Piłka tenisowa o masie $m = 0,05\,\text{kg}$ poruszająca się z prędkością $v = 50\,\text{m/s}$ zderza się ze ścianą. Oblicz zmianę pędu piłki oraz siłę reakcji ściany, jeśli zderzenie trwa $\Delta t = 0,01\,\text{s}$. Rozważ dwie sytuacje, gdy piłka uderza o ścianę:

(a) prostopadle

(b) kierunek prędkości piłki przed zderzeniem tworzy z prostą prostopadłą do ściany kąt $\alpha ={30}^{\circ }$.

Uwaga: zaniedbujemy ruch obrotowy piłki i opory powietrza. Zderzenie traktujemy jako elastyczne.

Rozwiązanie

(a) W czasie sprężystego zderzenia ze ścianą w pierwszym przypadku zmienia się zwrot prędkości piłki. Gdy pytamy o zmianę pędu piłki, to intuicja podpowiada, że wynik jest równy zeru. Nic bardziej błędnego. Pęd jest wielkością wektorową. Wprowadźmy wielkości (Rys. 1): pęd początkowy $\vec{p}$ i końcowy $\vec{p}'$ i zapiszmy je w postaci wektorowej, korzystając z dwuwymiarowego układu współrzędnych xy oraz wyrażając pędy za pomocą masy piłki i współrzędnej jej prędkości. Współrzędne x prędkości przed i po zderzeniu mają przeciwne znaki, zaś współrzędne y są równe zero.

RxfZIdqV4j0Me

Rys. 1. Rysunek przedstawia piłkę przedstawioną w postaci zielonej kropki odbijającą się prostopadle od powierzchni pionowej ściany. Pęd piłki przed odbiciem oznaczono czarną małą literą p ze znaczkiem wektora ponad nią. Pęd piłki po odbiciu oznaczono czarną małą literą p prim ze znaczkiem wektora ponad nią. Wektory pędu piłki przed zderzeniem mają te same wartości, kierunki i przeciwne zwroty. Wektory te są ustawione poziomo. Oprócz tego na rysunku pokazano prostokątny układ współrzędnych X0Y. Poza tym na rysunku napisano, że mała litera p prim z indeksem dolnym x jest równa minus małej literze p z indeksem dolnym x oraz, że mała litera p prim z indeksem dolnym y jest równa małej literze p z indeksem dolnym y i jest równa zeru.

Zmiana pędu to różnica między tymi wektorami:

Wartość zmiany pędu jest zatem równa

Zmiana pędu piłki jest spowodowana działaniem siły ze strony ściany. Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki jest to siła wzajemnego oddziaływania piłki i ściany. Jej średnią wartość możemy obliczyć, korzystając z II zasady dynamiki w postaci

Podstawiając dane liczbowe uzyskujemy wartość siły $F = 500\,\text{N}$. Jest to dosyć duża siła, a wynika to zarówno z wartości prędkości piłki (takie prędkości są typowe dla silnych uderzeń w tenisie: smeczów i serwisów), jak i z niewielkiego czasu trwania zderzenia.

(b) Gdy piłka uderza pod kątem $\alpha \ne 0$ w ścianę, to pędy początkowy i końcowy będą miały po dwie niezerowe współrzędne (Rys. 2). W zderzeniu ze ścianą zmieni się na przeciwny jedynie znak współrzędnej $v_x$; współrzędne x prędkości przed i po zderzeniu są jednakowe.

R1deBd4XQREpW

Rys. 2. Rysunek przedstawia piłkę przedstawioną w postaci zielonej kropki odbijającą się od powierzchni pionowej ściany pod kątem alfa. Pęd piłki przed odbiciem oznaczono czarną małą literą p ze znaczkiem wektora ponad nią. Pęd piłki po odbiciu oznaczono czarną małą literą p prim ze znaczkiem wektora ponad nią. Wektory pędu piłki przed zderzeniem mają te same wartości. Wektory te są ustawione pod tym samym kątem do ściany ale wektor p jest skierowany w prawo do góry a wektor p prim w lewo do góry. Oprócz tego na rysunku pokazano prostokątny układ współrzędnych X0Y. Poza tym na rysunku napisano, że mała litera p z indeksem dolnym x jest równa minus małej literze p prim z indeksem dolnym x oraz, że mała litera p z indeksem dolnym y jest równa małej literze p prim z indeksem dolnym y.

Zmiana pędu wynosi zatem

Podstawiając wartości liczbowe, otrzymujemy wartość zmiany pędu

Analogicznie jak w przypadku (a) obliczamy wartość siły i uzyskujemy $F = 433\,\text{N}$.

Dwie kule o jednakowych masach zderzają się sprężyście skośnie. Jedna z nich przed zderzeniem porusza się z prędkością $\overrightarrow{v}$, druga zaś spoczywa. Oblicz prędkości kul po zderzeniu oraz określ kąt, jaki tworzą kierunki ich ruchu. Pomiń opory rucho oraz ruch obrotowy kul.

Aby rozwiązać to zagadnienie, sprowadzimy je do przypadku prostszego, rozważonego poprzednio.

Rozwiązanie

W punkcie zetknięcia kul prowadzimy płaszczyznę styczną (płaszczyznę zderzenia) do powierzchni obu kul (rys.4). Rozłóżmy wektor prędkości $\overrightarrow{v}$ na dwie składowe: normalną (prostopadłą) $\overrightarrow{v_0}$ i styczną $\overrightarrow{v_s}$ do płaszczyzny zderzenia . Podczas zderzenia na obie kule działają siły powstałe na skutek deformacji sprężystej kul. Siły te mają kierunek normalnej do płaszczyzny zderzenia kul i zmieniają prędkości tak, jak opisane jest to w przypadku zderzenia centralnego. Zatem po zderzeniu kula 2, która spoczywała, uzyska prędkość równą składowej $\overrightarrow{v_0}$ kuli pierwszej.

R1RwAVWYEMDtY

Rys. 4. Rysunek przedstawia zderzenie dwóch kul (niebieskiej i zielonej) w trzech fazach. Przed zderzeniem kula zielona stoi a kula niebieska porusza się poziomo w jej kierunku w taki sposób że jej środek znajduje się lekko powyżej środka kuli zielonej. Prędkość kuli zielonej została przedstawiona w postaci czerwonego wektora skierowanego poziomo w prawo oznaczonego małą czarną literą v ze znaczkiem wektora ponad nią. W trakcie zderzenia prędkość ta została rozłożona na dwie prostopadłe, czarne składowe. Składowa z indeksem dolnym zero posiada kierunek przechodzący przez środki obu kul w trakcie zderzenia. Jej zwrot skierowany jest od kuli niebieskiej do zielonej. Składowa prędkości z indeksem dolnym s jest skierowana w prawo do góry a składowa z indeksem dolnym zero w prawo do dołu. Po zderzeniu kula niebieska porusza się z prędkością z indeksem dolnym s a kula zielona z prędkością z indeksem dolnym zero.

Natomiast składowa styczna prędkości kuli 1 nie ulegnie zmianie, gdyż założyliśmy, że tarcie jest znikomo małe - w tym przybliżeniu kule nie oddziałują na siebie w kierunku stycznym do płaszczyzny zderzenia. Kula 1 straci więc swoją składową normalną prędkości, a zachowa tylko składową styczną. Cała jej prędkość po zderzeniu będzie równa $\overrightarrow{v_s}$. Ze względu na to, że składowa normalna i styczna są wzajemnie prostopadłe, po zderzeniu tory obu kul będą tworzyć kąt prosty. Taka właśnie sytuacja występuje przy zderzeniu dwóch jednakowych kul bilardowych lub innych o jednakowej masie (Rys. 3.). Z podobnymi przypadkami mamy również do czynienia w mikroświecie, przy zderzeniach jednakowych cząstek, np. dwóch protonów lub dwóch deuteronów, jak pokazuje Fot. a. we Wprowadzeniu.

Na dwóch łódkach spoczywających na jeziorze stoi dwóch chłopców: Jakub i Adam. Jakub rzuca do Adama piłkę o masie $m$, nadając jej prędkość $v$. Adam ją łapie. W wyniku tego obie łódki oddalają się od siebie. Obliczmy prędkości ich ruchu zakładając, że znane są łączne masy każdego z chłopców i łódki, na której stoi - $M_A$ i $M_J$

Rozwiązanie

Łódka Jakuba uzyskuje prędkość w kierunku przeciwnym do prędkości wyrzucenia piłki. Z zasady zachowania pędu otrzymujemy

skąd

Pierwszą z szukanych wielkości jest więc wartość $v_J=\frac{m}{M_J}v$.

Gdy Adam łapie piłkę, również korzystamy z zasady zachowania pędu. Pęd układu przed zderzeniem (nieelastycznym) jest równy pędowi piłki. Po zderzeniu zaś będzie łącznym pędem Adama i piłki:

zatem druga szukana wielkość to $v_A=\frac{m}{m+M_A}v$.

(ang.: kinetic energy) forma energii związana z prędkością pojedynczego ciała. Tym różni się od energii potencjalnej, że ta ostatnia jest cechą układu ciał oddziałujących i związana jest z położeniem tych ciał.

(ang.: mechanical energy) suma energii kinetycznej ciała oraz energii potencjalnej ciała lub układu ciał. W przypadku ciał nieoddziałujących energia mechaniczna układu jest równa sumie energii kinetycznych ciał.