Warto przeczytać

Potencjał jest wielkością skalarną opisującą przestrzeń, w której znajdują się ładunki elektryczne. Jest jedną z wielkości, za pomocą których opisujemy oddziaływania pomiędzy ładunkami elektrycznymi.

Zależność wartości potencjału pola wytwarzanego przez punktowy ładunek q od odległości od źródła r wyraża się jako:

Zależność  potecnjału od odległości od ładunku postaci $\frac{1}{r}$ oznacza, że w samym ładunku potencjał jest nieskończony i szybko zbliża się do zera ze wzrostem odległości od ładunku.

R1bMWbGMmT4ka

Rys. 1. Rysunek przedstawia rozkład potencjału wokół ładunku w przybliżeniu punktowego. Wartość potencjału spada w każdym kierunku odwrotnie proporcjonalnie do odległości od ładunku. Większe wartości potencjału w pobliżu ładunku dodatkowo podkreślono odcieniami koloru czerwonego, a mniejsze wartości potencjału dalej od ładunku zostały podkreślone dodatkowo odcieniami koloru niebieskiego. Pomiędzy tymi kolorami występują kolory odpowiadające kolejnym barwom tęczy. Wykres przypomina jeden stożek skierowany w górę.

Zasada superpozycji

Wyznaczając potencjał elektryczny (lub natężenie pola elektrycznego) od układu ładunków, stosujemy zasadę superpozycji. Zasada ta mówi, że potencjał elektryczny w dowolnym punkcie przestrzeni jest sumą potencjałów wytworzonych przez wszystkie ładunki w tym punkcie. Fakt, iż potencjał elektryczny jest wielkością skalarną, bardzo ułatwia wyznaczenie jego superpozycji, ponieważ na wartość potencjału w dowolnym punkcie ma wpływ wyłącznie odległość od ładunków i ich wartość, a nie faktyczne położenie. Innym słowy, potencjał w pewnym punkcie, oddalonym od ładunku $q_1$ o odległość $r_1$ i od ładunku $q_2$ o odległość $r_2$ wyniesie:

W obliczeniach uwzględnia się znak ładunków.

R12enFTLw1jNg

Rys. 2. Rysunek przedstawia rozkład potencjałów wokół dwóch ładunków w przybliżeniu punktowych umieszczonych obok siebie. Wartość potencjału spada w każdym kierunku odwrotnie proporcjonalnie do odległości od każdego z ładunków. Większe wartości potencjału w pobliżu ładunków dodatkowo podkreślono odcieniami koloru czerwonego, a mniejsze wartości potencjału dalej od ładunków zostały podkreślone dodatkowo odcieniami koloru niebieskiego. Pomiędzy tymi kolorami występują kolory odpowiadające kolejnym barwom tęczy. Wykres przypomina dwa stożki skierowane w górę.

Ciekawy układ stanowią cztery identyczne ładunki umieszczone w wierzchołkach kwadratu.

RJrIFTDrAfzkH

Rys. 3. Rysunek przedstawia cztery takie same ładunki dodatnie przedstawione w postaci czerwonych kółek z białymi znaczkami plus wewnątrz. Ładunki te zostały umieszczone w wierzchołkach kwadratu którego boki narysowano, czarną linią przerywaną o długości opisanej małą czarną literą a. Przekątne kwadratu narysowano czarnymi ciągłymi liniami.

Ponieważ potencjał elektryczny w dowolnym punkcie jest sumą potencjałów od każdego ładunku, w środku kwadratu powstanie tzw. lokalne minimum potencjału. Jest to punkt, w którym potencjał jest niższy, niż w dowolnym punkcie z jego najbliższego otoczenia. Oznacza to, że w tym niewielkim obszarze linie pola elektrycznego będą skierowane do środka kwadratu. Jeśli w pobliżu tego punktu znajdzie się swobodny ładunek dodatni, zostanie on ściągnięty do środka kwadratu.

RtExz4ONmGQDG

Rys. 4. Rysunek przedstawia rozkład potencjałów wokół czterech dodatnich ładunków umieszczonych w rogach kwadratu w przybliżeniu punktowych. Wartość potencjału spada w każdym kierunku odwrotnie proporcjonalnie do odległości od każdego z ładunków. Większe wartości potencjału w pobliżu ładunków dodatkowo podkreślono odcieniami koloru czerwonego, a mniejsze wartości potencjału dalej od ładunków zostały podkreślone dodatkowo odcieniami koloru niebieskiego. Pomiędzy tymi kolorami występują kolory odpowiadające kolejnym barwom tęczy. Wykres przypomina cztery stożki skierowane w górę.

Środek kwadratu ma więc cechy ładunku ujemnego, pomimo że żadnego ładunku tam nie ma. Ta własność sprawia, że swobodny ładunek dodatni w środku kwadratu będzie w lokalnym minimum energii potencjalnej, czyli nawet najmniejsze wychylenie od tego punktu spowoduje wzrost jego energii potencjalnej. A ponieważ układy fizyczne próbują minimalizować swoją energię potencjalną, ładunek ten będzie tam „uwięziony”.

Nieco odmienną sytuację zaobserwujemy, umieszczając w środku kwadratu ładunek ujemny. Niewielkie wychylenie od środka spowoduje wypchnięcie ładunku ujemnego i przyciągnięcie przez jeden z dodatnich wierzchołków. Zatem ładunek ujemny w środku kwadratu będzie w stanie równowagi chwiejnej.

By wyznaczyć potencjał elektryczny w środku kwadratu, wystarczy wyznaczyć czterokrotność potencjału od jednego ładunku w połowie przekątnej. Oznaczając długość boku kwadratu $a$, możemy zapisać potencjał od pojedyńczego ładunku w odległości $r=\frac{a\sqrt{2}}{2}$:

Zatem w środku kwadratu potencjał elektryczny wyniesie:

Nieco odmiennym układem, lecz znacznie ciekawszym, jest kwadrupolkwadrupol elektrycznykwadrupol. Również jest to układ czterech ładunków umieszczonych w wierzchołkach kwadratu, z tą różnicą, że każdy bok kwadratu łączy ładunki różnoimienne.

R1si7kbLO8FEb

Rys. 5. Rysunek przedstawia cztery takie same co do wartości bezwzględnej ładunki elektryczne. Dwa ładunki ujemne przedstawione w postaci niebieskich kółek z białymi znaczkami minus wewnątrz oraz dwa ładunki dodatnie przedstawione w postaci czerwonych kółek z białymi znaczkami plus wewnątrz. Ładunki te zostały umieszczone w wierzchołkach kwadratu którego boki narysowano, czarną linią przerywaną o długości opisanej małą czarną literą a. Przekątne kwadratu narysowano czarnymi ciągłymi liniami. Ładunki dodatnie i ujemne zostały umieszczone naprzemiennie.

Korzystając z zasady superpozycji łatwo jest pokazać, że w środku kwadrupola potencjał elektryczny jest zerowy.

Potencjał elektryczny od ładunku ujemnego jest co do wartości równy potencjałowi od ładunku dodatniego w tej samej odległości. Różnią się jedynie znakiem. Jeśli więc w tej sytuacji skorzystamy z zasady superpozycji, zapiszemy:

Środek kwadrupola nie ma tych samych własności, co podobny układ ładunków różnoimiennych. Jeśli swobodny ładunek dodatni umieścimy w pobliżu środka, zostanie od przyciągnięty przez ujemne wierzchołki, swobodny ładunek ujemny przyciągną wierzchołki dodatnie. Dowolny ładunek swobodny umieszczony idealnie w środku kwadratu nadal będzie w stanie równowagi chwiejnej, lecz kwadrupol nie stanowi pułapki dla ładunku, ani dodatniego, ani ujemnego.

RxFL5KpEqMrbb

Rys. 6. Rysunek przedstawia rozkład potencjałów wokół dwóch dodatnich oraz dwóch ujemnych ładunków umieszczonych naprzemiennie w rogach kwadratu w przybliżeniu punktowych. Wartość potencjału spada w każdym kierunku odwrotnie proporcjonalnie do odległości od każdego z ładunków dodatnich. Wartość potencjału roście w każdym kierunku odwrotnie proporcjonalnie do odległości od każdego z ładunków ujemnych. Większe wartości potencjału dodatkowo podkreślono odcieniami koloru czerwonego, a mniejsze wartości potencjału zostały podkreślone dodatkowo odcieniami koloru niebieskiego. Pomiędzy tymi kolorami występują kolory odpowiadające kolejnym barwom tęczy. Wykres przypomina cztery stożki dwa pochodzące od ładunków dodatnich skierowane w górę i dwa pochodzące od ładunków ujemnych skierowane w dół. W przypadku tego rysunku kolor zielony występujący pomiędzy kolorem czerwonym i zielonym wyznacza wartość zero.

Słowniczek