Warto przeczytać

W przytoczonej we wstępie definicji pola magnetycznegoPole magnetycznepola magnetycznego mowa jest o siłach działających na „ciała mające moment magnetyczny”. Naprawdę chodzi o obracanie tych ciał, czyli chodzi o działanie momentu siły.

Rzeczywiście, moment magnetyczny zdefiniowany jest poprzez moment siły działający na dipol.

Magnetyczny moment dipolowy $\overrightarrow{\mu }$ definiuje się przez moment siły $\overrightarrow{M}$ działający na dipol w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji $\overrightarrow{B}$ w następujący sposób:

Czyli jeśli jakiś obiekt fizyczny ulega obrotowi w polu magnetycznym, to ma moment magnetyczny. Tu trzeba być, jak zwykle z iloczynami wektorowymi, ostrożnym. Jeśli wektor momentu magnetycznego będzie równoległy do linii pola magnetycznegoLinie pola magnetycznegolinii pola magnetycznego (

), to akurat wtedy moment siły będzie równy zeru. Na przykład igła magnetyczna ustawiona wzdłuż linii pola nie będzie się obracała. Będzie w położeniu równowagi, chyba że ją z tego położenia równowagi wytrącimy.

Przypomnijmy wobec tego w tym miejscu ważną wielkość fizyczną, jaką jest moment siły. Jeśli na ciało działa niezerowy moment siły, to ciało zostaje wprawione w ruch obrotowy. Jest to wobec tego dla ruchu obrotowego zasadnicza wielkość, analogiczna do siły dla ruchu postępowego ciała. Moment siły zdefiniowany jest jako iloczyn wektorowy:

gdzie wektor $\overrightarrow{r}$ jest ramieniem siły $\overrightarrow{F}$ (zobacz Rys. 1. i 2.).

Rozpatrzmy prosty przykład - otwieranie drzwi. Oś obrotu to prosta, na której leżą zawiasy, siła jest przyłożona w odległości r od osi obrotu.

RYkJQxqRg2m2Q

Rys. 1. Rysunek przedstawia szare prostokątne drzwi widziane z boku. W pewnej odległości od osi ich obrotu, przedstawionej w postaci poziomej, skierowanej w prawo, czarnej strzałki wektora położenia oznaczonej małą literą r, przyłożono pod pewnym kątem do drzwi zielony wektor siły skierowany w głąb rysunku, oznaczony wielką literą F. Pod wpływem tej siły drzwi poruszają się w głąb rysunku po płaszczyźnie równoległej do tej, którą tworzą wektor położenia i wektor siły. Działanie siły powoduje też powstanie pionowego, czerwonego wektora momentu siły skierowanego ku górze wzdłuż osi obrotu drzwi oznaczonego wielką literą M. Wektor położenia i momentu siły mają ten sam punkt przyłożenia oznaczony czarną kropką i czarną liczbą zero.

RF4MCyby5GQWE

Rys. 2. Rysunek przedstawia szare prostokątne drzwi widziane z góry. W pewnej odległości od osi ich obrotu, przedstawionej w postaci poziomej, skierowanej w prawo, czarnej strzałki wektora położenia oznaczonej małą literą r, przyłożono, pod kątem opisanym małą literą alfa, do drzwi zielony wektor siły, skierowany w stronę prawego górnego rogu rysunku, oznaczony wielką literą F. Pod wpływem tej siły drzwi poruszają się odwrotnie do kierunku ruchu wskazówek zegara po płaszczyźnie równoległej do tej, którą tworzą wektor położenia i wektor siły. Działanie siły powoduje też postanie czerwonego wektora momentu siły skierowanego ku nam z głębi rysunku wzdłuż osi obrotu drzwi oznaczonego wielką literą M, co pokazano za pomocą czerwonego okręgu z czerwoną kropką w środku.

Zwrot momentu siły wyznaczamy, jak zwykle dla iloczynu wektorowego, za pomocą reguły śruby prawoskrętnej. Wartość momentu siły obliczymy posługując się wzorem:

gdzie $\alpha =\sphericalangle (\overrightarrow{r},\overrightarrow{F})$.

Przeprowadzimy teraz pewien rachunek ilościowy, posługując się przykładem dipola w kształcie prostokątnej ramki z prądem. Spróbujemy znaleźć dla takiego dipola wyrażenie, pozwalające obliczyć wartość momentu magnetycznego. Wyjdziemy oczywiście od definicji momentu magnetycznego, czyli od momentu siły działającego na dipol (ramkę z prądem).

Jeśli umieścimy ramkę z prądem w jednorodnym polu magnetycznym, tak, jak zostało to przedstawione na Rys. 3., to na boki ramki prostopadłe do linii pola magnetycznego będą działały siły elektrodynamiczneSiła elektrodynamicznasiły elektrodynamiczne (zobacz rysunek). Ramka będzie się obracała.

RYLInLvtU0OuC

Rys. 3. Rysunek przedstawia prostokątną czarną ramkę z prądem umieszczoną w jednorodnym polu magnetycznym. Ramka przedstawiona została w poziomej, płaskiej pozycji. Prąd w ramce oznaczony czerwonymi strzałkami na rysunku ramki płynie w najbliższym nam boku ramki w lewo, w najdalszym od nas w prawo, w lewym boku od nas, a w prawym boku do nas. Ramka znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji przedstawionej w postaci równoległych do siebie, poziomych, skierowanych w prawo, niebieskich wektorów oznaczonych wielką literą B. Pod wpływem przepływającego przez pętle prądu oraz pola magnetycznego, na ramkę zaczynają działać siły elektrodynamiczne przedstawione w postaci zielonych wektorów skierowanych prostopadle do powierzchni ramki i oznaczonych wielką literą F z indeksem dolnym "ed". Siły te działają w górę na prawy bok ramki, a w dół na jej lewy bok. Powoduje to obrót ramki wokół własnej osi, przedstawionej w postaci czarnej linii przerywanej, przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara, co pokazano za pomocą łukowatej czarnej strzałki.

Zauważ, że na części ramki położone bliżej nas i dalej od nas siły nie działają (w tym położeniu ramki). Tak jest dlatego, że w tych częściach ramki prądy płyną równolegle do linii pola magnetycznego. Natomiast jeśli ramka się obróci, to siły będą już działać, ale jak wiemy, wektory sił ustawione w płaszczyźnie ramki, nie wpływają na jej obrót – ich moment siły wynosi zero. (Nie będziemy tych sił nawet uwzględniać na następnych rysunkach.) Obliczmy zatem wypadkowy moment siły działający na ramkę. Będzie to moment pary sił elektrodynamicznych.

gdzie $\overrightarrow{r}$ jest ramieniem siły elektrodynamicznej, wektorem zaznaczonym na Rys. 4., a jego wartość równa jest połowie długości boku $a$.

R11MAI4iHAGoY

Rys. 4. Rysunek przedstawia prostokątną czarną ramkę z prądem umieszczoną w jednorodnym polu magnetycznym. Ramka przedstawiona została w pozycji lekko pod kątem do poziomu w taki sposób, że jej prawy bok jest wyżej niż lewy. Prąd w ramce oznaczony czerwonymi strzałkami na rysunku ramki płynie w najbliższym nam boku ramki w lewo, w najdalszym od nas w prawo, w lewym boku od nas, a w prawym boku do nas. Długość boków bocznych została oznaczona małą literą b, a długość pozostałych dwóch boków, małą literą a. Ramka znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji przedstawionej w postaci równoległych do siebie, poziomych, skierowanych w prawo, niebieskich wektorów oznaczonych wielką literą B. Pod wpływem przepływającego przez pętle prądu oraz pola magnetycznego, na ramkę zaczynają działać siły elektrodynamiczne przedstawione w postaci zielonych wektorów skierowanych pionowo i oznaczonych wielką literą F z indeksem dolnym „ed”. Siły te działają w górę na prawy bok ramki, a w dół na jej lewy bok. Powoduje to obrót ramki wokół własnej osi, przedstawionej w postaci czarnej linii przerywanej, przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara, co pokazano za pomocą łukowatej czarnej strzałki.

Zauważ, że siły elektrodynamiczne będą miały cały czas taką samą wartość i położenie w przestrzeni, bowiem nie zmienia się przestrzenne położenie dłuższych boków ramki, ani ułożenie linii pola magnetycznego. Kąt między przewodnikami, a liniami pola wynosi cały czas 90°, wobec tego wartość siły $F_{ed}=IbB$, gdzie $b$ jest długością istotnych krawędzi ramki.

Obliczmy teraz wartość wypadkowego momentu siły działającego na ramkę.

gdzie $S = ab$ jest polem powierzchni ramki.

Zdefiniujmy teraz wektor powierzchni $\overrightarrow{S}$. Wektor $\overrightarrow{S}$ jest prostopadły do powierzchni pętli, jego długość jest równa polu powierzchni $S$, a zwrot jest wyznaczony regułą prawej dłoni – gdy zagięte palce pokazują jak płynie prąd, kciuk ustawiony jest zgodnie z wektorem powierzchni $\overrightarrow{S}$.

Na Rys. 5. pokazano ramkę i ważne dla dalszego wywodu wektory w innej perspektywie. Pokazany jest widok w płaszczyźnie ramki od strony boku, który jest bliżej nas.

R1eKdKceSvfyi

Rys. 5. Rysunek przedstawia czarną ramkę z prądem umieszczoną w jednorodnym polu magnetycznym. Rysunek wykonany jest z takiej perspektywy, że widać na nim tylko najbliższy nam bok ramki ustawiony do poziomu pod pewnym niewielkim kątem. Prąd w tym boku, oznaczony czerwoną strzałką, płynie w lewo. Ramka znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji przedstawionej w postaci poziomego, skierowanego w prawo, czarnego wektora oznaczonego wielką literą B. Pod wpływem przepływającego przez pętle prądu oraz pola magnetycznego, na ramkę zaczynają działać siły elektrodynamiczne przedstawione w postaci zielonych wektorów skierowanych pionowo i oznaczonych wielką literą F z indeksem dolnym „ed”. Siły te działają w górę na prawy bok ramki, a w dół na jej lewy bok. Powoduje to obrót ramki wokół własnej osi przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara. Na rysunku przedstawiono też wychodzący ze środka ramki pod kątem w dół i prawo fioletowy wektor prostopadły do jej powierzchni oznaczony wielką literą S. Między tym wektorem, a wektorem indukcji magnetycznej wrysowano czarny ostry kąt oznaczony małą grecką literą alfa. Odległość od osi obrotu bocznych krawędzi ramki oznaczono czarnym wektorem położenia wychodzącym z osi obrotu wzdłuż najbliższego nam boku ramki w lewo oznaczonym małą literą r.

Z praw geometrii wynika, że zaznaczony na rysunku kąt między wektorami $\overrightarrow{r}$ i ${\overrightarrow{F}}_{ed}$ jest równy zaznaczonemu kątowi między wektorami $\overrightarrow{S}$ i $\overrightarrow{B}$.

Wpiszmy ten nowy kąt do wyrażenia dla momentu siły. Otrzymamy:

I dokonajmy porównania z wzorem definiującym moment magnetyczny:

Wartość momentu siły wynosi $M=\mu B\sin \sphericalangle (\overrightarrow{\mu },\overrightarrow{B})$.

Z porównania obu wyrażeń wynika, że wartość momentu magnetycznego $\mu=IS$, a kierunek i zwrot wektora $\overrightarrow{\mu }$ jest taki jak wektora powierzchni $\overrightarrow{S}$.

Wobec tego wektor momentu magnetycznego $\overrightarrow{\mu }$ pętli z prądem możemy zapisać jako iloczyn natężenia prądu $I$ i wektora powierzchni $\overrightarrow{S}$.

R1UhsNYikg7BB

Rys. 6. Na rysunku widać ustawioną poziomo czarną pętlę z prądem, w której prąd oznaczony wielką literą I płynie odwrotnie do kierunku ruchu wskazówek zegara, co zostało podkreślone za pomocą czarnej strzałki. Pole powierzchni wewnątrz pętli zostało pomalowane na szaro i oznaczone wielką literą S. Przepływ prądu w pętli powoduje powstanie dipolowego momentu magnetycznego prostopadłego do niej. Dipolowy moment magnetyczny pokazano na rysunku za pomocą czarnej strzałki wektora skierowanej pionowo do góry i oznaczonej małą literą mi. Dodatkowo na rysunku umieszczono czerwony wektor o tym samym punkcie przyłożenia, kierunku i zwrocie, ale innej wartości. Wektor ten oznaczono wielką literą S.

Warto dodać, że wyżej wyprowadzone wyrażenie pozwala obliczyć moment magnetyczny dipola, będącego pętlą z prądem dla dowolnego kształtu pętli (Rys. 6.).

Słowniczek

Siła elektrodynamiczna

Siła elektrodynamiczna

(ang. electromagnetic force) – siła, która działa na przewodnik z prądem umieszczony w polu magnetycznym. Określa ją następujący wzór: ${\overrightarrow{F}}_{ed}=I\cdot (\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{B})$, gdzie wektor $\overrightarrow{l}$ jest wektorem o długości przewodnika $l$ i kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem prądu w przewodniku. Wartości siły elektrodynamicznej obliczymy posługując się zależnością:

$$F_{ed}=IlB\cdot \sin \sphericalangle (\overrightarrow{l},\overrightarrow{B})$$

Występujący w tej zależności wektor ${\overrightarrow{F}}_{ed}$ jest prostopadły zarówno do wektora $\overrightarrow{l}$ jak i do wektora $\overrightarrow{B}$.

Zwrot siły elektrodynamicznej wyznaczamy za pomocą reguły śruby prawoskrętnej, co pokazano na rysunku.

R1dGtSjEWJXOn

Na rysunku przedstawiono dwa prostopadłe czarne wektory jeden oznaczony małą literą x, a drugi małą literą y. Wektor x na rysunku skierowany jest w prawo, a wektor y w głąb rysunku. Płaszczyznę, w której znajdują się wektory x i y pomalowano na niebiesko. Prostopadle do tej płaszczyzny, pionowo do góry, wyprowadzono czerwony wektor oznaczony małą literą z. Wszystkie trzy wektory mają wspólny punkt przyłożenia oznaczony cyfrą zero. Pomiędzy wektorami x i y widzianymi od góry narysowano czarny łuk kąta skierowany odwrotnie do kierunku ruchu wskazówek zegara. Na rysunku umieszczono też śrubę prawoskrętną skierowaną główką w dół, a gwintem do góry. Jeśli obrócimy tę śrubę zgodnie z kątem skierowanym to będzie się ona wkręcać w górę, co pokazano na rysunku za pomocą zielonej strzałki skierowanej w górę umieszczonej obok śruby. Stąd otrzymujemy kierunek i zwrot wektora z.

$\vec{z}=\vec{x}\times\vec{y}\ .$