Równaniem wielomianowym stopnia $n$, $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$, nazywamy równanie, które można zapisać w postaci $W\left(x\right)=0$, gdzie $W\left(x\right)$ jest wielomianem stopnia $n$.

Rozwiążemy równanie $9x^4-1=0$, rozkładając lewą stronę równania na czynniki, za pomocą wzorów skróconego mnożenia.

Wykorzystamy dwukrotnie wzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń:

$a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$.

$9x^4-1=0$

$\left(3x^2-1\right)\left(3x^2+1\right)=0$

$\left(\sqrt{3}x-1\right)\left(\sqrt{3}x+1\right)\left(3x^2+1\right)=0$

$\sqrt{3}x-1=0$ lub $\sqrt{3}x+1=0$ lub $3x^2+1=0$

$x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ lub        $x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ ,  trzecie równanie nie posiada rozwiązań

$x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ lub $x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

Równanie ma dwa rozwiązania $x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$, $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Rozwiążemy równanie $9x^4-6x^2+1=0$.

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeńwzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeńwzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$

Czyli:

${\left(3x^2\right)}^2-2·3x^2·1+1^2=0$

${\left(3x^2-1\right)}^2=0$

$3x^2-1=0$

$\left(\sqrt{3}x-1\right)\left(\sqrt{3}x+1\right)=0$

$x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ lub $x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Równanie ma dwa rozwiązania $x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$, $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Rozwiążemy równanie $x^6-64=0$, rozkładając lewą stronę równania na czynniki.

Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów dwóch wyrażeńwzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów dwóch wyrażeńwzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów dwóch wyrażeń.

$a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)$

$x^6-64=0$

${\left(x^2\right)}^3-4^3=0$

$\left(x^2-4\right)\left[{\left(x^2\right)}^2+4x^2+4^2\right]=0$

$\left(x^2-4\right)\left(x^4+4x^2+16\right)=0$

$x^2-4=0$

$\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$

$x=2$ lub $x=-2$

$x^4+4x^2+16=0$

$x^2=z\ge 0$

$z^2+4z+16=0$

$∆=16-4·16=16-64=-48<0$ – brak rozwiązań

Równanie ma dwa rozwiązania $x=-2$, $x=2$.

Rozwiążemy równanie $x^4+4=0$, rozkładając lewą stronę na czynniki możliwie najmniejszego stopnia.

Aby wykorzystać wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń

${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$ zapiszemy równanie w postaci równoważnej.

$x^4+4x^2-4x^2+4=0$

$x^4+4x^2+4-4x^2=0$

${\left(x^2+2\right)}^2-{\left(2x\right)}^2=0$

Teraz skorzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów dwóch wyrażeńwzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeńwzoru na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.

$\left(x^2+2-2x\right)\left(x^2+2+2x\right)=0$

$\left(x^2-2x+2\right)\left(x^2+2x+2\right)=0$

$x^2-2x+2=0$ lub $x^2+2x+2=0$

Wyróżnik trójmianu kwadratowego dla obu równań jest ujemny.

$∆=4-8=-4<0$ – brak rozwiązań

Równanie nie posiada rzeczywistych rozwiązań.

Rozwiążemy równanie $x^6-6x^4+12x^2-8=0$.

Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeńwzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeńwzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń.

${\left(a-b\right)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

$x^6-6x^4+12x^2-8=0$

Zapiszemy równanie w postaci:

${\left(x^2\right)}^3-3·x^4·2+3·x^2·4-8=0$

${\left(x^2-2\right)}^3=0$

$x^2-2=0$

$\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)=0$

$x=\sqrt{2}$ lub $x=-\sqrt{2}$

Równanie ma dwa rozwiązania $x=-\sqrt{2}$, $x=\sqrt{2}$.