Dane są dwie półpłaszczyzny o wspólnej krawędzi, które dzielą przestrzeń na dwie części.

Kątem dwuściennym nazywamy sumę dwóch półpłaszczyzn o wspólnej krawędzi i jednego z dwóch obszarów, które te półpłaszczyzny wycinają z przestrzeni.

RUSbLKiEUTl4X

Ilustracja przedstawia kąt dwuścienny. Składa się on z dwóch półpłaszczyzn podpisanych jako ściany, połączonych jedną krawędzią. Wnętrzem kąta jest obszar, który półpłaszczyzny wycinają z przestrzeni.

Wspólną krawędź półpłaszczyzn nazywamy krawędzią kąta dwuściennego, a półpłaszczyzny – ścianami kąta dwuściennego.

Na poniższym rysunku ostrosłupaostrosłupostrosłupa czworokątnego zaznaczono pewien kąt dwuścienny. Opiszemy etapy wyznaczania tego kąta.

R18hIeEMcepjG

Ilustracja przedstawia ostrosłup czworokątny z zaznaczoną przekątną podstawy. Z obu końców przekątnej podstawy upuszczono dwie wysokości ścian bocznych ostrosłupa, które spotykają się w jednym punkcie należącym do bocznej krawędzi ostrosłupa. Kąt dwuścienny alfa znajduje się pomiędzy dwoma wysokościami.

Rozwiązanie:

1. Wyznaczamy krawędź wspólną sąsiednich ścian bocznych – jest to krawędź boczna ostrosłupa.

2. Na wybranych ścianach bocznych wykreślamy odcinki, które są prostopadłe do wyróżnionej krawędzi bocznej.

3. Narysowane odcinki są wysokościami trójkątów będących ścianami bocznymi ostrosłupa.

4. Kąt pomiędzy narysowanymi odcinkami jest kątem dwuściennym.

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny $ABCDEFA\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}E\text{'}F\text{'}$.

RouDRv3NkWMEW

Grafika przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny A B C D E F A prim, B prim, C prim, D prim, E prim, F prim. Dolna podstawa składa się z sześciokąta foremnego A B C D E F, natomiast podstawa górna z sześciokąta foremnego A prim, B prim, C prim, D prim, E prim, F prim.

Wyznaczymy krawędź oraz ściany kąta dwuściennego, będącego kątem między sąsiednimi ścianami bocznymi w tym graniastosłupie.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że istnieje dokładnie $12$ takich kątów.

Jednym z nich jest kąt, w którym:

• krawędź to odcinek $CC\text{'}$,

• ściany to półpłaszczyzny $BCC\text{'}B\text{'}$ oraz $CDD\text{'}C\text{'}$.

Pozostałe krawędzie oraz ściany kątów dwuściennych podaje się analogicznie.

Na rysunku przedstawiono sześcian o krawędzi $a$ z zaznaczoną płaszczyzną $\pi$ przechodzącą przez przekątne przeciwległych ścian bocznych. Opiszemy zaznaczone kąty $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ z rysunku.

RArIzBYzbMAib

Ilustracja przedstawia sześcian o krawędzi $a$. Na ilustracji została zaznaczona płaszczyzna znajdująca się pomiędzy przekątnymi naprzeciwległych boków sześcianu oraz przez krawędzie wspólne dla obu podstaw i pozostałych boków. Kąty alfa oznaczono jako kąty pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi sześcianu, kąt beta jako nachylenie płaszczyzny do podstawy sześcianu oraz kąt gamma jako nachylenie płaszczyzny do ściany bocznej.

Rozwiązanie:

Na rysunku zaznaczono poniższe kąty dwuścienne:

$\alpha$ – kąt pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi sześcianu,

$\beta$ – kąt nachylenia płaszczyzny $\pi$ do płaszczyzny podstawy sześcianu,

$\gamma$ – kąt nachylenia płaszczyzny $\pi$ do ściany bocznej sześcianu.

Na rysunku zaznaczono kąt dwuścienny pomiędzy płaszczyzną przechodzą przez przekątną podstawy sześcianu i jeden z wierzchołków górnej podstawy, a płaszczyzną podstawy tego sześcianu. Wyznaczymy długości odcinków $x$ oraz $y$, które są zawarte w ramionach tego kąta, wiedząc o tym, że krawędź prostopadłościanuprostopadłościanprostopadłościanu ma długość $a$.

R1QKjNxYz60Ad

Ilustracja przedstawia sześcian o krawędzi $a$. Na ilustracji została zaznaczona płaszczyzna znajdująca się pomiędzy przekątną podstawy oraz dwoma przekątnymi sąsiadujących ze sobą ścian. naprzeciwległych boków sześcianu oraz przez krawędzie wspólne dla obu podstaw i pozostałych boków. Kąty alfa oznaczono jako kąty pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi sześcianu, kąt beta jako nachylenie płaszczyzny do podstawy sześcianu oraz kąt gamma jako nachylenie płaszczyzny do ściany bocznej.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że odcinek $x$ jest równy połowie długości przekątnej podstawy sześcianu, zatem:

$x=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Długość odcinka $y$ możemy wyznaczyć z twierdzenia Pitagorasa, korzystając z trójkąta prostokątnego, jak na poniższym rysunku.

RnrKLKn9BMPyo

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny. W dolnej części rysunku znajduje się krótsza przyprostokątna, której długość wynosi $x$. Długość drugiej przyprostokątnej wynosi $a$, zaś długość przeciwprostokątnej $y$. Na rysunku zaznaczono także kąt alfa znajdujący się pomiędzy krótszą przyprostokątna i przeciwprostokątną oraz kąt prosty

Zatem:

$x^2+a^2=y^2$

${\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2+a^2=y^2$

$\frac{a^2}{2}+a^2=y^2$

$y^2=\frac{3a^2}{2}$

$y=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

równoległościan, w którym dowolne dwie ściany mające wspólną krawędź są prostopadłe

wielościan, którego podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne trójkątami o wspólnym wierzchołku