Przeczytaj
W tym materiale wyznaczymy wartość sinusa kąta ostrego, gdy dany jest tangens tego kąta. Pokażemy dwie metody rozwiązywania tego typu problemów. Jeden sposób będzie opierał się na konstrukcji trójkąta prostokątnego o odpowiednich własnościach, drugi na związkach algebraicznych między funkcjami trygonometrycznymi.
metoda: konstrukcyjna
Jeśli jest kątem ostrym, to możemy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego kąta obliczyć, budując trójkąt prostokątny, w którym stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do drugiej przyprostokątnej jest równy wartości tangensa tego kąta.
Zapiszmy równanie dla kąta ostrego : , gdzie .
Każdą liczbę możemy zapisać w postaci , gdzie .
Po zapisaniu w postaci
budujemy trójkąt, w którym przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta jest długości , a druga przyprostokątna jest długości .
Teraz, korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego, wyznaczamy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych.
Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość przeciwprostokątnej:
czyli
Stosując definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym otrzymujemy:
Wyznaczymy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego , jeśli .
Zauważmy, że
.
Zależność zachodzi zatem w dowolnym trójkącie o przyprostokątnych pozostających w stosunku , w szczególności w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości i . Budujemy więc trójkąt prostokątny o przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta długości i drugiej przyprostokątnej długości .
Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość przeciwprostokątnej:
,
stąd
.
Z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym:
i .
Odpowiedź: i .
Wiedząc, że i jest kątem ostrym, obliczymy wartości i .
Ponieważ , to możemy przyjąć, że długości przyprostokątnych wynoszą odpowiednio i .
Budujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta o długości i drugiej przyprostokątnej o długości .
Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość przeciwprostokątnej.
, stąd
.
Z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym wyznaczamy wartości sinusa i cosinusa kąta :
i .
Odpowiedź: i .
metoda: wykorzystanie związków między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta
W tej metodzie, korzystając ze związków pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta ostrego:
pokażemy, jak można wyznaczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, gdy dany jest tangens kąta w trójkącie prostokątnymtangens kąta w trójkącie prostokątnym kąta .
Przyjmując i stosując wzór , otrzymujemy i .
Ponadto .
Rozwiązujemy układ równań z niewiadomymi i .
Podstawiając do równania , otrzymujemy:
.
Zatem , a ponieważ funkcje trygonometryczne przyjmują dla kątów ostrych tylko wartości dodatnie, to:
Obliczamy teraz wartość , podstawiając do pierwszego równania:
Jeżeli , to oraz .
Wyznaczymy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego , jeśli .
Jako, że , więc wykorzystując wzór , otrzymujemy, że , stąd: .
Rozwiązujemy układ równań z niewiadomymi i
Podstawiając do równania , otrzymujemy: , co daje: i ostatecznie: .
Rozwiązaniem równania są liczby: lub .
Funkcje trygonometryczne przyjmują dla kątów ostrych tylko wartości dodatnie, zatem:
Obliczoną wartość podstawiamy do równania i otrzymujemy:
.
Odpowiedź: i .
Wyznaczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wiedząc, że .
Skoro , to korzystając ze wzoru , mamy .
Mnożymy obie strony równania przez , przy czym .
Po skróceniu otrzymujemy: .
Cosinus kąta w trójkącie prostokątnymCosinus kąta w trójkącie prostokątnym kąta wyliczymy z zależności:
.
Podstawiając , otrzymujemy:
.
Rozwiązaniem równania są dwie liczby lub .
Funkcje trygonometryczne przyjmują dla kątów ostrych tylko wartości dodatnie, więc , natomiast .
Wyznaczymy sinus kąta w trójkącie prostokątnymsinus kąta w trójkącie prostokątnym kąta ostego , jeśli .
Skoro , to: , zatem: .
Podstawiamy do równania i otrzymujemy:
, co daje: i ostatecznie: .
Rozwiązaniem równania są liczby: lub .
Funkcje trygonometryczne przyjmują dla kątów ostrych tylko wartości dodatnie, zatem
Odpowiedź: .
Słownik
stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta do przeciwprostokątnej
stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta do przeciwprostokątnej
stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta do przyprostokątnej przyległej do kąta