Układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy koniunkcjękoniunkcjakoniunkcję dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Rozwiązaniem układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest każda para liczb spełniających każde równanie danego układu równań.

Przy czym może być tylko jedna taka para liczb, może być nieskończenie wiele takich par lub układ równań może nie mieć rozwiązania.

Korzystając z metody graficznej, znajdziemy rozwiązanie układu równańrozwiązanie układu równańrozwiązanie układu równań $\left\{\begin{array}{l}2x+y=5\\ -4x=-9+y\end{array}\right.$.

Przekształcamy każde z równań do postaci kierunkowej.

$2x+y=5$ oraz $-4x=-9+y$

$y=-2x+5$ oraz $y=-4x+9$

Aby wyznaczyć współrzędne punktów, przez które przechodzą proste będące wykresami równań, możemy skorzystać z tabelek.

oraz

Rysujemy wykresy równań i odczytujemy współrzędne punktu ich przecięcia.

RPVxXEKZmBvJI

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nich dwie proste. Pierwsza o wzorze $2x+y=5$. Druga o wzorze $-4x=-9+y$. Wykresy funkcji liniowej przecinają się w punkcie $\left(2,1\right)$

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}\right.$.

Znajdziemy współrzędne wierzchołków trójkąta, o którym wiadomo, że jego ramiona zawierają się w prostych:

$k: y-2=0$,

$l: -x+2y=0$,

$m: -3x+2y=4$.

Rysujemy wykresy tych równań w jednym układzie współrzędnych.

R1OnYdn16UD6V

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim trzy proste. Prosta m wyrażona wzorem $-3x+2y=4$. Prosta k wyrażona wzorem $y-2=0$. Oraz prosta l wyrażona wzorem $-x+2y=0$. Proste m oraz k przecinają się w punkcie $\left(2,0\right)$. Proste k oraz l przecinają się w punkcie $\left(4,2\right)$. Proste m oraz l przecinają się w punkcie $\left(-2,-1\right)$

Na rysunku widzimy, że proste parami się przecinają, tworząc trójkąt. Współrzędne punktów przecięcia prostych $A$, $B$ oraz $C$, to odpowiednio rozwiązania układów równań:

• współrzędne punktu $A$ – rozwiązanie układu $\left\{\begin{array}{l}-x+2y=0\\ -3x+2y=4\end{array}\right.$,

• współrzędne punktu $B$ – rozwiązanie układu $\left\{\begin{array}{l}-x+2y=0\\ y-2=0\end{array}\right.$,

• współrzędne punktu $C$ – rozwiązanie układu $\left\{\begin{array}{l}y-2=0\\ -3x+2y=4\end{array}\right.$.

R1JzCdcq6woru

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim trzy proste. Prosta m wyrażona wzorem $-3x+2y=4$. Prosta k wyrażona wzorem $y-2=0$. Oraz prosta l wyrażona wzorem $-x+2y=0$. Proste m oraz k przecinają się w punkcie $\left(2,0\right)$. Tworzy to punkt C. Proste k oraz l przecinają się w punkcie $\left(4,2\right)$. Tworzy to punkt B. Proste m oraz l przecinają się w punkcie $\left(-2,-1\right)$ Tworzy to punkt A. Powstał trójkąt AB C

Odczytujemy z wykresu współrzędne punktów $A$, $B$ oraz $C$.

RAtFke5XvFS5O

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim trzy proste. Prosta m wyrażona wzorem $-3x+2y=4$. Prosta k wyrażona wzorem $y-2=0$. Oraz prosta l wyrażona wzorem $-x+2y=0$. Proste m oraz k przecinają się w punkcie $\left(2,0\right)$. Tworzy to punkt C. Proste k oraz l przecinają się w punkcie $\left(4,2\right)$. Tworzy to punkt B. Proste m oraz l przecinają się w punkcie $\left(-2,-1\right)$ Tworzy to punkt A. Powstał trójkąt AB C

A zatem współrzędne wierzchołków trójkąta to $A=\left(-2, -1\right)$, $B=\left(\mathrm{4,} 2\right)$ oraz $C=\left(\mathrm{0,} 2\right)$.

Dany jest czworokąt $ABCD$, w którym współrzędne wierzchołków są rozwiązaniami  podanych układów równań.

Obliczymy pole tego czworokąta, wiedząc, że:

• współrzędne punktu $A$ to rozwiązanie układu $\left\{\begin{array}{l}x-y=-6\\ y-1=0\end{array}\right.$,

• współrzędne punktu $B$ to rozwiązanie układu $\left\{\begin{array}{l}2x+3y=15\\ y-1=0\end{array}\right.$,

• współrzędne punktu $C$ to rozwiązanie układu $\left\{\begin{array}{l}2x+3y=15\\ y-3=0\end{array}\right.$,

• współrzędne punktu $D$ to rozwiązanie układu $\left\{\begin{array}{l}y-3=0\\ x-y=-6\end{array}\right.$.

Wykonujemy odpowiedni rysunek.

R197PFb03yxa7

Ilustracja przedstawia układ równań. Zaznaczono na nim cztery proste. Dwie poziome wyrażone wzorami $y-1=0$ oraz $y-3=0$. Dwie inne wyrażone wzorem $2x+3y=15$ oraz $x+y=-6$. Przecięcia prostych tworzą trapez A B C D.

Na podstawie rysunku możemy stwierdzić, że czworokąt $ABCD$ to trapez, możemy też odczytać współrzędne wierzchołków.

ROuDNyBeFfYOd

Ilustracja przedstawia układ równań. Zaznaczono na nim cztery proste. Dwie poziome wyrażone wzorami $y-1=0$ oraz $y-3=0$. Dwie inne wyrażone wzorem $2x+3y=15$ oraz $x+y=-6$. Przecięcia prostych tworzą trapez A B C D. Punkt A o współrzędnych $\left(-5,1\right)$, punkt B o współrzędnych $\left(6,1\right)$, punkt C o współrzędnych $\left(3,3\right)$ oraz punkt D o współrzędnych $\left(-3,3\right)$. Z punktu D upuszczono wysokość na dolną podstawę AB. Miejsce przecięcia tworzy punkt E.

Wiemy zatem, że: $A=\left(-\mathrm{5,} 1\right)$, $B=\left(\mathrm{6,} 1\right)$, $C=\left(\mathrm{3,} 3\right)$, $D=\left(-\mathrm{3,} 3\right)$.

Możemy też odczytać długości odcinków potrzebnych do obliczenia pola tego trapezu:

• podstawy $\left|AB\right|=11$, $\left|CD\right|=6$,

• wysokość trapezu $\left|DE\right|=2$.

Obliczamy pole

$P=\frac{1}{2}·\left(\left|AB\right|+\left|CD\right|\right)·\left|DE\right|$

$P=\frac{1}{2}·17·2=17$

Pole trapezu wynosi $17$.

Interpretacja graficzna pomaga nam przy rozwiązywaniu problemów praktycznych.

Kasia wyszła rano na spacer. Szła z prędkością $4 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$. Godzinę później Magda, tą samą trasą, pobiegła z prędkością $8 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$. Po jakim czasie od wyjścia Kasi, dziewczynki się spotkają?

Możemy narysować sytuację opisaną w zadaniu na wykresie. Na osi odciętych zaznaczamy czas $\left[\mathrm{t}\right]$, na osi rzędnych – pokonaną drogę $\left[\mathrm{s}\right]$.

R8cjXkQI1xxNB

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Na osi odciętych zaznaczono czas wyrażony w godzinach, a na osi rzędnych pokonaną drogę wyrażoną w kilometrach. Droga pokonana przez kasie została wyrażona prostą liniową mającą miejsce zerowe w punkcie $\left(0,0\right)$ oraz przechodzi przez punkt $\left(1,4\right)$. Droga pokonana przez Magdę ma miejsce zerowe równe 1. Proste przecinają się w punkcie $\left(2,8\right)$

Korzystając z interpretacji geometrycznej możemy odczytać, że dziewczynki spotkają się po dwóch godzinach od początku spaceru Kasi. Widzimy również, że pokonają w tym czasie $8 \mathrm{km}$.

Możemy też, korzystając ze wzoru na prędkość $v=\frac{s}{t}$, zapisać równania prostych, w których zawierają się powyższe wykresy.

R18HJih1ZffzK

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Na osi odciętych zaznaczono czas wyrażony w godzinach, a na osi rzędnych pokonaną drogę wyrażoną w kilometrach. Droga pokonana przez kasie została wyrażona prostą liniową mającą miejsce zerowe w punkcie $\left(0,0\right)$ oraz przechodzi przez punkt $\left(1,4\right)$. Droga pokonana przez Magdę ma miejsce zerowe równe 1. Proste przecinają się w punkcie $\left(2,8\right)$ Prosta kasi wyrażona została wzorem $s=4t$, prosta magdy wyrażona została wzorem $s=8(t-1)$

Sprawdzimy jeszcze, czy prawidłowo odczytaliśmy rozwiązanie układu.

$4t=8·\left(t-1\right) |:4$

$t=2t-2$

$t=2$

$s=4t=8$

A zatem dziewczynki spotkają się po dwóch godzinach od wyjścia Kasi na spacer i pokonają w tym czasie $8$ kilometrów.

Wyznaczymy parametry $m$ oraz $n$, dla których układ równańukład równańukład równań $\left\{\begin{array}{l}x+2y=6\\ mx+y=n\end{array}\right.$ jest układem:

a) oznaczonym,

b) nieoznaczonym,

c) sprzecznym.

Do rozwiązania zadania wykorzystamy interpretację geometryczną układu równań.

Równanie $x+2y=6$ zapisujemy w innej postaci i rysujemy jego wykres.

$x+2y=6$

$2y=-x+6 |:2$

$y=-\frac{1}{2}x+3$

R1B2yV4S4pkYe

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na niej prostą o wzorze $y=-\frac{1}{2}x+3$ Funkcja przecina oś rzędnych w punkcie 3 oraz oś odciętych w punkcie 6.

Drugie równanie również przekształcamy.

$mx+y=n$

$y=-mx+n$

a)

Aby układ był oznaczony, prosta $y=-mx+n$ musi mieć punkt wspólny z prostą $y=-\frac{1}{2}x+3$.

Przykłady takich prostych przedstawiono na rysunku.

RpWhy8IiKK5SO

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na niej prostą o wzorze $y=-\frac{1}{2}x+3$ Funkcja przecina oś rzędnych w punkcie 3 oraz oś odciętych w punkcie 6. Dodano trzy proste przecinające się z pierwszą prostą. Ich wzory to: $y=-m_{1}x+n_1$ przecinek $y=-m_{2}x+n_2$ przecinek $y=-m_{3}x+n_3$

A zatem proste $y=-\frac{1}{2}x+3$ oraz $y=-mx+n$ nie mogą być równoległe, więc ich współczynniki kierunkowe nie mogą być równe.

$-m\ne -\frac{1}{2}$

$m\ne \frac{1}{2}$

Współczynnik $n$ może być dowolny, ponieważ prosta $y=-mx+n$ może przeciąć oś $Y$ w dowolnym punkcie.

A zatem układ równań $\left\{\begin{array}{l}x+2y=6\\ mx+y=n\end{array}\right.$ jest oznaczony dla $\left\{\begin{array}{l}m\ne -\frac{1}{2}\\ n\in \mathrm{ℝ}\end{array}\right.$.

b)

Aby układ był nieoznaczony, prosta $y=-mx+n$ musi mieć nieskończenie wiele punktów wspólnych z prostą $y=-\frac{1}{2}x+3$.

R1FtKMAV9kOCC

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na niej prostą o wzorze $y=-\frac{1}{2}x+3$ pod spodem zapisano wzór $y=-mx+n$

Proste te muszą się pokrywać, a więc współczynniki muszą być sobie odpowiednio równe.

A zatem układ równańukład równańukład równań $\left\{\begin{array}{l}x+2y=6\\ mx+y=n\end{array}\right.$ jest nieoznaczony dla $\left\{\begin{array}{l}m=-\frac{1}{2}\\ n=3\end{array}\right.$.

c)

Aby układ był sprzeczny, prosta $y=-mx+n$ nie może mieć żadnego punktu wspólnego z prostą $y=-\frac{1}{2}x+3$.

R1a3LDiz4W15k

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na niej prostą o wzorze $y=-\frac{1}{2}x+3$ pod spodem zapisano wzór $y=-mx+n$. Prosta wyrażona tym wzorem przecina oś rzędnych w punkcie jeden oraz ma miejsce zerowe w punkcie dwa.

Proste te muszą być równoległe i nie mogą mieć punktów wspólnych, a więc współczynniki kierunkowe muszą być takie same, ale wyrazy wolne muszą się różnić.

A zatem układ równań $\left\{\begin{array}{l}x+2y=6\\ mx+y=n\end{array}\right.$ jest sprzeczny dla $\left\{\begin{array}{l}m=-\frac{1}{2}\\ n\ne 3\end{array}\right.$.

zdanie złożone postaci „$p\wedge q$” (czytamy: $p$ i $q$); iloczyn logiczny; część wspólna

koniunkcja co najmniej dwóch równań

układ liczb spełniających każde z równań składowych w tym układzie

układ równań postaci:

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest nieskończenie wiele par liczb

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, który nie posiada rozwiązań