Przeczytaj
Niech : będzie funkcją, której dziedziną jest zbiór , a zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych.
Czym jest ciąg argumentów funkcji?
Ciąg którego wszystkie wyrazy należą do dziedziny funkcji , tzn. ciąg spełniający warunek
nazywamy ciągiem argumentów funkcji .
Aby lepiej zrozumieć, czym jest ciąg argumentów funkcji, spójrzmy na poniższe przykłady.
Niech funkcja będzie określona wzorem
Jak widzimy dziedziną funkcji jest przedział .
Sprawdzimy, które z poniższych ciągów są ciągami argumentów funkcji .
Rozwiązanie
Wypiszmy kilka kolejnych wyrazów ciągu: Ponieważ tylko , a pozostałe wyrazy tego ciągu nie należą do dziedziny funkcji , więc ciąg nie jest ciągiem argumentów funkcji .
Jak wiemy, ciąg jako ciąg zbieżny do oraz malejący, jest ciągiem ograniczonymciągiem ograniczonym. Ponieważ , więc dla każdego prawdą jest, że . Zatem wszystkie wyrazy ciągu należą do dziedziny funkcji co oznacza, że ciąg jest ciągiem argumentów funkcji .
Zauważmy, że . Oznacza to, że ciąg nie jest ciągiem argumentów funkcji .
Rozważmy funkcję daną wzorem
Sprawdzimy, czy poniższe ciągi są ciągami argumentów funkcji .
Zanim sprawdzimy, czy podane ciągi są ciągami argumentów funkcji , wyznaczmy jej dziedzinę. Ponieważ pierwiastek kwadratowy możemy obliczyć tylko dla liczb większych lub równych , więc argumenty funkcji muszą spełniać warunek . Rozwiązując uzyskaną nierówność, widzimy, że .
Rozwiązanie
Wypiszmy kolejne wyrazy ciągu :
Jak widzimy, ciąg jest malejący oraz jego pierwszy wyraz jest równy , co oznacza, że wszystkie pozostałe wyrazy są mniejsze od . Zatem spełniony jest warunek (1), czyli ciąg jest ciągiem argumentów funkcji .
Wypiszmy kolejne wyrazy ciągu :
Ciąg jest, jak widać, rosnący. Ponadto . Zatem wszystkie wyrazy ciągu , począwszy od wyrazu jedenastego, nie należą do dziedziny funkcji , zatem ciąg ten nie jest ciągiem argumentów funkcji .
Ponieważ , więc w dowolnym otoczeniu liczby znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkie wyrazy ciągu . W szczególności do otoczenia o promieniu np. , czyli do przedziału , należą prawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkie wyrazy ciągu . Oczywiście żadna liczba należąca do przedziału nie należy do dziedziny funkcji . Zatem ciąg nie jest ciągiem argumentów funkcji .
Aby wykazać, że ciąg nie jest ciągiem argumentów danej funkcji , wystarczy wskazać choć jeden jego wyraz, który nie należy do dziedziny funkcji . W punktach 2. oraz 3. w powyższym przykładzie udało nam się wykazać więcej, tzn., że prawie wszystkie wyrazyprawie wszystkie wyrazy danych ciągów nie należą do dziedziny funkcji . W punkcie 3. już wskazanie, że np. wystarczy do tego, aby uzasadnić, że ciąg nie jest ciągiem argumentów funkcji .
Czym jest ciąg wartości funkcji?
Wiemy już, jak należy rozumieć ciąg argumentów funkcji. Pora, abyśmy przeszli do ciągu wartości danej funkcji.
Jeżeli ciąg jest ciągiem argumentów funkcji : , to ciąg nazywamy ciągiem wartości funkcji .
Spójrzmy na przykład, który zilustruje pojęcie ciągu wartości funkcji.
Niech funkcja : będzie określona wzorem
Rozważmy dwa ciągi
,
.
Wyznaczymy ciągi wartości dla podanych ciągów argumentów funkcji .
Rozwiązanie
Ogólnie ciąg wartości funkcji możemy zapisać, podstawiając w miejsce do wzoru funkcji wzór na wyraz ogólny ciągu argumentów . Zatem w tym przypadku otrzymamy . Interpretację graficzną ciągu argumentów oraz ciągu wartości w tym przypadku przedstawia poniższy rysunek.RvAVICBUppYIy W tym przypadku ciąg argumentów jest równy . Wsatwiając ten wzór w miejsce do wzoru funkcji , dostaniemy postać ciągu wartości . Stąd , , , itd.
Z powyższego przykładu wynika, że postać ciągu wartości funkcji jest ściśle związana z postacią ciągu argumentów tej funkcji i dla różnych ciągów argumentów otrzymamy różne ciągi wartości .
Na koniec spójrzmy na jeszcze jeden przykład.
Niech funkcja : będzie określona wzorem
Zapiszemy ciągi wartości tej funkcji dla ciągów argumentów
,
.
Rozwiązanie
Jak wiemy . Z okresowości funkcji cosinus wynika zatem, że cosinus jest równy dla każdej parzystej wielokrotności . Zatem dla każdego , czyli ciąg wartości funkcji jest w tym przypadku stały i równy .
Ponieważ , więc z okresowości funkcji cosinus wynika zatem, że , , itd. Zatem cosinus jest równy dla każdej nieparzystej wielokrotności . Stąd dla każdego , czyli ciąg wartości funkcji jest w tym przypadku stały i równy .
Słownik
wszystkie wyrazy ciągu poza co najwyżej ich skończoną ilością
ciąg jest ograniczony, jeśli istnieją liczby rzeczywiste takie, że dla każdego zachodzą nierówności