Przeczytaj
Równaniem wielomianowym stopnia , , nazywamy równanie, które można zapisać w postaci , gdzie jest wielomianem stopnia .
Aby wyznaczyć pierwiastki wielomianu często rozkłada się go na czynniki stopnia co najwyżej drugiego.
Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu wielomianu w postaci iloczynowej.
Jedną z metod sprowadzenia wielomianu do postaci iloczynowej jest wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia.
Przypomnijmy kilka wzorów
Wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń:
Wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń:
Wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń:
Wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy dwóch wyrażeń:
Wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń:
Wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów dwóch wyrażeń:
Wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów dwóch wyrażeń:
Rozwiążemy równanie , rozkładając lewą stronę równania na czynniki, za pomocą wzorów skróconego mnożenia.
Wykorzystamy dwukrotnie wzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń:
.
lub lub
lub , trzecie równanie nie posiada rozwiązań
lub
Równanie ma dwa rozwiązania , .
Rozwiążemy równanie .
Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeńwzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.
Czyli:
lub .
Równanie ma dwa rozwiązania , .
Rozwiążemy równanie , rozkładając lewą stronę równania na czynniki.
Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów dwóch wyrażeńwzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów dwóch wyrażeń.
lub
– brak rozwiązań
Równanie ma dwa rozwiązania , .
Rozwiążemy równanie , rozkładając lewą stronę na czynniki możliwie najmniejszego stopnia.
Aby wykorzystać wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń
zapiszemy równanie w postaci równoważnej.
Teraz skorzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów dwóch wyrażeńwzoru na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.
lub
Wyróżnik trójmianu kwadratowego dla obu równań jest ujemny.
– brak rozwiązań
Równanie nie posiada rzeczywistych rozwiązań.
Rozwiążemy równanie .
Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeńwzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń.
Zapiszemy równanie w postaci:
lub
Równanie ma dwa rozwiązania , .