Przeczytaj
Przypomnijmy definicję oraz podstawowe własności walca.
Walec jest bryłą obrotową, która powstaje przez obrót prostokąta dookoła osi zawierającej jeden z jego boków.
Niech będzie długością promienia podstawy walca, a jego wysokością.
Pole powierzchni walca
Walec zbudowany jest z dwóch podstaw, które są kołami o promieniu oraz powierzchni bocznej, która po rozwinięciu jest prostokątem o bokach długości oraz .
Zatem pole powierzchni całkowitej walca zapisujemy wzorem:
gdzie:
Wobec tego
Obliczymy pole powierzchni całkowitej walca powstałego w wyniku obrotu prostokąta o wymiarach i wokół krótszego boku.
Rozwiązanie
Narysujmy walec i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.
Jeżeli jest długością promienia podstawy walca, a długością jego wysokości, to:
,
.
Zatem pole powierzchni całkowitej tego walca wynosi:
.
Obliczymy pole powierzchnipole powierzchni całkowitej walca, jeżeli obwód jego podstawy wynosi , a wysokość walca ma długość .
Rozwiązanie
Narysujmy walec i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.
Z treści zadania mamy, że . Obwód podstawy walcawalca o promieniu obliczamy ze wzoru , zatem do wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie:
, czyli .
Wobec tego pole powierzchni całkowitej tego walca wynosi:
.
Obliczymy długość promienia podstawy walca, gdy jego pole powierzchni całkowitej wynosi , a wysokość ma długość .
Rozwiązanie
,
.
Niech będzie długością promienia podstawy walca.
Do wyznaczenia wartości wykorzystamy wzór na pole powierzchni całkowitej walca:
.
Zatem:
.
Zatem promień podstawy walca jest równy .
Obliczymy pole powierzchni całkowitej bryły o wymiarach, jak na rysunku.
Rozwiązanie
Zauważmy, że bryła z rysunku składa się z dwóch walców.
Wprowadźmy następujące oznaczenia:
– długość promienia mniejszego walca,
– długość promienia większego walca,
– długość wysokości mniejszego walca,
– długość wysokości większego walca.
Z rysunku odczytujemy, że:
,
,
.
Wobec tego pole powierzchni całkowitej tej bryły obliczymy ze wzoru:
.
Zatem:
.
W sześcian o przekątnej długości wpisano walec. Obliczymy pole powierzchni całkowitej tego walca.
Rozwiązanie
Narysujmy walec wpisany w sześcian i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.
Zauważmy, że jeśli jest długością krawędzi sześcianu, długością promienia podstawy walca, a długością jego wysokości, to zachodzą następujące zależności:
oraz .
Ponieważ przekątna sześcianu ma długość , zatem do wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie:
.
Zatem oraz .
Wobec tego pole powierzchni całkowitej walca wynosi:
.
Słownik
bryła obrotowa, która powstaje przez obrót prostokąta wokół prostej zawierającej jeden bok
miara przyporządkowująca danej figurze liczbę nieujemną, charakteryzująca jej rozmiar