazów tego ciągu wynosi $36$. Wyznaczymy sinus kąta między przekątną prostopadłościanu a ścianą, utworzoną z najdłuższych i najkrótszych krawędzi.

Rozwiązanie:

Narysujmy prostopadłościan i wprowadźmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. Krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $4$.

RvCQA0sk3JfZv

Grafika przedstawia prostopadłościan. Podstawa prostopadłościanu ma wymiary: $x+4$ oraz $x$. Krawędź boczna prostopadłościanu ma długość: $x+8$. W prostopadłościanie została zaznaczona przekątna prostopadłościanu oraz przekątna ściany bocznej prostopadłościanu, o krótszej krawędzi podstawy. Przekątna prostopadłościanu jest podpisana literą d. Kąt pomiędzy tymi przekątnymi jest podpisany literą alfa.

Ponieważ suma wyrazów ciągu arytmetycznego, który tworzą długości krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka wynosi $36$, do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$x+x+4+x+8=36$,

$3x+12=36$, czyli $x=8$.

Wobec tego krawędzie prostopadłościanu mają długości odpowiednio $8$,$12$,$16$.

Zauważmy, że przekątna prostopadłościanu, przekątna ściany bocznej oraz krawędź podstawy tworzą trójkąt prostokątny.

Obliczmy długość przekątnej prostopadłościanu.

$d=\sqrt{8^2+{12}^2+{16}^2}=\sqrt{64+144+256}=\sqrt{464}=4\sqrt{29}$.

Zatem sinus kąta między przekątną prostopadłościanu a ścianą, utworzoną z najdłuższych i najkrótszych krawędzi prostopadłościanu, jest równy sinusowi kąta zaznaczonego na powyższym rysunku.

Wobec tego:

$\sin \alpha =\frac{12}{4\sqrt{29}}=\frac{3}{\sqrt{29}}=\frac{3\sqrt{29}}{29}$.

Wyznaczymy miarę kąta $\alpha$ z rysunku, jeżeli podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o obwodzie równym $20$, a długość krawędzi bocznej jest o $3$ dłuższa od krawędzi podstawy.

RH1JPhakUMRIF

Grafika przedstawia prostopadłościan. W prostopadłościanie zaznaczone zostały: przekątna podstawy, przekątne dwóch sąsiadujących ścian bocznych oraz linia łącząca wierzchołek, z którego wychodzą obie przekątne ścian bocznych, z środkiem przekątnej podstawy prostopadłościanu, ostatnią zaznaczoną linią, jest ta łącząca wierzchołek dolnej podstawy z środkiem przekątnej podstawy. Przekątne ścian bocznych wraz z przekątną dolnej podstawy tworzą trójkąt. Linia wychodząca z wierzchołka tego trójkąta jest pod kątem prostym do podstawy tego trójkąta. Linia ta wraz z linią łączącą wierzchołek dolnej podstawy z środkiem przekątnej podstawy oraz z krawędzią boczną tworzy trójkąt prostokątny, gdzie kąt prosty znajduje się pomiędzy krawędzią boczną a linią łączącą wierzchołek dolnej podstawy z środkiem przekątnej podstawy. Dłuższą przyprostokątną jest krawędź boczna prostopadłościanu, a krótszą linia łączącą wierzchołek dolnej podstawy z środkiem przekątnej podstawy. Kąt pomiędzy przeciwprostokątną na krótszą przyprostokątną tego trójkąta jest podpisany literą alfa.

Rozwiązanie:

Wprowadźmy oznaczenia długości krawędzi oraz odcinków w prostopadłościanie.

Zauważmy, że w przekroju mamy trójkąt równoramienny, którego podstawa pokrywa się z przekątną podstawy prostopadłościanu, a ramiona z przekątnymi ścian bocznych prostopadłościanu.

R17KHkYjrGysf

Grafika przedstawia prostopadłościan. Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o boku a. Krawędź boczna prostopadłościanu ma długość h. W prostopadłościanie zaznaczone zostały: przekątna podstawy, która jest podpisana literą d, przekątne dwóch sąsiadujących ścian bocznych oraz linia łącząca wierzchołek, z którego wychodzą obie przekątne ścian bocznych, z środkiem przekątnej podstawy prostopadłościanu, ostatnią zaznaczoną linią, jest ta łącząca wierzchołek dolnej podstawy z środkiem przekątnej podstawy. Przekątne ścian bocznych wraz z przekątną dolnej podstawy tworzą trójkąt. Linia wychodząca z wierzchołka tego trójkąta jest pod kątem prostym do podstawy tego trójkąta. Linia ta wraz z linią łączącą wierzchołek dolnej podstawy z środkiem przekątnej podstawy oraz z krawędzią boczną tworzy trójkąt prostokątny, gdzie kąt prosty znajduje się pomiędzy krawędzią boczną a linią łączącą wierzchołek dolnej podstawy z środkiem przekątnej podstawy. Dłuższą przyprostokątną jest krawędź boczna prostopadłościanu, a krótszą linia łączącą wierzchołek dolnej podstawy z środkiem przekątnej podstawy, jest ona podpisana literą x. Kąt pomiędzy przeciwprostokątną na linią x jest podpisany literą alfa.

Ponieważ obwód podstawy prostopadłościanu wynosi $20$, zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$4·a=20$, czyli $a=5$.

Ponieważ długość krawędzi bocznej jest o $3$ dłuższa od krawędzi podstawy, zatem $h=8$.

Długość przekątnej podstawy wynosi $d=5\sqrt{2}$ oraz $x=\frac{1}{2}d=\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Rozważmy trójkąt, jak na poniższym rysunku.

R1KW3NYY4XhD1

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny. Krótsza przyprostokątna jest podpisana literą x, dłuższa przyprostokątna jest podpisana literą h. Kąt pomiędzy przeciwprostokątną a bokiem x jest podpisany literą alfa.

Korzystając z funkcji trygonometrycznej tangens, otrzymujemy, że:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{8}{{\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{2}}}=\frac{16}{5\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{5}$

Jeżeli wykorzystamy tablice wartości funkcji trygonometrycznych, to $\alpha \approx 66°$.

Długości przekątnej podstawy prostopadłościanu, krawędzi bocznej oraz przekątnej prostopadłościanu są kolejnymi liczbami naturalnymi. Wyznaczymy miarę kąta nachylenia przekątnej tego prostopadłościanu do ściany bocznej o mniejszej powierzchni, jeżeli krawędzie podstawy prostopadłościanu różnią się o $1$.

Rozwiązanie:

Narysujmy prostopadłościan i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

R73CAibLIKDP0

Grafika przedstawia prostopadłościan. Podstawa prostopadłościanu ma wymiary: $a$ oraz $a-1$. Krawędź boczna prostopadłościanu ma długość: $x+1$. W prostopadłościanie została zaznaczona przekątna prostopadłościanu o długości $x+2$ oraz przekątna ściany bocznej prostopadłościanu, o krótszej krawędzi podstawy. Przekątna podstawy prostopadłościanu jest podpisana literą x. Kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej i przekątną prostopadłościanu jest podpisana literą alfa.

Ponieważ przekątna podstawy, krawędź boczna oraz przekątna prostopadłościanu tworzą trójkąt prostokątny, zatem do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$x^2+{\left(x+1\right)}^2={\left(x+2\right)}^2$,

$x^2+x^2+2x+1=x^2+4x+4$,

$x^2-2x-3=0$.

Zatem $x_1=\frac{2-4}{2}=-1$ oraz $x_2=\frac{2+4}{2}=3$.

Ponieważ $x>0$, zatem $x=3$, $x+1=4$, $x+2=5$.

Do wyznaczenia wartości $a$ wykorzystujemy twierdzenie Pitagorasa i rozwiązujemy równanie:

${\left(a-1\right)}^2+a^2=3^2$

$2a^2-2a-8=0$

$a^2-a-4=0$

$a_1=\frac{1-\sqrt{17}}{2}<0$

$a_2=\frac{1+\sqrt{17}}{2}>0$

Do wyznaczenia miary kąta $\alpha$ użyjemy funkcji sinus.

Wobec tego $\sin \alpha =\frac{{\displaystyle \frac{1+\sqrt{17}}{2}}}{5}=\frac{1+\sqrt{17}}{10}$.

Korzystając z tablic wartości funkcji trygonometrycznych, odczytujemy że $\alpha \approx 31°$.

W prostopadłościanie przekątna ma długość $d$ i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60°$. Wyznaczymy tangens kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej o mniejszej powierzchni do płaszczyzny podstawy tego prostopadłościanu, jeżeli jedna z krawędzi podstawy jest dwa razy mniejsza od drugiej krawędzi.

Rozwiązanie:

Narysujmy prostopadłościan, wprowadźmy oznaczenia długości krawędzi i zaznaczmy odpowiednie kąty.

R12qecGNHemi4

Grafika przedstawia prostopadłościan. Podstawa prostopadłościanu ma wymiary: a oraz 2 a. Krawędź boczna prostopadłościanu ma długość b. W prostopadłościanie została zaznaczona przekątna prostopadłościanu o długości d oraz przekątna ściany bocznej prostopadłościanu, o krótszej krawędzi należącej do podstawy. Przekątna podstawy prostopadłościanu jest podpisana literą x. Kąt pomiędzy przekątną prostopadłościanu i przekątną podstawy ma wartość 60 stopni.

Ponieważ przekątna długości $d$ jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60°$, więc:

$x=\frac{1}{2}d$,

$b=\frac{d\sqrt{3}}{2}$.

Jeżeli jedna z krawędzi podstawy jest dwa razy mniejsza od drugiej krawędzi, to korzystając z twierdzenia Pitagorasa rozwiązujemy równanie:

${\left(2a\right)}^2+a^2={\left(\frac{1}{2}d\right)}^2$

$a^2=\frac{d^2}{20}$

$a=\frac{d}{\sqrt{20}}=\frac{d\sqrt{5}}{10}$

Wobec tego tangens kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej o mniejszej powierzchni do płaszczyzny podstawy tego prostopadłościanu jest równy:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{b}{a}=\frac{{\displaystyle \frac{d\sqrt{3}}{2}}}{{\displaystyle \frac{d\sqrt{5}}{10}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}·\frac{10}{\sqrt{5}}=\sqrt{15}$

równoległościan, którego wszystkie ściany są prostokątami

kąt pomiędzy prostą i jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę