Przeczytaj

W tym materiale wyznaczymy wartość sinusa kąta ostrego, gdy dany jest tangens tego kąta. Pokażemy dwie metody rozwiązywania tego typu problemów. Jeden sposób będzie opierał się na konstrukcji trójkąta prostokątnego o odpowiednich własnościach, drugi na związkach algebraicznych między funkcjami trygonometrycznymi.

$I$ metoda: konstrukcyjna

Jeśli $α$ jest kątem ostrym, to możemy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego kąta obliczyć, budując trójkąt prostokątny, w którym stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $α$ do drugiej przyprostokątnej jest równy wartości tangensa tego kąta.

Zapiszmy równanie dla kąta ostrego $α$ : $tg α = k$ , gdzie $k \in ℝ_{+}$ .

Każdą liczbę $k \in ℝ_{+}$ możemy zapisać w postaci $k = \frac{p}{q}$ , gdzie $q \in ℤ_{+}$ .

Po zapisaniu $tg α$ w postaci

tg α = \frac{p}{q},

budujemy trójkąt, w którym przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta $α$ jest długości $p$ , a druga przyprostokątna jest długości $q$ .

Teraz, korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego, wyznaczamy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych.

R1CMI8vY6BqGH

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o bokach p, q i c. C jest przeciwprostokątną trójkąta. Pomiędzy bokami q i c znajduje się kąt alfa.

Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość przeciwprostokątnej:

c^{2} = p^{2} + q^{2}

czyli

c = \sqrt{p^{2} + q^{2}}

Stosując definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym otrzymujemy:

\sin α = \frac{p}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}

oraz

\cos α = \frac{q}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}

Przykład 1

Wyznaczymy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego $α$ , jeśli $tg α = 4$ .

Zauważmy, że

$tg α = 4 = \frac{4}{1}$ .

Zależność $tg α = 4$ zachodzi zatem w dowolnym trójkącie o przyprostokątnych pozostających w stosunku $4 : 1$ , w szczególności w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości $4$ i $1$ . Budujemy więc trójkąt prostokątny o przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $α$ długości $4$ i drugiej przyprostokątnej długości $1$ .

R1Mug6yUWV0nS

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o bokach 4, 1 i c. C jest przeciwprostokątną trójkąta. Pomiędzy bokami 1 i c znajduje się kąt alfa.

Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość przeciwprostokątnej:

$c^{2} = 4^{2} + 1^{2}$ ,

stąd

$c = \sqrt{4^{2} + 1^{2}} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$ .

Z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym:

$\sin α = \frac{4}{\sqrt{17}} = \frac{4 \sqrt{17}}{17}$ i $\cos α = \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{\sqrt{17}}{17}$ .

Odpowiedź: $\sin α = \frac{4 \sqrt{17}}{17}$ i $\cos α = \frac{\sqrt{17}}{17}$ .

Przykład 2

Wiedząc, że $tg α = 2 \frac{2}{3}$ i $α$ jest kątem ostrym, obliczymy wartości $\sin α$ i $\cos α$ .

Ponieważ $tg α = 2 \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$ , to możemy przyjąć, że długości przyprostokątnych wynoszą odpowiednio $8$ i $3$ .

Budujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $α$ o długości $8$ i drugiej przyprostokątnej o długości $3$ .

R1SoO3Ggqfeqs

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o bokach 8 3 i c. C jest przeciwprostokątną trójkąta. Pomiędzy bokami 3 i c znajduje się kąt alfa.

Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość przeciwprostokątnej.

$c^{2} = 8^{2} + 3^{2}$ , stąd

$c = \sqrt{8^{2} + 3^{2}} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}$ .

Z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym wyznaczamy wartości sinusa i cosinusa kąta $α$ :

$\sin α = \frac{8}{\sqrt{73}} = \frac{8 \sqrt{73}}{73}$ i $\cos α = \frac{3}{\sqrt{73}} = \frac{3 \sqrt{73}}{73}$ .

Odpowiedź: $\sin α = \frac{8 \sqrt{73}}{73}$ i $\cos α = \frac{3 \sqrt{73}}{73}$ .

$II$ metoda: wykorzystanie związków między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta

W tej metodzie, korzystając ze związków pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta ostrego:

tg α = \frac{\sin α}{\cos α}

\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1,

pokażemy, jak można wyznaczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, gdy dany jest tangens kąta $α$ w trójkącie prostokątnymtangens kąta $α$ w trójkącie prostokątnym kąta $α$ .

Przyjmując $tg α = k$ i stosując wzór $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ , otrzymujemy $tg α = \frac{\sin α}{\cos α} = k$ i $\cos α \neq 0$ .

\frac{\sin α}{\cos α} = k

, więc

\sin α = k \cdot \cos α

Ponadto $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

Rozwiązujemy układ równań z niewiadomymi $\sin α$ i $\cos α$ .

$\{\begin{cases} \sin α = k \cdot \cos α (1) \\ \sin^{2} α + \cos^{2} α = 1 (2) \end{cases}$

Podstawiając $\sin α = k \cdot \cos α$ do równania $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ , otrzymujemy:

${(k \cdot \cos α)}^{2} + \cos^{2} α = 1$

$k^{2} \cdot \cos^{2} α + \cos^{2} α = 1$

$(k^{2} + 1) \cos^{2} α = 1$ .

Zatem $\cos^{2} α = \frac{1}{k^{2} + 1}$ , a ponieważ funkcje trygonometryczne przyjmują dla kątów ostrych tylko wartości dodatnie, to:

\cos α = \frac{1}{\sqrt{k^{2} + 1}} .

Obliczamy teraz wartość $\sin α$ , podstawiając $\cos α = \frac{1}{\sqrt{k^{2} + 1}}$ do pierwszego równania:

\sin α = k \cdot \cos α = k \cdot \frac{1}{\sqrt{k^{2} + 1}} = \frac{k}{\sqrt{k^{2} + 1}} .

Jeżeli $tg α = k$ , to $\sin α = \frac{k}{\sqrt{k^{2} + 1}}$ oraz $\cos α = \frac{1}{\sqrt{k^{2} + 1}}$ .

Przykład 3

Wyznaczymy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego $α$ , jeśli $tg α = 2$ .

Jako, że $tg α = 2$ , więc wykorzystując wzór $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ , otrzymujemy, że $\frac{\sin α}{\cos α} = 2$ , stąd: $\sin α = 2 \cdot \cos α$ .

Rozwiązujemy układ równań z niewiadomymi $\sin α$ i $\cos α$

$\{\begin{cases} \sin α = 2 \cdot \cos α \\ \sin^{2} α + \cos^{2} α = 1 \end{cases}$

Podstawiając $\sin α = 2 \cdot \cos α$ do równania $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ , otrzymujemy: ${(2 \cdot \cos α)}^{2} + \cos^{2} α = 1$ , co daje: $5 \cdot \cos^{2} α = 1$ i ostatecznie: $\cos^{2} α = \frac{1}{5}$ .

Rozwiązaniem równania $\cos^{2} α = \frac{1}{5}$ są liczby: $\sqrt{\frac{1}{5}}$ lub $- \sqrt{\frac{1}{5}}$ .

Funkcje trygonometryczne przyjmują dla kątów ostrych tylko wartości dodatnie, zatem:

$\cos α = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Obliczoną wartość $\cos α$ podstawiamy do równania $\sin α = 2 \cdot \cos α$ i otrzymujemy:

$\sin α = 2 \cdot \cos α = \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{5}$ .

Odpowiedź: $\sin α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ i $\cos α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Przykład 4

Wyznaczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego $α$ wiedząc, że $tg α = \frac{3}{4 \cdot \cos α}$ .

Skoro $tg α = \frac{3}{4 \cdot \cos α}$ , to korzystając ze wzoru $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ , mamy $\frac{\sin α}{\cos α} = \frac{3}{4 \cdot \cos α}$ .

Mnożymy obie strony równania $\frac{\sin α}{\cos α} = \frac{3}{4 \cdot \cos α}$ przez $\cos α$ , przy czym $\cos α \neq 0$ .

$\frac{\sin α}{\cos α} \cdot \cos α = \frac{3}{4 \cdot \cos α} \cdot \cos α$

Po skróceniu otrzymujemy: $\sin α = \frac{3}{4}$ .

Cosinus kąta $α$ w trójkącie prostokątnymCosinus kąta $α$ w trójkącie prostokątnym kąta $α$ wyliczymy z zależności:

$\cos^{2} α = 1 - \sin^{2} α$ .

Podstawiając $\sin α = \frac{3}{4}$ , otrzymujemy:

$\cos^{2} α = 1 - {(\frac{3}{4})}^{2} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$ .

Rozwiązaniem równania $\cos^{2} α = \frac{7}{16}$ są dwie liczby $\frac{\sqrt{7}}{4}$ lub $- \frac{\sqrt{7}}{4}$ .

Funkcje trygonometryczne przyjmują dla kątów ostrych tylko wartości dodatnie, więc $\cos α = \frac{\sqrt{7}}{4}$ , natomiast $tg α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{3 \sqrt{7}}{7}$ .

Przykład 5

Wyznaczymy sinus kąta $α$ w trójkącie prostokątnymsinus kąta $α$ w trójkącie prostokątnym kąta ostego $α$ , jeśli $tg α = \sqrt{5}$ .

Skoro $tg α = \sqrt{5}$ , to: $\frac{\sin α}{\cos α} = \sqrt{5}$ , zatem: $\cos α = \frac{\sin α}{\sqrt{5}}$ .

Podstawiamy $\cos α = \frac{\sin α}{\sqrt{5}}$ do równania $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ i otrzymujemy:

$\sin^{2} α + {(\frac{\sin α}{\sqrt{5}})}^{2} = 1$ , co daje: $\frac{6}{5} \cdot \sin^{2} α = 1$ i ostatecznie: $\sin^{2} α = \frac{5}{6}$ .

Rozwiązaniem równania $\sin^{2} α = \frac{5}{6}$ są liczby: $\sqrt{\frac{5}{6}}$ lub $- \sqrt{\frac{5}{6}}$ .

Funkcje trygonometryczne przyjmują dla kątów ostrych tylko wartości dodatnie, zatem

$\sin α = \sqrt{\frac{5}{6}} = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{30}}{6}$

Odpowiedź: $\sin α = \frac{\sqrt{30}}{6}$ .

Słownik

sinus kąta

α

w trójkącie prostokątnym

sinus kąta

α

w trójkącie prostokątnym

stosunek długości przyprostokątnej $a$ przeciwległej do kąta $α$ do przeciwprostokątnej $c$

cosinus kąta

α

w trójkącie prostokątnym

cosinus kąta

α

w trójkącie prostokątnym

stosunek długości przyprostokątnej $b$ przyległej do kąta $α$ do przeciwprostokątnej $c$

tangens kąta

α

w trójkącie prostokątnym

tangens kąta

α

w trójkącie prostokątnym

stosunek długości przyprostokątnej $a$ przeciwległej do kąta $α$ do przyprostokątnej $b$ przyległej do kąta $α$

Wprowadzenie

Animacja

$I$ metoda: konstrukcyjna

$II$ metoda: wykorzystanie związków między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta

Słownik

Wprowadzenie

Animacja

Przeczytaj

I metoda: konstrukcyjna

II metoda: wykorzystanie związków między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta

Słownik

$I$ metoda: konstrukcyjna

$II$ metoda: wykorzystanie związków między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta