Przeczytaj
Jak widać, powierzchnie mogą być różnie zakrzywione. Matematycznie te różne rodzaje zakrzywienia powierzchni można przedstawić następująco:
Powyżej widzimy trzy zakrzywione powierzchnie, ale nawet bez specjalistycznej wiedzy widzimy, że każda z nich jest zakrzywiona inaczej. Powiedzielibyśmy potocznie, że powierzchnia pierwsza od lewej jest „wklęsła”, ostatnia jest „wypukła”, a środkowa jest „...płaska”.
Powierzchnia pierwsza z lewej, ta, którą potocznie nazwaliśmy „wklęsłą” to powierzchnia siodłowa. Możemy ją też zaobserwować na przełęczy górskiej. Podczas wędrówki górskiej często zdarza się, że najpierw schodzimy, a potem podchodzimy, przełęcz jest więc punktem najniższym. Powierzchnia siodłowa nazywana jest paraboloidą hiperboliczną.
Środkowa powierzchnia to powierzchnia boczna walca i tylko ją spośród trzech zaprezentowanych można rozwinąć i w rezultacie otrzymać płaszczyznę.
Powierzchnia z prawej strony to dobrze nam znana powierzchnia kuli, czyli sfera.
Tym, co chcemy teraz zrobić, uczeni zajmowali się już od dawna. Euklides w swoim dziele „Elementy” opisał prawa geometrii na płaszczyźnie, ale uczeni zawsze obserwowali świat, widzieli powierzchnie, które nie są płaskie i zastanawiali się, jakie własności mają figury na takich właśnie powierzchniach, tym bardziej, że obserwacje nieboskłonu prowadzone już przez starożytnych astronomów wskazywały, że prawa geometrii na płaszczyźnie nie mają tutaj zastosowania.
Powierzchnia stołu, ściany i wielu innych przedmiotów jest płaska, jak np. na poniższym zdjęciu:
Co to dla nas oznacza matematycznie?
Rozwiązanie
O płaszczyźnie wiemy dużo z lekcji matematyki. Tutaj przypomnimy tylko niektóre z naszych wiadomości:
Na powierzchni płaskiejpowierzchni płaskiej można narysować czworokąt, który ma cztery kąty proste. Można narysować proste równoległe. Można narysować proste prostopadłe. Suma kątów wewnętrznych każdego czworokąta jest równa . Suma kątów wewnętrznych każdego trójkąta jest równa . I wiele innych faktów matematycznych ….
A co się dzieje, jeżeli takie „proste” elementy odbiją się w powierzchni kuli, która nie jest płaszczyzną, a powierzchnią zakrzywionąpowierzchnią zakrzywioną w dobrze nam znany sposób? Popatrzmy na poniższe zdjęcie:
Rozwiązanie
Łatwo widzimy, że elementy w rzeczywistym świecie „proste” uległy zakrzywieniu i to już pozwala nam przypuszczać, że skoro obrazami odcinków są łuki, to być może inne zależności geometryczne, które są prawdziwe na płaszczyźnie, na sferzesferze też będą miały inną postać. To będzie przedmiotem naszej pracy badawczej.
Poniższe zdjęcie przedstawia Cleveland Clinic Lou Ruvo Center for Brain Health autorstwa Franka Gehry'ego:
Powierzchnia tego budynku jest zakrzywiona w inny sposób niż powierzchnia kuli; niektóre jej fragmenty przypominają powierzchnię siodłową. Z jakimi problemami geometrycznymi mogli tutaj spotkać się projektant i wykonawca?
Rozwiązanie
Na pewno wystąpiła tutaj kwestia równoległości i prostopadłości na powierzchni. Poza tym widać czworokąty; jak je konstruować na tak zakrzywionej powierzchni?
Powierzchnię siodłową widać też w polskiej współczesnej architekturze użytkowej. Poniższe zdjęcie przedstawia dach na wejściem do dworca Warszawa Ochota jako przykład paraboloidy hiperbolicznej:
Mówiąc o powierzchniach przedmiotów czy budynków, mamy na myśli powierzchnie zewnętrzne.
Pamiętajmy, że cały czas mamy do czynienia z powierzchniami dwuwymiarowymipowierzchniami dwuwymiarowymi: poruszając się po powierzchni kuli, czyli sferze nie wchodzimy „w głąb” kuli, czyli „pod” sferęsferę, poruszając się po powierzchni budynku z przykładu 3. nie wchodzimy pod tę powierzchnię. Wszystkie figury geometryczne narysowane na omawianych przez nas powierzchniach będą miały dwa wymiary, nie będą przestrzenne.
Słownik
jedno z podstawowych pojęć geometrii; w geometrii elementarnej powierzchnię opisuje się jako pewne zbiory punktów lub prostych o określonych własnościach
jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii; można ją obrazować jako kartę papieru, powierzchnię stołu, czy płaskie pole, wyobrażając sobie je rozciągające się „w nieskończoność”
powierzchnia dwuwymiarowa, która nie jest płaska
powierzchnia kuli; opisuje się ją jako zbiór punktów przestrzeni równoodległych od danego punktu (środka sfery)