Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Warto przeczytać

Gdy ściskamy sprężynę, wykonujemy nad nią pracę i w sprężynie zostaje zmagazynowana energia potencjalna sprężystości. Po uwolnieniu sprężyny energia ta może zostać zamieniona w energię kinetyczną tak, jak na przykład w armatce z zestawu LEGO (Rys. 1.).

RPA32tfX7Ciop
Rys. 1. Armata LEGO. Po naciągnięciu i uwolnieniu sprężyny można wystrzelić z niej klocek. Energia potencjalna sprężystości jest zamieniana w energię kinetyczną pocisku. Źródło: https://vignette.wikia.nocookie.net/

Większość ciał fizycznych wykazuje sprężystość – to znaczy zachowują się do pewnego stopnia jak sprężyna. Ma to wpływ między innymi na przebieg zjawisk, w których ciała zderzają się ze sobą. Wyobraź sobie, w zwolnionym tempie, dwie kauczukowe piłeczki, które zderzają się ze sobą z jednakowymi co do wartości prędkościami. Tuż przed zetknięciem obie piłeczki mają pewną energię kinetyczną. W momencie zetknięcia piłeczki zaczynają jednocześnie hamować i zmieniać kształt: spłaszczają się, jakby były ściskanymi sprężynami – ich energia kinetyczna zamienia się w energię potencjalną sprężystości. W końcu piłeczki wyhamowują całkowicie – ich początkowa energia kinetyczna jest całkowicie zamieniona w energię potencjalną. Teraz zaczyna się proces odwrotny: piłeczki wracają do swojego naturalnego kształtu, jednocześnie uwalniając zgromadzoną w sobie energię potencjalną sprężystości. Energia ta na powrót zmienia się w energię kinetyczną i piłeczki odskakują od siebie z prędkościami co do wartości równymi prędkościom początkowym.

R1Qe5Go23tlY5
Rys. 2. Piłka bejsbolowa odkształcona w trakcie zderzenia z kijem. Energia kinetyczna piłki w czasie zderzenia zamienia się na energię potencjalną sprężystości i z powrotem na energię kinetyczną. Źródło: https://energyeducation.ca/

Taki opis zderzenia piłeczek jest uproszczeniem. W rzeczywistości podczas odkształcania występuje wewnętrzne tarcie i część energii mechanicznej jest bezpowrotnie tracona w postaci ciepła, energii fali dźwiękowej czy pracy trwałego odkształcenia ciał. Często jednak strata jest na tyle niewielka, że możemy przyjąć, że energia mechaniczna jest zachowana. Mało tego: zmiana energii kinetycznej w potencjalną i z powrotem następuje jedynie w krótkim momencie zderzenia – porównując jedynie stany przed i po zderzeniu możemy stwierdzić, że zachowana jest sama energia kinetyczna.

Zderzenie, w którym łączna energia kinetyczna ciał przed i po zderzeniu jest taka sama, nazywamy zderzeniem sprężystym.

W każdym zderzeniu zachowany jest całkowity pęd zderzających się ciał. W zderzeniu sprężystym dodatkowo zachowana jest energia kinetyczna. Oznacza to, że w takim zderzeniu:

  1. Wektorowa suma pędów ciał przed zderzeniem jest równa wektorowej sumie ich pędów po zderzeniu.

  2. Suma energii kinetycznych ciał przed zderzeniem jest równa sumie ich energii kinetycznych po zderzeniu.

Zasadę zachowania pędu i energii kinetycznej możemy zapisać za pomocą wzorów jako układ równań:

  1. p1p+p2p=p1k+p2k

  2. E1p+E2p=E1k+E2k

Indeksy dolne „p” i „k” oznaczają odpowiednio „początkowy” (przed zderzeniem) oraz „końcowy” (po zderzeniu). Zauważ, że pierwsze równanie jest równaniem wektorowym – kryją się pod nim tak naprawdę trzy równania – po jednym dla każdej z trójwymiarowych współrzędnych pędu.

W tym e‑materiale ograniczymy się do zderzeń centralnychzderzenie centralnezderzeń centralnych, w których prędkości ciał przed zderzeniem i po zderzeniu leżą na jednej prostej.

Mamy zatem przypadek jednowymiarowy, więc pierwsze równanie można zapisać skalarnie. Otrzymamy układ dwóch równań:

  1. p1p+p2p=p1k+p2k

  2. E1p+E2p=E1k+E2k

A po zastosowaniu wzorów na pęd (p=mv) i energię kinetyczną (E=12mv2):

  1. m1v1p+m2v2p=m1v1k+m2v2k

  2. 12m1v1p2+12m2v2p2=12m1v1k2+12m2v2k2

Otrzymane równania wiążą ze sobą współrzędne prędkości ciał po zderzeniu (v1k oraz v2k) ze współrzędnymi ich prędkości przed zderzeniem (v1p oraz v2p), przy czym znak współrzędnej prędkości powie nam o jej zwrocie.

Można – choć wymaga to sporo matematycznej gimnastyki - rozwiązać podany układ równań, jako niewiadome traktując prędkości końcowe (patrz e‑materiał „Co to jest zderzenie sprężyste?”). Końcowy wynik pozwala przewidzieć efekt dowolnego zderzenia dwóch ciał, których ruch jest ograniczony do jednego wymiaru, o ile tylko znamy ich masy i prędkości początkowe.

Gdy jedno z ciał początkowo spoczywa (v2p=0), przekształcenia nieco się upraszczają i końcowe wzory przybierają postać:

v1k=m1m2m1+m2v1p

v2k=2m1m1+m2v1p

Wzorów tych nie warto zapamiętywać; w razie potrzeby można je z łatwością odnaleźć w Internecie. Analizując je, można dojść do ciekawych wniosków.

Zderzenie sprężyste ciał o jednakowych masach, z których jedno spoczywa.

Gdy oba ciała mają jednakowe masy m1=m2=m, wzory upraszczają się:

v1k=mmm+mv1p=02mv1p=0

v2k=2mm+mv1p=2m2mv1p=v1p

Ciała wymieniają się prędkościami: pierwsze zatrzymuje się w miejscu, za to drugie rozpoczyna ruch z prędkością pierwszego. Można to łatwo zaobserwować w przypadku zderzenia kul bilardowych, które można w przybliżeniu traktować jako zderzenie sprężyste (Rys. 3.).

R1BKdVDt0uNem
Rys. 3. Zderzenie kul bilardowych można w przybliżeniu traktować jako zderzenie sprężyste ciał o jednakowych masach. W zderzeniu centralnym uderzająca kula zatrzymuje się, przekazując cały pęd i energię kinetyczną kuli, która wcześniej spoczywała. Źródło: https://zasoby.ekologia.pl/

Zderzenie sprężyste z ciałem spoczywającym o bardzo dużej masie.

Co się stanie, gdy bardzo lekkie ciało uderzy w ciało bardzo ciężkie? W takiej sytuacji masa m1 jest dużo mniejsza niż m2. Możemy więc przybliżyć różnicę m1m2 przez m2, a sumę m1+m2 przez +m2. Otrzymujemy wtedy:

v1km2m2v1p=v1p

Prędkość uderzającego ciała po prostu zmienia zwrot na przeciwny – lekkie ciało odbija się od ciężkiego prawie jak od ściany.

Jednocześnie iloraz 2m1m1+m2 jest bliski zera i można w przybliżeniu napisać:

v2k0

Ciężkie ciało po zderzeniu nadal spoczywa.

Czy jest tak rzeczywiście? Wyobraź sobie, że rzucasz piłką tenisową w czoło stojącego na torach wagonu kolejowego – czy wynik takiego „eksperymentu” zgadza się z przeprowadzonymi tu rachunkami?

RuWi6R42o2L0k
Rys. 4. Uderzenie piłki w ścianę - piłka odbija się, ale na ścianę nie ma to wpływu. Biorąc pod uwagę masę piłki, ścianę połączoną fundamentem z Ziemią można traktować jak ciało o nieskończenie wielkiej masie. Źródło: https://www.sciencesource.com/

Zderzenie sprężyste z ciałem spoczywającym o znikomej masie.

A co jeśli lekkie, spoczywające ciało zostanie uderzone przez rozpędzone ciało ciężkie?

Gdy przyjmiemy, że masa m1 jest dużo większa od m2, możemy przyjąć przybliżenia:

m1m2m1 oraz m1+m2m1

W takim wypadku:

v1km1m1v1p=v1p

v2k2m1m1v1p=2v1p

Zderzenie w znikomy sposób wpływa na ruch ciężkiego ciała, co wydaje się jasne. Dużo mniej oczywiste jest to, że lekkie ciało, które wcześniej spoczywało, nabierze po zderzeniu prędkości dwukrotnie większej niż ciało uderzające! Faktycznie tak jest. Im cięższe jest ciało uderzające, tym prędkość ciała uderzonego bliższa jest granicznej wartości 2v1p.

Można się o tym przekonać wykonując następujący eksperyment: Dwie piłki należy umieścić jedna nad drugą – małą (wyżej) i dużą (niżej). Może to być np. piłka do koszykówki i piłka tenisowa albo piłka‑zabawka z kauczuku i mała, twarda kulka z modeliny. Następnie należy obie piłki jednocześnie upuścić z niskiej wysokości tak, by po odbiciu się od ziemi większa piłka zderzyła się z nadlatującą mniejszą. Mała piłka wznosi się po odbiciu na zaskakująco dużą wysokość. Prędkość nie jest 2 razy większa, bo stosunek mas jest skończony. Jednak już przy stosunku mas 10:1 prędkość końcowa małej piłki to 1,8 prędkości piłki dużej. Fakt, że mała piłka w momencie zderzenia ma pewną prędkość również nie odgrywa dużej roli.

O tym, że prędkość uderzonego ciała może być prawie dwukrotnie większa niż prędkość ciała uderzającego, wiedzą doskonale gracze w golfa (Rys. 5.). Przepisowa piłka golfowa ma masę nie większą niż 46 g, podczas gdy typowa główka kija waży ok. 200 g. Jeżeli przyjmiemy, że zderzenie główki z piłką jest idealnie sprężyste, to przy takich wartościach piłka uzyskuje prędkość 1,6 prędkości główki kija w momencie uderzenia.

R1IhZX6MM6Ezz
Rys. 5. Gracz w golfa w momencie po uderzeniu piłki. Zderzenie piłki z główką kija golfowego można w przybliżeniu potraktować jako zderzenie sprężyste ciał o znacznie różnych masach. Źródło: https://pl.wikipedia.org/

Słowniczek

Zderzenie centralne
Zderzenie centralne

(ang.: central collision) zderzenie dwóch ciał, w którym oba ciała poruszają się wzdłuż tej samej prostej, zarówno przed, jak i po zderzeniu. W wyniku zderzenia centralnego, następuje największa możliwa wymiana pędów oraz energii.

Reaktor jądrowy
Reaktor jądrowy

(ang.: nuclear reactor) urządzenie, w którym uzyskuje się energię powstającą w wyniku kontrolowanej reakcji rozszczepienia jąder atomowych.

Rozszczepienie jąder atomowych
Rozszczepienie jąder atomowych

(ang.: nuclear fission) reakcja rozpadu jądra ciężkiego pierwiastka w wyniku zderzenia i pochłonięcia neutronu na dwa lub trzy jądra. Reakcja silnie egzotermiczna.