Warto przeczytać

Efekt Comptona jest zjawiskiem, w którym dochodzi do oddziaływania światła z elektronami. Wyjaśnijmy najpierw precyzyjnie, co mamy na myśli mówiąc „światło”. Okazuje się, że światło ma dwojaką naturę – w niektórych eksperymentach objawia się jego natura falowa, w innych – korpuskularna (cząstkowa, łac. corpuscŭlum, zdrobniale od „ciało”).

RhmLm5sMKiVRT

Rys. 1. Ilustracja w uproszczeniu przedstawia świecącą żarówkę, z której na lewo wychodzą faliste linie symbolizujące falę, a na prawo kółeczka symbolizujące cząsteczki. Fale i cząsteczki zaznaczono kolorem czerwonym.

Światło o naturze falowej to dobrze znana nam fala elektromagnetyczna (lub promieniowanie elektromagnetyczne). Potwierdzenie faktu, że światło może zachowywać się jak fala, uzyskał w 1803 roku fizyk angielski Thomas Young. Przeprowadził on serię pomysłowych eksperymentów, w których pokazał, że światło ulega dyfrakcji i interferencji, a zatem zjawiskom typowym dla fal. Te XIX‑wieczne doświadczenia ugruntowały pogląd, że światło jest rodzajem fali.

Pogląd ten utrzymał się praktycznie przez 100 lat! Jednak już w tym czasie poznano zjawiska i efekty, których nie można wyjaśnić przy założeniu, że światło ma jedynie naturę falową. Dużym problemem okazało się wyjaśnienie m.in. efektu fotoelektrycznego, polegającego na wybijaniu z powierzchni metali elektronów. Właściwości tego zjawiska stały w sprzeczności z falową naturą światła. W 1900 roku powstała pierwsza praca postulująca cząstkową naturę światła – jej autorem był niemiecki fizyk Max Planck. W 1905 roku, opierając się na pracy Plancka, hipotezę kwantów światła wprowadził Albert Einstein, również pochodzący z ówczesnego Cesarstwa Niemieckiego. Hipoteza ta postulowała, że światło może być traktowane jako strumień cząstek. Najmniejsza „porcja” światła (kwant światła) zwana jest fotonem. Wykorzystując swoją hipotezę, Einstein był w stanie wyjaśnić efekt fotoelektryczny i jego właściwości. W 1921 otrzymał za to wyjaśnienie Nagrodę Nobla.

Wróćmy teraz do efektu Comptona. Bierze on swoją nazwę od nazwiska amerykańskiego fizyka Arthura H. Comptona,. Compton zajmował się badaniem rozpraszania promieniowania rentgenowskiego. Wyniki, które otrzymywał, nie były zgodne z ówczesnym założeniem falowej natury światła. Aby poprawnie wyjaśnić otrzymywane wyniki, Compton, podobnie jak Einstein, musiał przyjąć, że światło składa się ze strumienia cząstek. W 1923 roku fizyk opublikował pracę opisującą nowy efekt i bardzo szybko, bo już w 1927 roku otrzymał za swoje badania nagrodę Nobla! Jak widzisz, w owym czasie nowa, rodząca się gałąź fizyki (zwana obecnie fizyką współczesną) była polem wielu pasjonujących i przełomowych naukowych poszukiwań.

W efekcie Comptona daje o sobie znać zarówno natura falowa, jak i korpuskularna natura światła. Efekt ten polega na oddziaływaniu promieniowania rentgenowskiego i gamma z elektronami. W wyniku tego oddziaływania elektron uzyskuje pewną prędkość i zostaje odrzucony, a promieniowanie zmienia kierunek i długość fali. Gdy promieniowanie, w szczególności światło, zmienia kierunek, mówimy, że zostało rozproszone. Schemat zjawiska Comptona przedstawiamy na Rys. 2.

RRviaPihkLvt4

Rys. 2. Z lewej strony rysunku znajduje się pozioma przerywana linia. Na tle tej linii narysowano falistą linię ze strzałką skierowaną w prawo, a przy niej umieszczono opis „foton padający” oraz grecką literę lambda z indeksem dolnym mała litera f. Strzałka celuje w niebieskie kółeczko ze znakiem minus w środku, nad którym umieszczono opis „spoczywający elektron”. Ze środka kółeczka wychodzą dwie linie przerywane zakończone strzałkami. Jedna skierowana jest ukośnie w górę i w prawo pod kątem opisanym grecką literą phi, na niej znajduje się czerwone kółeczko ze znakiem minus w środku, nad którym jest opis „elektron po odrzucie”. Druga linia przerywana skierowana jest ukośnie w dół i w prawo pod kątem opisanym grecką literą theta, na jej tle narysowano falistą linię ze strzałką na końcu, a przy niej jest opis „foton rozproszony” oraz grecka litera lambda prim z indeksem dolnym mała litera f. Schemat nosi tytuł Rozpraszanie Comptona.

W zjawisku Comptona promieniowanie o długości fali ${\lambda }_f$ pada na swobodny lub słabo związany elektron. Co to znaczy? „Swobodny” elektron nie oddziałuje z żadnymi innymi obiektami, natomiast o elektronie „słabo związanym” mówimy, gdy energia wiązaniaenergia wiązaniaenergia wiązania elektronu jest dużo mniejsza niż energia padającego fotonu. W wyniku oświetlenia, elektron uzyskuje pewną prędkość skierowaną pod kątem $\varphi$ do pierwotnego kierunku rozchodzenia się promieniowania. Promieniowanie z kolei ulega rozproszeniu pod kątem $\theta$ do pierwotnego kierunku, zmienia się także długość fali, a jej nowa wartość wynosi ${\lambda }_f^{\text{'}}$. Aby zrozumieć i opisać, co dzieje się podczas zjawiska Comptona, potraktujmy promieniowanie rentgenowskie (lub gamma) jako strumień cząstek. Gdybyśmy użyli tylko opisu falowego, nie dałoby się wytłumaczyć zmiany długości fali promieniowania. Taki efekt w rozproszeniu klasycznym nie zachodzi. Przy założeniu, że promieniowanie traktujemy jako strumień fotonów, mamy wtedy do czynienia ze sprężystym zderzeniemzderzenie sprężystesprężystym zderzeniem jednej cząstki (fotonu) z drugą cząstką (elektronem). Zderzenie sprężyste możemy już rozpatrywać na gruncie znanych nam praw mechaniki – spełnione muszą być zasady zachowania pędu i energii:

gdzie literami $p$ i $E$ oznaczyliśmy odpowiednio pędy i energie cząstek. Indeksy $f$ oraz $e$ odnoszą się odpowiednio do fotonu i elektronu. Indeksy „primowane” dotyczą wielkości po rozproszeniu, „nieprimowane” – przed rozproszeniem. Udało nam się zatem sprowadzić złożone zagadnienie współczesnej fizyki do prostej mechaniki, jak przy zderzeniu bilardowych kul!

Aby rozwiązać powyższy układ równań i wyznaczyć nieznane wartości pędu i energii po rozproszeniu, musimy rozłożyć wektor pędu na składowe. W naszym dwuwymiarowym przypadku otrzymamy łącznie trzy równania: dwa opisujące pęd (w kierunku poziomym i pionowym) i jedno opisujące energię:

Ile wynosi pęd i energia fotonu? Aby je określić, musimy odwołać się do dwoistej natury promieniowania. Wartość pędu fotonu (cząstki) związana jest z długością fali świetlnej $\lambda$ następującą relacją:

gdzie $h$ = 6,63 · 10Indeks górny -34^-34 J·s jest stałą Plancka. Energia fotonu wynosi:

gdzie $c$ = 3 · 10Indeks górny 8⁸ m/s jest prędkością światła w próżni. Czy dostrzegasz już wzajemne powiązanie natury falowej i cząstkowej? Aby wyjaśnić zjawisko Comptona, musimy potraktować promieniowanie jako strumień cząstek, które, niczym pociski, zderzają się z elektronami i wprawiają je w ruch. Z drugiej strony, nie jesteśmy w stanie określić wartości energii i pędu fotonów bez odwoływania się do ich falowej natury.

A jakie będą pęd i energia elektronu? W zjawisku Comptona odrzucony elektron może uzyskiwać bardzo wysokie prędkości, stanowiące znaczący ułamek prędkości światła. Oznacza to, że elektron należy traktować relatywistycznie. Nie można wtedy zapisywać pędu i energii elektronu w klasyczny sposób, gdyż masa poruszającego się elektronu jest inna od jego masy spoczynkowej (i zależy od prędkości). Relatywistyczny związek między energią $E$ i pędem $p$ jest następujący:

gdzie $m_{0}$ jest masą spoczynkową. Dla elektronu wynosi ona $m_{0}$ = 9,1 · 10Indeks górny -31^-31 kg. Masę spoczynkową elektronu będziemy dalej oznaczać przez $m_{e}$. Oczywiście, jeśli stosujemy wyrażenie relatywistyczne dla poruszającego się elektronu, to takie samo wyrażenie musimy zastosować „po drugiej stronie równania” dla elektronu spoczywającego. Gdy elektron znajduje się w spoczynku (przed oświetleniem), jego pęd jest równy zeru, co oznacza, że energię (spoczynkową) możemy wyrazić jako:

W fizyce relatywistycznej mówimy, że energia spoczynkowa związana jest tylko z faktem, że dane ciało obdarzone jest masą. Jest to sens słynnego wzoru Einsteina – energia i masa są sobie równoważne. Zwiększenie energii ciała powoduje przyrost jego masy.

Analizując Rys. 2. widzimy, że poszczególne składowe pędu możemy określić za pomocą prostych relacji trygonometrycznych. Ostatecznie zatem nasz układ równań przybiera postać przedstawioną poniżej. Pierwsze równanie dotyczy składowej poziomej pędu, drugie składowej pionowej, a trzecie wyraża zasadę zachowania energii.

W typowym eksperymencie laboratoryjnym oświetlamy elektrony promieniowaniem o ustalonej długości fali $\lambda$ i otrzymujemy z reguły kąt rozproszenia fotonu $\theta$. Niewiadomymi w powyższym układzie równań są wtedy $\lambda^{'}$, $p_{e}^{'}$ oraz $\varphi$. Aby otrzymać ostateczne wyrażenie opisujące efekt Comptona, układ ten przekształca się zazwyczaj do postaci przedstawionej poniżej. Zachęcamy Cię do samodzielnego przeprowadzenia tych rachunków. W internecie znajdziesz sporo wskazówek, jak to zrobić.

Taka postać rozwiązania pozwala nam szybko określić różnicę długości fal między fotonem padającym i rozproszonym. Znając długość fali fotonu padającego i kąt rozproszenia fotonu $\theta$ możemy wtedy szybko określić długość fali fotonu rozproszonego. Znając długości fali, możemy obliczyć energie obu fotonów, a następnie, z zasady zachowania energii, energię elektronu po rozproszeniu. Różnicę $\Delta\lambda=\lambda^{'}-\lambda$ nazywamy przesunięciem Comptona lub przesunięciem komptonowskim. Wyrażenie $\lambda_{C}=\frac{h}{m_{e}c}\approx2,43\cdot10^{-12}\hspace{2mm}\textrm{m}$ przyjęto nazywać komptonowską długością fali.

Gdybyśmy chcieli ująć zagadnienie obrazowo, moglibyśmy powiedzieć, że promieniowanie po zderzeniu ze swobodnymi elektronami zmienia kierunek… i kolor – gdyż dochodzi do zmiany długości fali. Stwierdzenie takie nie jest jednak do końca ścisłe. Gdy mówimy o „kolorze światła” mamy na myśli światło z zakresu dla nas widzialnego, tzn. dla długości fal z przedziału ok. 400‑700 nm. Rozpraszania Comptona nie obserwuje się jednak dla promieniowania widzialnego. Efekt ten zachodzi dla promieniowania rentgenowskiego oraz gamma, a zatem dla promieniowania o rzędy wielkości większej energii fotonów (lub o wiele rzędów mniejszych długości fal) niż światło widzialne.

Rozważmy teraz dwa skrajne przypadki rozpraszania Comptona. Pierwszy z nich ma miejsce, gdy kąt rozproszenia fotonu $\theta$ = 0°. Oznacza to, że foton nie zmienia swojego kierunku po zderzeniu z elektronem. Sytuację tę przedstawiliśmy na Rys. 3. Widzimy wtedy, że:

Długość fali fotonu przed i po zderzeniu jest taka sama. Oznacza to, że foton nie przekazuje pędu ani energii elektronowi. Elektron pozostaje więc w spoczynku, a foton porusza się dalej bez rozproszenia.

R1MzvsyplWWCl

Rys. 3. Rysunek stanowią dwie części. W górnej części rysunku znajduje się pozioma przerywana linia. Na jej tle narysowano falistą linię ze strzałką skierowaną w prawo, a w środku falistej linii jest kółeczko z wpisaną małą literą f. Nad tym symbolem fotonu znajdują się dwa wzory wyrażające pęd oraz energię fotonu: pęd p z indeksem dolnym f równa się stała Plancka h podzielona przez długość fali lambda oraz energia wielkie E z indeksem dolnym f równa się stała Plancka h razy prędkość światła c podzielona przez długość fali lambda. Strzałka celuje w niebieskie kółeczko z wpisaną małą literą e, symbolizujące elektron. W dolnej części rysunku znajduje się pozioma przerywana linia. Kółeczko z wpisaną małą literą e znajduje się w tym samym położeniu co na górnym rysunku. Z prawej stronu elektronu znajduje się falista linia ze strzałką skierowaną w prawo, a w środku falistej linii jest kółeczko z wpisaną małą literą f. Pod tym symbolem fotonu powtórzono dwa wzory wyrażające pęd oraz energię fotonu, takie same jak na rysunku górnym. Pomiędzy częściami rysunku umieszczono informację theta równa się zero stopni.

Drugi skrajny przypadek ma miejsce, gdy $\theta$ = 180°. W takiej sytuacji, mówiąc obrazowo, foton „odbija się” od elektronu i zaczyna poruszać się w dokładnie przeciwnym kierunku. Sytuację taką nazywamy rozproszeniem wstecznym fotonu. Mamy wtedy:

W rozproszeniu wstecznym różnica długości fali fotonu przyjmuje najwyższą możliwą wartość. Oznacza to, że foton przekazuje wtedy elektronowi najwyższą możliwą energię i pęd. Sytuację tę przedstawiliśmy na Rys. 4.

RHPoZJTwTfNx5

Rys. 4. Rysunek stanowią dwie części. Na górnej znajduje się pozioma przerywana linia. Na tle tej linii narysowano falistą linię ze strzałką skierowaną w prawo, a w środku falistej linii jest kółeczko z wpisaną małą literą f. Nad tym symbolem fotonu znajdują się dwa wzory wyrażające pęd oraz energię fotonu: pęd p z indeksem dolnym f równa się stała Plancka h podzielona przez długość fali lambda oraz energia wielkie E z indeksem dolnym f równa się stała Plancka h razy prędkość światła c podzielona przez długość fali lambda. Strzałka celuje w niebieskie kółeczko z wpisaną małą literą e, symbolizujące elektron. W dolnej części rysunku pokazana jest sytuacja po zderzeniu fotonu z elektronem. Do kółeczka z wpisaną małą literą e przyłożony jest poziomy wektor prędkości oznaczony małą literą v. Wektor prędkości skierowany jest w prawo. Pod symbolem elektronu znajdują się: mała litera p z indeksem dolnym małe e oraz wielka litera E z indeksem dolnym małe e. Z lewej stronu elektronu znajduje się falista linia ze strzałką skierowaną w lewo, a w środku falistej linii jest kółeczko z wpisaną małą literą f. Pod tym symbolem fotonu znajdują się dwa wzory wyrażające pęd oraz energię fotonu: pęd p prim z indeksem dolnym f równa się stała Plancka h podzielona przez długość fali lambda prim oraz energia wielkie E prim z indeksem dolnym f równa się stała Plancka h razy prędkość światła c podzielona przez długość fali lambda prim. Pomiędzy częściami rysunku umieszczono informację theta równa się 180 stopni.

Słowniczek