Przeczytaj
Warto przeczytać
Gdy ściskamy sprężynę, wykonujemy pracę i w sprężynie zostaje zmagazynowana energia potencjalna sprężystości. Po uwolnieniu sprężyny energia ta może zostać zamieniona w energię kinetyczną - jak na przykład w armatce z zestawu LEGO (Rys. 1.).
Większość ciał fizycznych wykazuje sprężystość – to znaczy zachowują się, do pewnego stopnia, jak sprężyna. Ma to wpływ między innymi na przebieg zjawisk, w których ciała zderzają się ze sobą. Wyobraź sobie, w zwolnionym tempie, dwie identyczne kauczukowe piłeczki, które zderzają się ze sobą z jednakowymi co do wartości prędkościami. Tuż przed zetknięciem obie piłeczki mają pewną energię kinetyczną. W momencie zetknięcia piłeczki zaczynają jednocześnie hamować i zmieniać kształt: spłaszczają się, jakby były ściskanymi sprężynami – ich energia kinetyczna zamienia się w energię potencjalną sprężystości. W końcu piłeczki wyhamowują całkowicie – ich początkowa energia kinetyczna jest całkowicie zamieniona w energię potencjalną. Teraz zaczyna się proces odwrotny: piłeczki wracają do swojego naturalnego kształtu, jednocześnie uwalniając zgromadzoną w sobie energię potencjalną sprężystości. Energia ta na powrót zmienia się w energię kinetyczną i piłeczki odskakują od siebie z prędkościami co do wartości równymi prędkościom początkowym.
Taki opis zderzenia piłeczek jest uproszczeniem. W rzeczywistości podczas odkształcania występuje wewnętrzne tarcie i część energii mechanicznej jest bezpowrotnie tracona w postaci ciepła, energii fali dźwiękowej czy pracy powodujacej trwałe odkształcenia ciał. Często jednak strata jest na tyle niewielka, że możemy przyjąć, że energia mechaniczna jest zachowana. Mało tego: zmiana energii kinetycznej w potencjalną i z powrotem następuje jedynie w krótkim przedziale czasu, tj. podczas zderzenia. Porównując jedynie stany przed i po zderzeniu możemy stwierdzić, że zachowana jest sama energia kinetyczna.
Zderzenie, w którym łączna energia kinetyczna ciał przed i po zderzeniu jest taka sama, nazywamy zderzeniem sprężystym.
W każdym zderzeniu zachowany jest całkowity pęd zderzających się ciał. W zderzeniu sprężystym dodatkowo zachowana jest energia kinetyczna. Oznacza to, że w takim zderzeniu:
Wektorowa suma pędów ciał przed zderzeniem jest równa wektorowej sumie ich pędów po zderzeniu.
Suma energii kinetycznych ciał przed zderzeniem jest równa sumie ich energii kinetycznych po zderzeniu.
Zasadę zachowania pędu i energii kinetycznej możemy zapisać za pomocą wzorów jako układ równań:
Indeksy dolne są skrótami od „początkowy” (przed zderzeniem) oraz „końcowy” (po zderzeniu). Zauważ, że pierwsze równanie jest równaniem wektorowym – kryją się pod nim tak naprawdę trzy równania – po jednym dla każdej z trójwymiarowych współrzędnych pędu.
W tym e‑materiale ograniczymy się do zderzeń centralnychzderzeń centralnych, w których prędkości ciał przed zderzeniem i po zderzeniu leżą na jednej prostej.
Mamy zatem przypadek jednowymiarowy, więc pierwsze równanie można zapisać skalarnie. Otrzymamy układ dwóch równań,
który - po zastosowaniu wzorów na pęd () i energię kinetyczną (), przyjmuje postać
Otrzymane równania wiążą ze sobą współrzędne prędkości ciał po zderzeniu ze współrzędnymi ich prędkości przed zderzeniem, przy czym znak współrzędnej prędkości powie nam o jej zwrocie.
Można - choć wymaga to sporo matematycznej gimnastyki - rozwiązać podany układ równań, jako niewiadome traktując prędkości końcowe (patrz e‑materiał „Co to jest zderzenie sprężyste?”). Końcowy wynik pozwala przewidzieć efekt dowolnego (sprężystego i centralnego) zderzenia dwóch ciał, których ruch jest ograniczony do jednego wymiaru, o ile tylko znamy ich masy i prędkości początkowe.
Gdy jedno z ciał początkowo spoczywa, np. , przekształcenia nieco się upraszczają i końcowe wzory przybierają postać:
Wzorów tych nie warto zapamiętywać; w razie potrzeby można je z łatwością odnaleźć w Internecie. Analizując je, można dojść do ciekawych wniosków.
Zderzenie sprężyste ciał o jednakowych masach, z których jedno spoczywa.
Gdy oba ciała mają jednakowe masy, , wzory upraszczają się:
Można powiedzieć, że „ciała wymieniają się prędkościami”: pierwsze zatrzymuje się w miejscu, za to drugie rozpoczyna ruch z prędkością pierwszego. Można to łatwo zaobserwować w przypadku zderzenia kul bilardowych; zderzenie to można w przybliżeniu traktować jako zderzenie sprężyste (Rys. 3.).
Zderzenie sprężyste z ciałem spoczywającym o bardzo dużej masie.
Co się stanie, gdy bardzo lekkie ciało uderzy w ciało bardzo ciężkie? W takiej sytuacji masa jest dużo mniejsza niż . Możemy więc przybliżyć różnicę przez , a sumę przez . Otrzymujemy wtedy:
Prędkość uderzającego ciała po prostu zmienia zwrot na przeciwny – lekkie ciało odbija się od ciężkiego, na przykład jak piłka od ściany.
Jednocześnie iloraz jest bliski zera i można w przybliżeniu napisać:
czyli ciężkie ciało po zderzeniu nadal spoczywa.
Czy jest tak rzeczywiście? Wyobraź sobie, że rzucasz piłką tenisową w czoło stojącego na torach wagonu kolejowego – czy wynik takiego „eksperymentu” zgadza się z przeprowadzonymi tu rachunkami?
Zderzenie sprężyste z ciałem spoczywającym o znikomej masie.
A co jeśli lekkie, spoczywające ciało zostanie uderzone przez rozpędzone ciało ciężkie?
Gdy przyjmiemy, że masa jest dużo większa od , możemy przyjąć przybliżenia:
oraz
W takim wypadku:
Zderzenie w znikomy sposób wpływa na ruch ciężkiego ciała, co wydaje się jasne. Dużo mniej oczywiste jest to, że lekkie ciało, które wcześniej spoczywało, nabierze po zderzeniu prędkości dwukrotnie większej niż ciało uderzające! Faktycznie tak jest. Im cięższe jest ciało uderzające, tym prędkość ciała uderzonego bliższa jest granicznej wartości .
Można się o tym przekonać wykonując następujący eksperyment: Dwie piłki należy umieścić jedna nad drugą – małą (wyżej) i dużą (niżej). Może to być np. piłka do koszykówki i piłka tenisowa albo piłka‑zabawka z kauczuku i mała, twarda kulka z modeliny. Następnie należy obie piłki jednocześnie upuścić z niskiej wysokości tak, by po odbiciu się od ziemi większa piłka zderzyła się z nadlatującą mniejszą. Mała piłka wznosi się po odbiciu na zaskakująco dużą wysokość. Prędkość nie jest 2 razy większa, bo stosunek mas jest skończony. Jednak już przy stosunku mas 10:1 prędkość końcowa małej piłki to 1,8 prędkości piłki dużej. Fakt, że mała piłka w chwili zderzenia ma pewną prędkość również nie odgrywa dużej roli.
O tym, że prędkość uderzonego ciała może być prawie dwukrotnie większa niż prędkość ciała uderzającego, wiedzą doskonale gracze w golfiści (Rys. 5.). Przepisowa piłka golfowa ma masę nie większą niż 46 g, podczas gdy typowa główka kija waży ok. 200 g. Jeżeli przyjmiemy, że zderzenie główki z piłką jest idealnie sprężyste, to przy takich wartościach piłka uzyskuje prędkość 1,6 prędkości główki kija w momencie uderzenia.
Słowniczek
(ang.: central collision) zderzenie dwóch ciał, w którym oba ciała poruszają się wzdłuż tej samej prostej, zarówno przed, jak i po zderzeniu. W wyniku zderzenia centralnego następuje największa możliwa wymiana pędów oraz energii.
(ang.: nuclear reactor) urządzenie, w którym uzyskuje się energię powstającą w wyniku kontrolowanej reakcji rozszczepienia jąder atomowych.
(ang.: nuclear fission) reakcja rozpadu jądra ciężkiego pierwiastka w wyniku zderzenia i pochłonięcia neutronu na dwa lub trzy jądra. Reakcja taka jest silnie egzoenergetyczna.