Rozważmy wektor $\overrightarrow{AB}$ o współrzędnych $x_2-x_1$ i $y_2-y_1$. Wyrazimy teraz długość tego wektora w zależności od tych współrzędnych. Rozważymy trzy przypadki:

1. Przypadek $\text{I}$: $x_1=x_2$

   RPmemCzhwwi5p

   Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y. Na osiach nie są zaznaczone wartości, rysunek zawiera pierwszą ćwiartkę. Na płaszczyźnie przestawione są dwa pionowe wektory o tej samej długości i tym samym zwrocie. Wektor A B ma swój początek w punkcie A o współrzędnych X 1 Y 1 i koniec w punkcie B o współrzędnych X 1 Y 2. Wektor A prim prim B prim prim jest mu równy, przy czym leży na osi Y na tej samej wysokości, co wektor A B. Z punktu A poprowadzona jest pozioma linia przerywana do punktu A prim prim. Analogicznie z punktu B poprowadzona jest pozioma linia przerywana do punktu B prim prim. Narysowany jest także rzut punktu A na oś X.

   

   Wówczas .

2. Przypadek $\text{II}$: $y_1=y_2$

   R1D1z8eo6RDPH

   Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y. Na osiach nie są zaznaczone wartości, rysunek zawiera pierwszą i drugą ćwiartkę. Na płaszczyźnie przestawione są dwa poziome wektory o tej samej długości i tym samym zwrocie. Wektor A B ma swój początek w punkcie A o współrzędnych X 1 Y 1 i koniec w punkcie B o współrzędnych X 2 Y 1. Wektor A prim B prim jest mu równy, przy czym leży na osi X. Z punktu A poprowadzona jest pionowa linia przerywana do punktu A prim. Analogicznie z punktu B poprowadzona jest pionowa linia przerywana do punktu B prim.

   

   Wówczas $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}\right|=\left|x_2-x_1\right|$.

3. Przypadek $\text{III}$: $x_1\ne x_2, y_1\ne y_2$

   R1D1ayJiumKsY

   Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y. Na osiach nie są zaznaczone wartości, rysunek zawiera pierwszą i drugą ćwiartkę. Na płaszczyźnie przestawione są trzy wektory. Wektor A B jest ukośny, zaczyna się w drugiej ćwiartce, a jego koniec jest w pierwszej ćwiartce. Jego początek, punkt A ma współrzędne X 1 Y 1, a koniec B X 2 Y 2. Z puntu A narysowany jest rzut na oś X. Rzut ten oznaczony jest jako punkt A prim o współrzędnych X 1 zero i leży on na ujemnej półosi OX. Z pukntu A prim poprowadzony jest wektor A prim B prim, przy czym punkt B prim jest rzutem punktu B na oś X i ma współrzędne X 2 zero. Wektor A prim B prim określa długość wektora AB względem osi X. Wektor A prim B prim jest przesunięty do góry na wysokość Y 1 i narysowany linią przerywaną: jest zaczepiony w punkcie A o współrzędnych X 1 Y 1, natomiast jego koniec jest w punkcie C o współrzędnych X 2 Y 1. Stanowi on podstawę trójkąta prostokątnego o przekątnej będącej wektorem A B. Trzeci narysowany na płaszczyźnie wektor leży na osi Y. Jest to skierowany do góry wektor A prim prim, B prim prim, przy czym A prim prim ma współrzędne zero Y 1, B prim prim natomiast zero Y 2. Wektor ten określa długość wektora A B względem osi Y i jest on przesunięty w prawo i narysowany linią przerywaną z punktu B do punktu C, dając trzeci bok trójkąta prostokątnego.

   

   Wówczas $\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}\right|=\left|x_2-x_1\right|$ i .

Z twierdzenia Pitagorasatwierdzenie Pitagorasatwierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta prostokątnego $ABC$ otrzymujemy
$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{{\left|\overrightarrow{AC}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{CB\hspace{0.17em}}\right|}^2}=\sqrt{{\left|x_2-x_1\right|}^2+{\left|y_2-y_1\right|}^2}=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$

Oczywiście wzory z przypadków 1. i 2. zawierają się w przypadku 3. Innymi słowy długość wektorów w układzie współrzędnychdługość wektora w układzie współrzędnychdługość wektorów w układzie współrzędnych równa jest pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów różnic odpowiednich współrzędnych początku i końca tego wektora. Zauważmy jeszcze, że długość wektora zaczepionego w początku układu współrzędnych jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów współrzędnych jego końca:

RDUVrh3HmvrSn

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y. Na osiach nie są zaznaczone wartości, rysunek zawiera pierwszą ćwiartkę. Na płaszczyźnie przestawiony jest wektor O P o współrzędnych X Y. Wektor zaczepiony jest w początku układu współrzędnych i skierowany jest ukośnie w prawy górny róg ilustracji pod kątem około czterdziestu stopni względem osi X.

$\left|\overrightarrow{OP}\right|=\sqrt{x^2+y^2}$

Słownik