Przeczytaj

Pamiętasz?

Nierównością kwadratową z niewiadomą $x$ nazywamy każdą nierówność postaci

$a x^{2} + b x + c > 0$ lub $a x^{2} + b x + c \geq 0$ lub $a x^{2} + b x + c < 0$ lub $a x^{2} + b x + c \leq 0$ ,

gdzie:
$a$ , $b$ , $c$ – są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i $a \neq 0$ .

Nierówności kwadratowe, w których wszystkie współczynniki są różne od $0$ , nazywamy nierównościami kwadratowymi zupełnymi.

Nierówności kwadratowe, w których współczynniki $b$ lub $c$ są równe $0$ , nazywamy nierównościami kwadratowymi niezupełnyminierówność kwadratowa niezupełnanierównościami kwadratowymi niezupełnymi.

Jeżeli $b = 0$ i $c = 0$ to nierówność kwadratowa jest postaci $a x^{2} > 0$ lub $a x^{2} < 0$ lub $a x^{2} \geq 0$ lub $a x^{2} \leq 0$ .

Przykład 1

Określimy zbiór rozwiązań nierówności $m x^{2} + (m - 2) x > 0$ dla $m = 1$ , $m = 0$ .

Dla $m = 1$ mamy $x^{2} - x > 0$

$x (x - 1) > 0$

$x = 0 \lor x = 1$

RS2MvHyJgJIzI

Rysunek przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi na niej cyframi: 0; 1. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do zera wykres znajduje się nad osią, w zerze przechodzi pod oś i wraca nad oś w punkcie jeden. Fragment nad osią oznaczono plusami znajdującymi się nad osią po lewej stronie zera i po prawej stronie jedynki.

x \in (- \infty, 0) \cup (1, \infty)

Dla $m = 0$ mamy $0 \cdot x^{2} - 2 x > 0$

$x < 0$

$x \in (- \infty, 0)$ .

Przykład 2

Obliczymy, dla jakich wartości parametru $k$ nierówność $- x^{2} + k^{2} - 4 k < 0$ jest spełniona dla dowolnego $x \in ℝ$ .

Aby ustalić warunki, dla których nierówność $- x^{2} + k^{2} - 4 k < 0$ jest spełniona dla dowolnego $x \in ℝ$ naszkicujemy wykres lewej strony nierówności.

Będzie to parabola o ramionach skierowanych do dołu, ponieważ współczynnik przy $x^{2}$ jest liczbą ujemną.

Wierzchołek paraboli będzie znajdował się poniżej osi $X$ .

RctbEd7Q6z4cW

Rysunek przedstawia poziomą oś X. Pod osią narysowano wykres wielomianu, który nie ma z osią żadnych punktów wspólnych. Fakt, iż wykres przebiega pod osią, zaznaczono minusami narysowanymi pod osią.

Czyli $k^{2} - 4 k < 0$

$k (k - 4) < 0$

$k = 0$ lub $k = 4$

R15VhcOnR4pNC

Rysunek przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi na niej cyframi: 0; 4. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do zera wykres znajduje się nad osią, w zerze przechodzi pod oś i wraca nad oś w czwórce. Fragment pod osią oznaczono minusami znajdującymi się pod między zerem a czwórką.

k \in (0, 4)

Aby nierówność była spełniona dla $x \in ℝ$ parametr $k \in (0, 4)$ .

Przykład 3

Obliczymy, dla jakich wartości parametru $a$ nierówność $(a - 1) x^{2} + a^{2} - 16 < 0$ jest sprzeczna.

Dla $a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1$ lewa strona nierówności jest równa $1^{2} - 16 = - 15 < 0$ . Czyli nierówność ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Dla $a \in ℝ ∖ \{1\}$ lewa strona nierówności jest wyrażeniem kwadratowym. Aby nierówność była sprzeczna wykres odpowiadający lewej stronie nierówności, musi znajdować się powyżej osi $X$ lub dotykać osi $X$ .

R16CVgwegSEnQ

Rysunek przedstawia poziomą oś X. Nad osią narysowano dwa wykresy wielomianów, które nie ma z osią żadnych punktów wspólnych.

Czyli $\{\begin{cases} 1 . a - 1 > 0 \\ 2 . a^{2} - 16 \geq 0 \end{cases}$

$a - 1 > 0$
$a > 1$
$a \in (1, \infty)$
$a^{2} - 16 \geq 0$
$(a - 4) (a + 4) \geq 0$
$a = 4 \lor a = - 4$

$a \in (- \infty, - 4⟩ \cup ⟨4, \infty)$

Uwzględniając koniunkcję warunków $(1)$ i $(2)$ otrzymujemy, że $a \in ⟨4, \infty)$ .

Przykład 4

Wyznaczymy takie całkowite wartości parametru $m$ dla których nierówność $x (x - m) < 0$ ma dokładnie dwa rozwiązania całkowite.

$x (x - m) < 0$

$x = 0 \lor x = m$

$m < 0$
RiIZgYSJtSpOH
Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej dwoma punktami: $m;0$ , przy czym $m$ jest liczbą mniejszą od zera. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do $m$ wykres znajduje się nad osią, w punkcie $m$ przechodzi pod oś i wraca nad oś w zerze. Fragment pod osią oznaczono minusami znajdującymi się pod między punktem $m$ a zerem.
$x \in (m, 0)$
Liczby całkowite należące do zbioru rozwiązań nierówności to $\{- 2, - 1\}$ , czyli $m = - 3$ .
$m > 0$
RzhjAzTHm0RjZ
Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej dwoma punktami: $0;m$ , przy czym $m$ jest liczbą większą od zera. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do zera wykres znajduje się nad osią, w zerze przechodzi pod oś i wraca nad oś w punkcie $m$ . Fragment pod osią oznaczono minusami znajdującymi się pod między zerem a punktem $m$ .
$x \in (0, m)$
Liczby całkowite należące do zbioru rozwiązań nierówności to $\{1, 2\}$ , czyli $m = 3$ .

Nierówność ma dokładnie dwa rozwiązania całkowite dla $m \in \{- 3, 3\}$ .

Przykład 5

Dla jakich wartości parametru $m$ dziedziną funkcji $f (x) = \sqrt{m x^{2} + m^{2} - 2}$ jest zbiór liczb rzeczywistych?

Jeżeli $m = 0$ wtedy mamy $- 2 > 0$ – sprzeczność

Dla $m \neq 0$ wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne, czyli $m x^{2} + m^{2} - 2 \geq 0$ .

Zatem wykres odpowiedniej krzywej musi być powyżej osi $X$ , lub dotykać osi.

Czyli:

$m \in (0, \infty)$
$m^{2} - 2 \geq 0$ $(m - \sqrt{2}) (m + \sqrt{2}) \geq 0$
$m = \sqrt{2} \lor m = - \sqrt{2}$
$m \in (- \infty, - \sqrt{2} > \cup < \sqrt{2}, \infty)$

Uwzględniając część wspólną $(1)$ i $(2)$ mamy $m \in < \sqrt{2}, \infty)$ .

Aby dziedziną funkcji był zbiór liczb rzeczywistych $m \in < \sqrt{2}, \infty)$ .

Słownik

nierówność kwadratowa niezupełna

nierówność kwadratowa, w której współczynniki $b$ lub $c$ są równe $0$

Wprowadzenie

Animacja

Pamiętasz?

Słownik