Przypomnijmy, że przekrój wielościanu jest częścią wspólną tego wielościanu i płaszczyzny, która go przecina.

1. Przekrój graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną przechodzącą przez trzy punkty leżące na trzech krawędziach wychodzących z tego samego wierzchołka

Przekrój graniastosłupaprzekrój graniastosłupaPrzekrój graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną przechodzącą przez trzy punkty leżące na trzech krawędziach wychodzących z tego samego wierzchołka ma kształt trójkąta.

RAD2ETRW82rUn

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny, wewnątrz którego zaznaczono płaszczyznę przekroju w kształcie trójkąta. Płaszczyzna przekroju przechodzi przez trzy punkty leżące na trzech krawędziach wychodzących z tego samego wierzchołka górnej podstawy.

Szczególnym przypadkiem takiego przekroju jest trójkąt, którego dwa boki są przekątnymi sąsiednich ścian bocznych, a trzeci – krótszą przekątną podstawy.

RfJXqHpk1A0RY

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Zaznaczono płaszczyznę przekroju w kształcie trójkąta, którego dwa boki są przekątnymi sąsiednich ścian bocznych, a trzeci stanowi krótszą przekątną podstawy. Krawędzie znajdujące się z tyłu bryły zaznaczono przerywaną linią.

2. Przekrój płaszczyzną podstawy prostopadłą do podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego

Przekrój płaszczyzną prostopadłą do podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest prostokątem.

RgTPddwsUelPk

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny, wewnątrz którego zaznaczono płaszczyznę przekroju w kształcie prostokąta. Krótsze boki prostokąta stanowią odcinki łączące środki pierwszej i trzeciej z kolei krawędzi podstawy. Dłuższe boki prostokąta stanowią wysokości ścian bocznych.

Szczególnym przypadkiem takiego przekroju jest przekrój zawierający dwie równoległe krótsze przekątne podstawy (w przypadku, gdy końce przekątnych leżą na tych samych krawędziach bocznych). Druga para boków to krawędzie boczne graniastosłupa. Przekątna tego przekroju jest krótszą przekątną graniastosłupaprzekątna graniastosłupaprzekątną graniastosłupa.

R1SuzFrKGEHaV

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny oraz zaznaczono jego płaszczyznę przekroju w kształcie prostokąta. Płaszczyzna przekroju zawiera dwie równoległe, krótsze przekątne podstawy oraz dwie krawędzie boczne graniastosłupa. Zaznaczono kąt prosty między krawędzią boczną, a krótszą przekątną podstawy. Krawędzie znajdujące się z tyłu bryły zaznaczono przerywaną linią.

3. Przekrój graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną przechodzącą przez krótszą przekątną podstawy i wierzchołki drugiej podstawy

Innym przekrojem, który zawiera równoległe krótsze przekątne podstaw jest prostokąt, którego drugą parę boków stanowią przekątne ścian bocznych. Przekątna tego przekroju jest dłuższą przekątną graniastosłupa.

R1JqXB6J8zx5C

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny, wewnątrz którego zaznaczono płaszczyznę przekroju w kształcie prostokąta. Płaszczyzna przekroju zawiera dwie równoległe, krótsze przekątne podstawy oraz dwie przekątne równoległych ścian bocznych graniastosłupa. Krawędzie znajdujące się z tyłu bryły zaznaczono przerywaną linią.

Przykład 2

Przekrój zawierający dwie równoległe krótsze przekątne podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, który nie jest prostopadły do podstawy, ma boki długości $6$ i $12$. Obliczymy objętość graniastosłupa.

Rozwiązanie

Zróbmy rysunek pomocniczy:

R1dXv8PVtpVuK

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny, wewnątrz którego zaznaczono płaszczyznę przekroju w kształcie prostokąta. Płaszczyzna przekroju zawiera dwie równoległe krótsze przekątne podstawy oraz dwie przekątne równoległych ścian bocznych graniastosłupa. Krawędzie znajdujące się z tyłu bryły zaznaczone są przerywaną linią. Długość krawędzi podstawy oznaczono literą a, długość krawędzi bocznej wielką literą H, natomiast krótsza przekątna podstawy ma długość $a\sqrt{3}$.

Rozważmy dwa przypadki.

Przypadek $1$

Przekątna podstawy ma długość $12$, a przekątna ściany bocznej ma długość $6$.

Wówczas $a\sqrt{3}=12$ i stąd $a=4\sqrt{3}>6$. Krawędź podstawy nie może być dłuższa od przekątnej ściany bocznej. Otrzymaliśmy sprzeczność.

Przypadek $2$

Przekątna podstawy ma długość $6$ a przekątna ściany bocznej ma długość $12$.

Otrzymujemy $a\sqrt{3}=6$, zatem $a=2\sqrt{3}$.

Obliczymy wysokość graniastosłupa z twierdzenia Pitagorasa:
$H^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2={12}^2$. Czyli $H=2\sqrt{33}$.

Obliczamy objętość graniastosłupa: $V=6·\frac{12\sqrt{3}}{4}·2\sqrt{33}=36\sqrt{99}=108\sqrt{11}$.

Uwaga!

Przekrój graniastosłupa płaszczyzną zawierającą krótszą przekątną podstawy oraz jeden wierzchołek drugiej podstawy może mieć kształt:

• trójkąta równoramiennego;

• pięciokąta.

Poniżej przedstawiamy przekrój w kształcie pięciokąta.

RXyuJVlTxN2BE

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny, wewnątrz którego zaznaczono płaszczyznę przekroju w kształcie pięciokąta. Wierzchołki pięciokąta stanowią, pierwszy oraz trzeci z kolei wierzchołek dolnej podstawy, dwa punkty na pierwszej i trzeciej z kolei krawędzi bocznej oraz drugi z kolei wierzchołek krawędzi górnej podstawy. Zaznaczono kąt prosty między odcinkiem łączącym punkt na krawędzi bocznej a krótszą przekątną podstawy.

4. Przekroje graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną przechodzącą przez dłuższą przekątną podstawy i wierzchołki drugiej podstawy

Mamy dwa rodzaje przekrojów graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego zawierającego dłuższą przekątną podstawy i wierzchołki drugiej podstawy.  Przekrój ten jest prostokątem, gdy przetniemy płaszczyzną prostopadłą do podstawy. Przekrój zawierający dłuższą przekątną podstawy i równoległą do niej krawędź drugiej podstawy jest trapezem równoramiennym. Ramionami tego trapezu są przekątne ścian bocznych.

RtsCdMELyFI8y

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny, wewnątrz którego zaznaczono płaszczyznę przekroju w kształcie trapezu równoramiennego. Podstawy trapezu tworzą dłuższa przekątna podstawy dolnej i równoległa do niej krawędź podstawy górnej. Ramiona stanowią przekątne ścian bocznych.

Przykład 3

Przekrój graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego przechodzi przez przekątną dolnej podstawy i krawędź górnej podstawy. Przekątna przekroju ma długość $6\sqrt{2}$, a ramię przekroju ma długość $2\sqrt{10}$. Obliczymy objętość tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Przekątna przekroju, o którym mowa w zadaniu, jest krótszą przekątną graniastosłupa. Ramię przekroju jest przekątną ściany bocznej. Zróbmy rysunek pomocniczy:

R14SpFH2BdDo7

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny o podstawie dolnej A B C D E F oraz górnej G H I J K L. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek G, nad wierzchołkiem B wierzchołek H i tak dalej. Zaznaczono dłuższą przekątną C F podstawy graniastosłupa, a następnie wierzchołki C i F połączono z wierzchołkiem E, tworząc trójkąt F C E. Długość boku E F oznaczono literą a, natomiast długość boku E C wynosi $a\sqrt{3}$. Zaznaczono także przekątną F K ściany bocznej o długości $2\sqrt{10}$. Otrzymano wówczas trójkąt E F K. Poprowadzono również odcinek K C, który jest przekątną bryły i tworzy z krótszą przekątną podstawy E C trójkąt prostokątny E C K, z kątem prostym przy wierzchołku E. Odcinek C K ma długość $6\sqrt{2}$.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy:

$\left\{\begin{array}{c}{a}^2+H^2={\left(2\sqrt{10}\right)}^2\\ {\left(a\sqrt{3}\right)}^2+H^2={\left(6\sqrt{2}\right)}^2\end{array}\right.$

Wyznaczając z pierwszego równania $H^2$ mamy $H^2=40-a^2$.

Podstawiając zależność do drugiego równania otrzymujemy $3a^2+40-a^2=72$. Czyli $2a^2=32$, a stąd $a=4$.

Podstawiając $a=4$ do pierwszego równania otrzymujemy $H^2=40-16=24$, a stąd $H=2\sqrt{6}$.

Możemy już obliczyć objętość tego graniastosłupa: $V=6·\frac{16\sqrt{3}}{4}·2\sqrt{6}=48\sqrt{18}=144\sqrt{2}$.

5. Przekrój graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną przechodzącą przez punkty leżące na wszystkich krawędziach bocznych

Przekrój graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, do którego należą punkty leżące na wszystkich krawędziach bocznych graniastosłupa, ma kształt sześciokąta.

R1WbliTCfQ4k6

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny oraz jego płaszczyznę przekroju do której należą punkty leżące na dowolnej wysokości każdej krawędzi bocznej bryły. W ten sposób kształtem przekroju jest sześciokąt, nie koniecznie foremny. Krawędzie znajdujące się z tyłu bryły zaznaczone są przerywaną linią.

W szczególnym przypadku, gdy przecinamy graniastosłup prawidłowy sześciokątny płaszczyzną równoległą do podstawy, w przekroju otrzymujemy sześciokąt foremny równoległy i przystający do podstawy.

RROIIifdtoYm8

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny oraz jego płaszczyznę przekroju do której należą punkty leżące na tej samej wysokości każdej krawędzi bocznej bryły. W ten sposób kształtem przekroju jest sześciokąt foremny równoległy do obu podstaw graniastosłupa. Krawędzie znajdujące się z tyłu bryły zaznaczone są przerywaną linią.

6. Przekrój graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną zawierającą krawędzie dwóch różnych podstaw leżących na równoległych ścianach bocznych

Kolejnym szczególnym przypadkiem jest przekrój zawierający krawędzie dwóch różnych podstaw leżących na równoległych ścianach bocznych. Cztery z wierzchołków sześciokąta są wierzchołkami graniastosłupa, dwa pozostałe leżą w połowie przeciwległych krawędzi bocznych.

RyDKsJTQ53SlW

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny oraz jego płaszczyznę przekroju zawierającą krawędzie dwóch różnych podstaw leżących na równoległych ścianach bocznych. Cztery z wierzchołków sześciokąta są wierzchołkami graniastosłupa, dwa pozostałe leżą w połowie przeciwległych krawędzi bocznych. Kształtem tego przekroju jest sześciokąt. Krawędzie znajdujące się z tyłu bryły zaznaczone są przerywaną linią.

Przykład 4

Rozważmy przekrój graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jak na rysunku powyżej. Wykażemy, że w przekroju tym długość każdego boku, który nie jest krawędzią, jest równa połowie długości dłuższej przekątnej graniastosłupa.

Rozwiązanie

Oznaczmy długość krawędzi podstawy przez $a$ i długość wysokości graniastosłupa przez $H$.

Zauważmy, że dłuższa przekątna graniastosłupa jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątnymi są dłuższa przekątna podstawy i wysokość graniastosłupa. Oznaczmy długość tej przekątnej przez $p$.

RZGrUB6tJQYGz

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny oraz jego płaszczyznę przekroju w kształcie sześciokąta zawierającą krawędzie dwóch różnych podstaw leżących na równoległych ścianach bocznych. Cztery z wierzchołków sześciokąta są wierzchołkami graniastosłupa, dwa pozostałe leżą w połowie przeciwległych krawędzi bocznych. W graniastosłupie prawidłowym sześciokątny poprowadzono dłuższą przekątną podstawy, której długość wynosi $2a$. Krawędź boczna, która ma wspólny wierzchołek z dłuższą przekątną podstawy ma długość H. Poprowadzono również dłuższą przekątną przekroju o długości p. Wówczas powstał trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości H i $2a$ oraz przeciwprostokątnej długości p.

Bok przekroju (niebędący krawędzią graniastosłupa) jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $0,5H$ i $a$.

RntMaenFvdF92

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny oraz jego płaszczyznę przekroju w kształcie sześciokąta. Płaszczyzna przekroju zawiera krawędzie dwóch różnych podstaw leżących na równoległych ścianach bocznych. Cztery z wierzchołków sześciokąta są wierzchołkami graniastosłupa, dwa pozostałe leżą w połowie przeciwległych krawędzi bocznych. Długość krawędzi podstawy oznaczono literą a. Na jednej ze ścian bocznych zaznaczono trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątne mają długości a oraz $\frac{1}{2}H$, natomiast przeciwprostokątną ma długość x i jest krawędzią przekroju graniastosłupa.

Mamy $\frac{2a}{a}=2$ i $\frac{H}{{}_{0,5H}}=2$, a zatem odpowiednie boki tych trójkątów są proporcjonalne. Kąt między tymi bokami w obu trójkątach ma miarę $90°$. A zatem trójkąty są podobne (z cechy $BKB$). Czyli $\frac{p}{x}=2$, a stąd $x=0,5 p$. Co kończy dowód.

7. Przekrój graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną przechodzącą przez punkty leżące na pięciu krawędziach bocznych i dwóch krawędziach podstawy

Przekrój graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną przechodzącą przez punkty leżące na pięciu krawędziach bocznych i dwóch krawędziach podstawy ma kształt siedmiokąta.

RFyzEGhKcf5bR

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny oraz jego płaszczyznę przekroju w kształcie siedmiokąta. Płaszczyzna przekroju przechodzi przez punkty leżące na różnych wysokościach pięciu krawędzi bocznych i różnych długościach dwóch krawędzi podstawy. Krawędzie znajdujące się z tyłu bryły zaznaczone są przerywaną linią.

8. Inne przekroje graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego

Przekrój przechodzący przez punkty leżące na trzech sąsiadujących krawędziach bocznych może być:

• czworokątem

R2zNHXoY7sQVj

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny oraz jego płaszczyznę przekroju w kształcie czworokąta. Płaszczyzna przekroju przechodzi przez punkty leżące na różnych wysokościach trzech sąsiednich krawędzi bocznych i jednej krawędzi górnej podstawy. Krawędzie znajdujące się z tyłu bryły zaznaczone są przerywaną linią.

• pięciokątem

RVRjHiC08sLl3

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny oraz jego płaszczyznę przekroju w kształcie czworokąta. Płaszczyzna przekroju przechodzi przez punkty leżące na różnych wysokościach trzech sąsiednich krawędziach bocznych i dwóch krawędziach górnej podstawy. Krawędzie znajdujące się z tyłu bryły zaznaczone są przerywaną linią.

• sześciokątem

R18Um3POaIKTj

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny oraz jego płaszczyznę przekroju w kształcie czworokąta. Płaszczyzna przekroju przechodzi przez punkty leżące na różnych wysokościach czterech sąsiadujących ze sobą krawędziach bocznych i dwóch krawędziach górnej podstawy. Krawędzie znajdujące się z tyłu bryły zaznaczone są przerywaną linią.

Słownik