Warto przeczytać

Przyjrzyjmy się prostej sytuacji, którą możemy spotkać na budowie, czy wnosząc meble do mieszkania. Na ziemi spoczywa masa m, a my chcemy wciągnąć ją na wysokość H. Musimy zatem wykonać pracę: $W=\overrightarrow{F_g}·\overrightarrow{H}=F_g·H·\cos 0°=F_{g}H=mgH$.

Jaką siłę musimy przyłożyć do liny doczepionej do ciężaru, aby unieść go do góry? W najprostszej sytuacji, przedstawionej na Rys. 1. po prostu siłę ${\displaystyle \overrightarrow{F_0}}$ o wartości równej sile grawitacji, skierowaną pionowo do góry. To nie jest łatwe, gdy ciężar jest znaczny! Zdecydowanie łatwiej jest ciągnąć linę w dół niż do góry. Do tego możemy jeszcze wykorzystać ciężar swojego ciała... I tu przychodzi z pomocą bloczek. W prawej części Rys. 1.  widzimy właśnie sztywno zamocowany bloczek – czyli element, na którym można umieścić linę (cięgnoCięgnocięgno), a który może obracać się dookoła własnej osi. Przerzucenie liny przez taki sztywno zawieszony bloczek sprawia, że możemy do uniesienia ciężaru użyć siły o tej samej wartości, ale skierowanej w dół. Jeśli pociągniemy za koniec liny, przykładając siłę ${\displaystyle \overrightarrow{F_1}}$, lina się napręży, przez co do ciężaru na dole również zostanie przyłożona siła ${\displaystyle \overrightarrow{F_1}}$. Aby podnieść ciężar ${\displaystyle \overrightarrow{F_g}}$ musimy przyłożyć siłę ${\displaystyle \overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{F_g}}$ – wektory $\overrightarrow{F_0}=-\overrightarrow{F_1}$ w obu przypadkach mają tę samą wartość, ale są przeciwnie skierowane. Zamaiast ciągnąć do góry, ciągniemy linę w dół.

R7otOgzWJa3Pa

Rys. 1. Ilustracja składa się z dwóch części. Z lewej strony widać ciężarek leżący na podłodze, który ma być podniesiony na wysokość wielkie H. Do ciężarka przyłożony jest wektor siły ciężkości skierowany pionowo w dół i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym małe g i strzałką nad nią. Od góry do ciężarka przymocowana jest pionowa lina, do której górnego końca przyłożony jest wektor siły skierowany pionowo w górę i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym zero i strzałką nad nią. Rysunek z prawej strony zawiera wszystkie elementy lewego rysunku, z tym, że pionowa lina przymocowana do ciężarka przerzucona jest przez bloczek, czyli mały walec, który może obracać się wokół osi. Pozioma oś obrotu bloczka umocowana jest do sufitu. Lina wchodzi do bloczka od dołu z lewej strony i wychodzi w dół z prawej strony. Do końca liny przyłożony jest wektor siły skierowany pionowo w dół i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym 1 i strzałką nad nią.

To w wielu sytuacjach znaczne ułatwienie. Jeśli jednak ciężar do podniesienia jest duży, to nadal możemy sobie nie poradzić. Z pomocą przyjdzie nam układ dwóch bloczków – przyjrzyjmy się Rys. 2. Przedstawiony jest na nim układ dwóch bloczków: jeden jest nieruchomy (krążek stałyKrążek stałykrążek stały), a drugi zawieszony na linie – ten jest ruchomy (krążek przesuwanyKrążek przesuwanykrążek przesuwany). Tym razem koniec liny zamocowany jest do nieruchomego punktu, a ciężar połączony jest z ruchomym bloczkiem. Drugi bloczek pozostaje umocowany nieruchomo. Siła grawitacji ${\displaystyle \overrightarrow{F_g}}$ ciężaru równoważona jest przez dwie równe siły naprężenia lin, przyłożone z dwóch stron ruchomego bloczku, co widać na Rys. 2. Wartość każdej z nich równa się połowie ciężaru. Jaką siłę należy przyłożyć do wolnego końca liny, aby zrównoważyć ten układ? Widzimy, że będzie to siła ${\displaystyle \overrightarrow{F_2}=\frac{\overrightarrow{F_g}}{2}}$. Lina napręży się, a ruchomy bloczek uniesie się do góry. Ciężar się uniesie tak, jak w poprzednim przykładzie – ale teraz przyłożyliśmy o połowę mniejszą siłę!

R1MFHbLHAfsar

Rys. 2. Na rysunku znajduje się ciężarek leżący na podłodze, który ma być podniesiony na wysokość wielkie H. Do ciężarka przyłożony jest wektor siły ciężkości skierowany pionowo w dół i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym małe g i strzałką nad nią. Do ciężarka przymocowana jest pionowa lina. Górny koniec liny przymocowany jest do osi obrotu ruchomego bloczka. Bloczek ten utrzymywany jest w górze za pomocą drugiej liny, której jeden koniec przywiązany jest do sufitu, a drugi koniec przeprowadzony od spodu przez bloczek i dalej przeciągnięty pionowo do góry i przerzucony przez drugi nieruchomy bloczek, którego oś obrotu przymocowana jest do sufitu. Do końca liny wychodzącego w dół z prawej strony nieruchomego bloczka przyłożona jest siła oznaczona literą wielkie F z indeksem dolnym 2 i strzałką nad nią. Dwie siły o takiej samej wartości przyłożone są też do liny w punktach styczności z bloczkiem ruchomym. Siły te skierowane są pionowo w górę i równoważą siłę ciężkości działającą na podnoszony ciężarek.

Tym razem wystarczyło przyłożyć dwa razy mniejszą siłę $\overrightarrow{F_2}$, ale jaką długość liny musieliśmy wyciągnąć, aby unieść ciężar o $H$? Musieliśmy wyciągnąć dwa razy więcej liny – wyciągnięcie jednego metra liny powoduje podniesienie ciężaru o pół metra. Praca, jaką wykonaliśmy, pozostaje ta sama $W=F_{g}H=F_2\frac{H}{2}$.

Omawiany układ składał się z dwóch bloczków, ale w ogólności może ich być n. Wtedy będziemy mówić o wielokrążku, w żeglarstwie nazywanym talią. Analizę rozkładu sił przy montowaniu kolejnych ruchomych bloczków prezentuje Rys. 4.

R1OtELj5LsvR3

Rys. 3. Ilustracja składa się z czterech rysunków pokazujących podnoszenie ciężarka za pomocą różnych układów bloczków. Na każdym rysunku ciężarek podnoszony jest za pomocą pionowej liny na wysokość małe h równe 10 centymetrów, a siła ciężkości działająca na ciężarek wynosi wielkie F z indeksem dolnym wielkie L równe 100 niutonów. Na rysunku 1 lina podnosząca ciężarek przerzucona jest przez bloczek nieruchomy. Siła naciągu liny łączącej ciężarek z bloczkiem wynosi 100 niutonów. Siła ciągnąca za koniec liny skierowana w dół wynosi wielkie F z indeksem dolnym małe s równe 100 niutonów. Przesunięcie końca liny wynosi małe s równe 10 centymetrów. Na rysunku 2 lina podnosząca ciężarek przymocowana jest do osi ruchomego bloczku. Bloczek ten wisi na drugiej linie, której jeden koniec przymocowany jest do sufitu, a drugi przerzucony przez bloczek nieruchomy. Bloczek ruchomy z zawieszonym na nim ciężarkiem wisi na dwóch linach o sile naciągu 50 niutonów każda. Siła ciągnąca za koniec liny skierowana w dół wynosi wielkie F z  indeksem dolnym małe s równe 50 niutonów. Przesunięcie końca liny wynosi małe s równe 20 centymetrów. Na rysunku 3 lina podnosząca ciężarek przymocowana jest do osi ruchomego bloczku. Pod sufitem znajdują się 2 bloczki nieruchome przymocowane jeden pod drugim. Bloczek ruchomy wisi na linie, której jeden koniec przymocowany jest osi bloczka, a następnie przerzucony przez dolny bloczek nieruchomy, potem dołem przechodzi przez bloczek ruchomy i dalej górą przez górny bloczek nieruchomy. Bloczek ruchomy z zawieszonym na nim ciężarkiem wisi na trzech linach o sile naciągu 33 i jedna trzecia niutonów każda. Siła ciągnąca za koniec liny skierowana w dół wynosi wielkie F z indeksem dolnym małe s równe 33 i jedna trzecia niutonów. Przesunięcie końca liny wynosi małe s równe 30 centymetrów. Na rysunku 4 lina podnosząca ciężarek przymocowana jest do osi ruchomego bloczku. Do osi tego bloczka przymocowana jest oś drugiego ruchomego bloczka, znajdującego się nad nim. Pod sufitem znajdują się 2 bloczki nieruchome przymocowane jeden pod drugim. Bloczki ruchome wiszą na linie, która kolejno przechodzi przez górny boczek nieruchomy, dolny bloczek ruchomy, dolny bloczek nieruchomy, górny bloczek ruchomy, a jej koniec przymocowany jest do osi dolnego bloczka nieruchomego. Bloczki ruchome z zawieszonym na nich ciężarkiem wiszą na czterech linach o sile naciągu 25 niutonów każda. Siła ciągnąca za koniec liny skierowana w dół wynosi wielkie F z indeksem dolnym małe s równe 25 niutonów. Przesunięcie końca liny wynosi małe s równe 40 centymetrów.

Jak widać, za każdym razem praca, którą wykonujemy, jest taka sama – przykładamy o połowę mniejszą siłę na dwa razy dłuższej drodze, trzy razy mniejszą siłę na trzy razy dłuższej drodze lub cztery razy mniejszą siłę na cztery razy dłuższej drodze. Ogólnie mówiąc: przy układzie n bloczków przyłożona siła jest n razy mniejsza od ciężaru podnoszonego obiektu, ale musimy wybrać n razy dłuższy odcinek liny.

Oczywiście jest to pewne wyidealizowane przybliżenie – w rzeczywistych układach, szczególnie przy dużych wartościach n musimy brać pod uwagę zarówno opory tarcia liny o bloczki, jak i bezwładność samych bloczków. Jednakże sprawność powszechnie stosowanych bloczków przekracza wartość 0,97 czyli jedynie 3% energii jest rozpraszane, reszta jest wykorzystywana do wykonania użytecznej pracy. Na Rys. 4a. - 4d. przedstawiono rzeczywiste przykłady wykorzystania wielokrążków – w budownictwie, w żeglarstwie i w alpinizmie.

Poniżej przykłady rzeczywistych realizacji wielokrążka.

R13nJzfARB633

Rys. 4a. Zdjęcie przedstawia gruby łańcuch zaczepiony do bloczka ruchomego, zawieszonego na dwóch linach.

R8GfaL6Ab15X0

Rys. 4b. Zdjęcie przedstawia grubą linę przechodzącą przez bloczek.

RWad9XySCNKeR

Rys. 4c. Zdjęcie przedstawia alpinistę wiszącego na linie, która jest przyczepiona za pomocą bloczka do liny poziomej zawieszonej wysoko nad ziemią.

R1cHEZ45JsazQ

Rys. 4d. Zdjęcie przedstawia grubą, czerwoną linę przechodzącą przez układ bloczków.

Na koniec warto wspomnieć, że przedstawiona powyżej konstrukcja wielokrążka nie jest jedyną z możliwych – nazywa się ją wielokrążkiem zwykłym. Na Rys. 5. zaprezentowano schemat budowy wielokrążka różnicowego oraz potęgowego.

R1LJ1qgSdP1rH

Rys. 5. Wielokrążek różnicowy pokazany na rysunku składa się z dwóch krążków nieruchomych o różnych promieniach, osadzonych na wspólnej osi oraz jednego krążka ruchomego. Ciężarek o sile ciężkości oznaczonej literą wielkie Q przymocowany jest do osi krążka ruchomego. Lina ciągnąca przerzucona jest przez większy krążek nieruchomy, następnie od dołu przez krążek ruchomy, dalej przez mniejszy krążek nieruchomy. Koniec liny wychodzącej z małego krążka nieruchomego połączona jest z drugim końcem liny, do którego przyłożona jest siła ciągnąca, oznaczona literą wielkie P. Wielokrążek potęgowy pokazany na rysunku składa się z krążka nieruchomego i trzech krążków ruchomych. Ciężarek o sile ciężkości oznaczonej literą wielkie Q przymocowany jest do osi najniższego krążka ruchomego. Każdy z krążków ruchomych wisi na linie, której prawy koniec przymocowany jest do sufitu, a lewy koniec do osi krążka znajdującego się nad nim. Tylko najwyższy krążek ruchomy stanowi wyjątek. Lewy koniec liny wychodzącej z tego krążka przerzucony jest przez krążek nieruchomy i przyłożona jest do niego siła ciągnąca, skierowana w dół i oznaczona literą wielkie P.

W poniższej tabeli zestawiono wzory pozwalające obliczyć wartość siły P niezbędnej do uniesienia ciężaru Q przy zastosowaniu każdego z omówionych układów, przy n krążkach swobodnych:

gdzie: P – siła poruszająca, Q – siła użyteczna, n – liczba krążków przesuwnych.

Słowniczek