Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Rozważmy wektor AB o współrzędnych x2-x1y2-y1. Wyrazimy teraz długość tego wektora w zależności od tych współrzędnych. Rozważymy trzy przypadki:

1. x1=x2

RPmemCzhwwi5p

Wówczas AB=A"B"=y2-y1.

2. y1=y2

R1D1z8eo6RDPH

Wówczas AB=A'B'=x2-x1.

3. x1x2, y1y2

R1D1ayJiumKsY

Wówczas AC=A'B'=x2-x1CB=A"B"=y2-y1.

twierdzenia Pitagorasatwierdzenie Pitagorasatwierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta prostokątnego ABC otrzymujemy AB=AC2+CB2=x2-x12+y2-y12=(x2-x1)2+(y2-y1)2

Oczywiście wzory z przypadków 1. i 2. zawierają się w przypadku 3. Innymi słowy długość wektorów w układzie współrzędnychdługość wektora w układzie współrzędnychdługość wektorów w układzie współrzędnych równa jest pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów różnic odpowiednich współrzędnych początku i końca tego wektora. Zauważmy jeszcze, że długość wektora zaczepionego w początku układu współrzędnych jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów współrzędnych jego końca:

RDUVrh3HmvrSn

OP=x2+y2

Przykład 1

Obliczymy długość wektora AB, dla A=(-2;2), B=(3;-4). Zgodnie z definicją długość wektora jest równa pierwiastkowi z sumy kwadratów różnic odpowiednich współrzędnych początku i końca wektora:

AB=(3-(-2))2+(-4-2)2=52+(-6)2=25+36=61

Zatem długość wektora o początku w punkcie A=(-2;2) i końcu w punkcie B=(3;-4) jest równa 61.

Przykład 2

Wyznaczymy wartości parametru m, dla których długość wektora o początku w punkcie A=(1;2) i końcu w punkcie B=(m;6) jest równa 5.

Zgodnie z definicją długość wektora AB wyraża się formułą AB=(m-1)2+(6-2)2. Zatem aby wyznaczyć m wystarczy rozwiązać równanie (m-1)2+(6-2)2=5 , które jest równoważne kolejno (m-1)2+16=5.

(m-1)2+16=25

(m-1)2=9

m-1=3 lub m-1=-3

m=4 lub m=-2

Przykład 3

Obliczymy obwód trójkąta o wierzchołkach A=(-1;2), B=(-2;1), C=(3;3). W tym celu wyznaczymy najpierw współrzędne wektorów AB, BC, CA:

AB=[-2-(-1);1-2]=[-1;-1]

BC=[3-(-2);3-1]=[5;2]

CA=[-1-3;2-3]=[-4;-1]

Zatem obwód trójkąta ABC jest równy

AB+BC+CA==(-1)2+(-1)2+52+22+(-4)2+(-1)2==2+29+17

Słownik

długość wektora w układzie współrzędnych
długość wektora w układzie współrzędnych

można ją obliczyć znając współrzędne początku i końca wektora: jest równa pierwiastkowi z sumy kwadratów różnic odpowiednich współrzędnych początku i końca wektora

twierdzenie Pitagorasa
twierdzenie Pitagorasa

w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej