Dany jest graniastosłup prawidłowygraniastosłup prawidłowygraniastosłup prawidłowy trójkątny, w którym wysokość podstawy jest równa $6\sqrt{3}$. Kąt między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka ma miarę $40°$. Obliczymy objętość tego graniastosłupa.

Zacznijmy od wykonania rysunku i zaznaczenia kąta między przekątnymi ścian bocznych.

RUd0VJBlWU8K4

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F. Zaznaczono przekątne ścian bocznych A E i B E. Przekątne te tworzą kąt alfa.

Ponieważ podstawa jest trójkątem równobocznym o wysokości $6\sqrt{3}$, więc krawędź podstawy ma długość $12$. Zauważmy, że trójkąt $ABE$ jest równoramienny, zatem jego wysokość poprowadzona z wierzchołka $E$ pada pod kątem prostym do $AB$ i zawiera się w dwusiecznej kąta $AEB$.

RDHrvangSPQc8

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F. Zaznaczono przekątne ścian bocznych A E i B E. Przekątne te tworzą kąt alfa. Podzielono go na dwa kąty o mierze $\frac{\alpha }{2}$

Z funkcji trygonometrycznych w trójkącie $BEG$ mamy $\sin \frac{\alpha }{2}=\frac{\left|GB\right|}{\left|BE\right|}$, czyli $\sin 20°=\frac{6}{\left|BE\right|}$.

Korzystając z tablic trygonometrycznych możemy przybliżyć wartość $\sin 20°\approx 0,342$:

$0,342\approx \frac{6}{\left|BE\right|}$

$\left|BE\right|\approx 17,54$

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $BDE$ mamy

$\left|BD\right|=\sqrt{{\left|BE\right|}^2-{\left|ED\right|}^2}\approx \sqrt{17,{54}^2-{12}^2}\approx 12,79$.

Zatem objętość rozważanego graniastosłupa to $V=\frac{{\left|AB\right|}^2\cdot \sqrt{3}}{4}\cdot \left|BD\right|\approx \frac{144\sqrt{3}}{4}\cdot 12,79\approx 797,5$

Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $27\sqrt{6}$. Kąt między przekątną graniastosłupaprzekątna graniastosłupaprzekątną graniastosłupa a przekątną podstawy wychodzącymi z tego samego wierzchołka ma miarę $60°$. Obliczymy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Zaczniemy od rysunku.

R1CbtHdUGd81O

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o podstawie dolnej $ABCD$, oraz górnej $HEFG$. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem B, wierzchołek E, nad wierzchołkiem C, wierzchołek F i nad wierzchołkiem D, wierzchołek G. Zaznaczono przerywaną linią przekątną AC dolnej podstawy oraz przekątną HC graniastosłupa. Przekątne AC i HC tworzą kąt alfa.

Jeśli przez $x$ oznaczymy długość krawędzi podstawy graniastosłupa, to jej przekątna ma długość $x\sqrt{2}$. Ponieważ trójkąt $ACH$ ma kąty o miarach $30°$, $60°$, $90°$, więc $\left|AH\right|=\left|AC\right|\cdot \sqrt{3}=x\sqrt{6}$.

Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości, więc mamy równanie:

$27\sqrt{6}=x^2\cdot x\sqrt{6}$

$x=3$

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa to:

$P_{pc}=2\cdot x^2+4\cdot x\cdot x\sqrt{6}=2\cdot 9+4\cdot 9\sqrt{6}=18\left(1+2\sqrt{6}\right)$.

odcinek łączący dwa wierzchołki graniastosłupa, który nie jest zawarty w żadnym wielokącie tworzącym powierzchnię tego graniastosłupa (nie jest zawarty ani w żadnej ścianie bocznej, ani w żadnej podstawie)

graniastosłup prosty, w którego podstawie znajduje się wielokąt foremny