Przeczytaj
Układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy koniunkcjękoniunkcję dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.
Układ taki przyjmuje postać:
gdzie:
oraz – oznaczają niewiadome,
, , oraz – współczynniki przy niewiadomych odpowiednio oraz , przy czym przynajmniej jedna z pary liczb i oraz i jest różna od zera, > i – nazywamy wyrazami wolnymi.
Rozwiązaniem układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest każda para liczb spełniających każde równanie danego układu równań.
Przy czym może być tylko jedna taka para liczb, może być nieskończenie wiele takich par lub układ równań może nie mieć rozwiązania.
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi opisuje prostą. Aby rozwiązać graficznie układ równań liniowych z dwiema niewiadomymiukład równań liniowych z dwiema niewiadomymi należy narysować obie proste i odczytać współrzędne ich punktów wspólnych (o ile istnieją).
Dwie proste na płaszczyźnie mogą mieć następujące położenie:
proste przecinają się w jednym punkcie,
proste pokrywają się – mają nieskończenie wiele punktów wspólnych,
proste są równoległe i nie mają punktów wspólnych.
A zatem ze względu na położenie prostych, będących wykresami równań składowych układu
można wyróżnić trzy rodzaje układów równań.
1. Oznaczony układ równańOznaczony układ równań (układ równań niezależnych) – jedno rozwiązanie.
Proste określone równaniami oraz mają jeden punkt wspólny.
Współrzędne tego punktu tworzą parę liczb, która spełnia oba równania.
Rozwiązaniem układu jest zatem para liczb
2. Nieoznaczony układ równańNieoznaczony układ równań (układ równań zależnych) – nieskończenie wiele rozwiązań.
Proste określone równaniami oraz pokrywają się, zatem każda para współrzędnych punktów spełniająca jedno równanie, spełnia również drugie z nich. Takich par postaci
jest nieskończenie wiele.
3. Sprzeczny układ równańSprzeczny układ równań – brak rozwiązań.
Proste określone równaniami oraz są równoległe i nie mają punktów wspólnych. Nie istnieje zatem para liczb, która spełniałaby jednocześnie dwa równania.
Taki układ nie posiada rozwiązań.
Korzystając z metody graficznej, znajdziemy rozwiązanie układu równańrozwiązanie układu równań .
Przekształcamy każde z równań do postaci kierunkowej.
oraz
oraz
Aby wyznaczyć współrzędne punktów, przez które przechodzą proste będące wykresami równań, możemy skorzystać z tabelek.
oraz
Rysujemy wykresy równań i odczytujemy współrzędne punktu ich przecięcia.
Rozwiązaniem układu równań jest para liczb .
Znajdziemy współrzędne wierzchołków trójkąta, o którym wiadomo, że jego ramiona zawierają się w prostych:
,
,
.
Rysujemy wykresy tych równań w jednym układzie współrzędnych.
Na rysunku widzimy, że proste parami się przecinają, tworząc trójkąt. Współrzędne punktów przecięcia prostych , oraz , to odpowiednio rozwiązania układów równań:
współrzędne punktu – rozwiązanie układu ,
współrzędne punktu – rozwiązanie układu ,
współrzędne punktu – rozwiązanie układu .
Odczytujemy z wykresu współrzędne punktów , oraz .
A zatem współrzędne wierzchołków trójkąta to , oraz .
Współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych, to para liczb będąca rozwiązaniem układu równań opisujących te proste.
Dany jest czworokąt , w którym współrzędne wierzchołków są rozwiązaniami podanych układów równań.
Obliczymy pole tego czworokąta, wiedząc, że:
współrzędne punktu to rozwiązanie układu ,
współrzędne punktu to rozwiązanie układu ,
współrzędne punktu to rozwiązanie układu ,
współrzędne punktu to rozwiązanie układu .
Wykonujemy odpowiedni rysunek.
Na podstawie rysunku możemy stwierdzić, że czworokąt to trapez, możemy też odczytać współrzędne wierzchołków.
Wiemy zatem, że: , , , .
Możemy też odczytać długości odcinków potrzebnych do obliczenia pola tego trapezu:
podstawy , ,
wysokość trapezu .
Obliczamy pole
Pole trapezu wynosi .
Interpretacja graficzna pomaga nam przy rozwiązywaniu problemów praktycznych.
Kasia wyszła rano na spacer. Szła z prędkością . Godzinę później Magda, tą samą trasą, pobiegła z prędkością . Po jakim czasie od wyjścia Kasi, dziewczynki się spotkają?
Możemy narysować sytuację opisaną w zadaniu na wykresie. Na osi odciętych zaznaczamy czas , na osi rzędnych – pokonaną drogę .
Korzystając z interpretacji geometrycznej możemy odczytać, że dziewczynki spotkają się po dwóch godzinach od początku spaceru Kasi. Widzimy również, że pokonają w tym czasie .
Możemy też, korzystając ze wzoru na prędkość , zapisać równania prostych, w których zawierają się powyższe wykresy.
Sprawdzimy jeszcze, czy prawidłowo odczytaliśmy rozwiązanie układu.
A zatem dziewczynki spotkają się po dwóch godzinach od wyjścia Kasi na spacer i pokonają w tym czasie kilometrów.
Wyznaczymy parametry oraz , dla których układ równańukład równań jest układem:
a) oznaczonym,
b) nieoznaczonym,
c) sprzecznym.
Do rozwiązania zadania wykorzystamy interpretację geometryczną układu równań.
Równanie zapisujemy w innej postaci i rysujemy jego wykres.
Drugie równanie również przekształcamy.
a)
Aby układ był oznaczony, prosta musi mieć punkt wspólny z prostą .
Przykłady takich prostych przedstawiono na rysunku.
A zatem proste oraz nie mogą być równoległe, więc ich współczynniki kierunkowe nie mogą być równe.
Współczynnik może być dowolny, ponieważ prosta może przeciąć oś w dowolnym punkcie.
A zatem układ równań jest oznaczony dla .
b)
Aby układ był nieoznaczony, prosta musi mieć nieskończenie wiele punktów wspólnych z prostą .
Proste te muszą się pokrywać, a więc współczynniki muszą być sobie odpowiednio równe.
A zatem układ równańukład równań jest nieoznaczony dla .
c)
Aby układ był sprzeczny, prosta nie może mieć żadnego punktu wspólnego z prostą .
Proste te muszą być równoległe i nie mogą mieć punktów wspólnych, a więc współczynniki kierunkowe muszą być takie same, ale wyrazy wolne muszą się różnić.
A zatem układ równań jest sprzeczny dla .
Słownik
zdanie złożone postaci „” (czytamy: i ); iloczyn logiczny; część wspólna
koniunkcja co najmniej dwóch równań
układ liczb spełniających każde z równań składowych w tym układzie
układ równań postaci:
układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb
układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest nieskończenie wiele par liczb
układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, który nie posiada rozwiązań