Rozważmy wektor o współrzędnych i . Wyrazimy teraz długość tego wektora w zależności od tych współrzędnych. Rozważymy trzy przypadki:
Przypadek :
RPmemCzhwwi5p
Wówczas .
Przypadek :
R1D1z8eo6RDPH
Wówczas .
Przypadek :
R1D1ayJiumKsY
Wówczas i .
Z twierdzenia Pitagorasatwierdzenie Pitagorasatwierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta prostokątnego otrzymujemy
Oczywiście wzory z przypadków 1. i 2. zawierają się w przypadku 3. Innymi słowy długość wektorów w układzie współrzędnychdługość wektora w układzie współrzędnychdługość wektorów w układzie współrzędnych równa jest pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów różnic odpowiednich współrzędnych początku i końca tego wektora. Zauważmy jeszcze, że długość wektora zaczepionego w początku układu współrzędnych jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów współrzędnych jego końca:
RDUVrh3HmvrSn
Przykład 1
Obliczymy długość wektora , dla , . Zgodnie z definicją długość wektora jest równa pierwiastkowi z sumy kwadratów różnic odpowiednich współrzędnych początku i końca wektora:
Zatem długość wektora o początku w punkcie i końcu w punkcie jest równa .
Przykład 2
Wyznaczymy wartości parametru , dla których długość wektora o początku w punkcie i końcu w punkcie .
Zgodnie z definicją długość wektora wyraża się formułą . Zatem aby wyznaczyć wystarczy rozwiązać równanie , które jest równoważne kolejno .
lub
lub
Przykład 3
Obliczymy obwód trójkąta o wierzchołkach , , . W tym celu wyznaczymy najpierw współrzędne wektorów , , :
Zatem obwód trójkąta jest równy
Słownik
długość wektora w układzie współrzędnych
długość wektora w układzie współrzędnych
można ją obliczyć znając współrzędne początku i końca wektora: jest równa pierwiastkowi z sumy kwadratów różnic odpowiednich współrzędnych początku i końca wektora
twierdzenie Pitagorasa
twierdzenie Pitagorasa
w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej