Warto przeczytać

Teoria Maxwella jest potężnym narzędziem fizyki. Jeśli tylko nie będziemy zaglądać do świata mikro (atom, jądro atomowe, cząstki elementarne, kryształ), to teoria ta opisuje cały elektromagnetyzm, włączając w to optykę. Poza tym okazuje się, że teoria Maxwella jest relatywistyczna (zgodna ze Szczególną Teorią Względności Einsteina).

Na pełny opis elektromagnetyzmu składają się cztery równania Maxwella, wyrażenie opisujące siłę działającą na cząstkę w polu elektromagnetycznym (siłę Lorentza) i zasada zachowania ładunku.

Zapiszemy tu cztery równania Maxwella w tak zwanej postaci całkowej (postać różniczkowa na poziomie licealnym jest niestety niedostępna). Żeby jak najbardziej uprościć te równania, napiszemy je dla próżni. Oto one:

• $\varPhi_{E}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}$
• $\varPhi_{B}=0$
• $K_{E}=-\frac{\textrm{d}\varPhi_{B}}{\textrm{d}t}$
• $K_{B}=\mu_{0}I+\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\textrm{d}\varPhi_{E}}{\textrm{d}t}$

Dla uważnego ucznia studiującego e‑materiały dotyczące elektromagnetyzmu wypisane tu prawa nie powinny być zaskoczeniem. Zostały one szczegółowo omówione w następujących e‑materiałach:

1. „Prawo Gaussa dla pola elektrycznego”

2. „Prawo Gaussa dla pola magnetycznego”

3. „Co to znaczy, że pole elektrycznePole elektryczneelektryczne bądź magnetycznePole magnetycznemagnetyczne jest wirowe”

4. „Współzależność zmian pola magnetycznego i elektrycznego w ujęciu jakościowym”.

Polecamy zapoznanie się z wymienionymi e‑materiałami, które dotyczą praw Maxwella, bowiem niniejszy e‑materiał stanowi jedynie ich podsumowanie. Niemniej jednak krótko przypomnimy najważniejsze kwestie – sformułujemy prawa Maxwella, zobaczymy jaki mają sens i co z nich wynika.

Prawo Gaussa dotyczy wielkości fizycznej, którą nazywamy strumieniemStrumień pola wektorowegostrumieniem wektora charakteryzującego pole przez powierzchnię zamkniętą, czyli powierzchnię bryły. Wtedy jednoznacznie można określić wektory powierzchni $\overrightarrow{\Delta S}$ – umówiono się, że zwrócone są od wnętrza bryły na zewnątrz (zobacz Rys. 1.).

RwSRA5E2Og9zd

Rys. 1. Na ilustracji widoczna jest niebieska, nieregularna bryła podzielona białymi liniami na wiele mniejszych części. Z kilku mniejszych części bryły wychodzą czarne strzałki prostopadłe do powierzchni bryły w tych częściach. Podpisane są jako wektor powierzchni wielka grecka litera delta i wielka litera S ze strzałką oznaczającą wektor. Wektor powierzchni zawsze skierowany jest na zewnątrz obszaru zawartego w jej wnętrzu.

Wychodząc od prawa Coulomba i stosując superpozycję (dodawanie) pól można udowodnić, że strumień natężenia pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy całkowitemu ładunkowi $Q$ w obszarze ograniczonym tą powierzchnią, podzielonemu przez stałą przenikalności elektrycznej próżni $\varepsilon_{0}$.

To jest prawo Gaussa dla pola elektrycznego. Oznacza ono, że pole elektryczne jest polem źródłowym – linie tego pola zaczynają się na ładunkach dodatnich, a kończą na ujemnych. Natomiast obliczanie strumienia indukcji magnetycznej przez powierzchnię zamkniętą daje zawsze zero. Jest to zapisane w kolejnym równaniu Maxwella – prawie Gaussa dla pola magnetycznego

Świadczy to o tym, że każde pole magnetyczne jest bezźródłowe. Linie pola magnetycznegoLinie pola magnetycznegoLinie pola magnetycznego są krzywymi zamkniętymi, ewentualnie zamykają się w nieskończoności. Nie zaczynają się wobec tego od „ładunków”, ani na nich nie kończą - pole magnetyczne w tym sensie nie ma źródła, w odróżnieniu od pola elektrycznego, którego źródłem są ładunki elektryczne.

Dwa następne prawa Maxwella dotyczą wielkości fizycznej zwanej krążeniemKrążenie (cyrkulacja) pola wektorowegokrążeniem wektora charakteryzującego pole wzdłuż krzywej zamkniętej. Krążenie jest miarą wirowości danego pola wektorowego.

Trzecie z kolei prawo Maxwella to prawo Faradaya, opisujące zjawisko indukcji elektromagnetycznej, zapisywane najczęściej w postaci:

Taki zapis pozwala zrozumieć zjawisko indukcji w całej złożoności: wtedy, gdy siła elektromotoryczna jest spowodowana przez siłę Lorentza działającą na ładunki swobodne w poruszającym się przewodniku, jak i wtedy, gdy zmienia się wartość indukcji magnetycznej. Pamiętamy, że w tym drugim przypadku prąd spowodowany jest powstającym w obwodzie wirowym polem elektrycznym. Przyjrzyjmy się temu przypadkowi bliżej.

SEM indukcji będzie zdefiniowana wtedy jako praca pola elektrycznego związana z przemieszczaniem jednostkowego ładunku wzdłuż obwodu, co zapiszemy jako:

Ale w jaki sposób obliczamy pracę siły elektrycznej wykonywaną wzdłuż krzywej (obwodu)? Procedura jest znana: musimy podzielić krzywą na maleńkie wektory ${\overrightarrow{\Delta l}}_i$, pomnożyć te wektory skalarnie przez wektor siły elektrycznej, a następnie tak obliczone przyczynki do pracy pododawać. Zapiszmy ten rachunek

przy warunku, że $\Delta l_{i}\rightarrow0$.

Wartość siły elektrycznej zapiszmy jako iloczyn natężenia pola $E$ i ładunku $q$ i przeprowadźmy rachunek do końca, wyznaczając siłę elektromotoryczną indukcji:

przy warunku, że $\Delta l_{i}\rightarrow0$.

Widzimy, że siła elektromotoryczna indukcji jest równa krążeniu pola elektrycznego. Stąd prawo Faradaya w zestawie równań Maxwella zapisujemy jako:

a jego sens jest następujący:

Zmienne pole magnetyczne wytwarza wokół siebie wirowe pole elektryczne.

Zobaczmy, że to prawo sięga dalej – opisuje też dobrze przypadek statyczny, czyli elektrostatykę. W tej teorii nie mamy do czynienia ze zmiennym polem magnetycznym, a pole elektryczne wytwarzają nieruchome ładunki. Wtedy, zgodnie z wyżej zapisanym prawem, krążenie pola elektrycznego równe jest zeru.

W elektrostatyce $K_{E}=0$.

To oznacza, że praca wykonywana podczas przemieszczania ładunku wzdłuż krzywej zamkniętej również równa jest zeru. Oczywiście! Przecież to znana definicja tak zwanej zachowawczości pola elektrycznego, pozwalająca na wprowadzenie energii potencjalnej ładunku w polu elektrostatycznym.

A jak jest z krążeniem pola magnetycznego? Tutaj mamy przede wszystkim prawo Ampere’a, które można zapisać w następujący sposób:

co odczytujemy:

Krążenie wektora indukcji wokół krzywej zamkniętej równe jest iloczynowi stałej przenikalności magnetycznej próżni i całkowitego natężenia prądu przebijającego powierzchnię rozpiętą na tej krzywej.

Nie powinno być to zaskakujące dla nas, przyzwyczajonych do takiego obrazu pola magnetycznego, jak ten przedstawiony na Rys. 2.

RZpdAL9qQoxX4

Rys. 2. Na ilustracji widoczny jest przewodnik prostoliniowy narysowany w postaci niebieskiej pionowej linii. W dolnej części widoczna jest także prawa ludzka dłoń obejmująca czterem palcami przewodnik i z kciukiem skierowanym w górę. Przez przewodnik płynie prąd elektryczny ku górze, zgodnie z kierunkiem wskazywanym przez kciuk. Natężenie prądu jest równe wielka litera I ze strzałką oznaczającą wektor. Przewodnik, przez który płynie prąd jest źródłem pola magnetycznego narysowanego w postaci współśrodkowych okręgów wokół przewodnika. Okręgi są poziome i mają różne promienie. Zaznaczono na nich grotami strzałek kierunek wektora indukcji magnetycznej wielka litera B ze strzałka oznaczającą wektor. Kierunek wektora indukcji magnetycznej zmienia się i jest równoległy względem okręgów i skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara tak jak skierowane są cztery palce prawej dłoni wokół przewodnika.

Ale to nie jest cała prawda o polu magnetycznym. Otóż Maxwell, analizując różne przypadki prądu jako źródła pola magnetycznego, doszedł do niezmiernie ciekawego wniosku (o tym, w jaki sposób doszedł do tego wniosku, przeczytasz w e‑materiale „Współzależność zmian pola magnetycznego i elektrycznego w ujęciu jakościowym”). Okazuje się, że źródłem wirowego pola magnetycznego jest nie tylko prąd, ale także zmienne pole elektryczne. To znaczy, że:

Zmienne pole elektryczne wytwarza wokół siebie wirowe pole magnetyczne.

Mogłoby to zostać zilustrowane takim obrazkiem (Rys. 3.), pod warunkiem rosnącej wartości natężenia pola elektrycznego.

RhDDZgisqZO60

Rys. 3. Na ilustracji widoczny jest rysunek wektora natężenia pole elektrycznego wielka litera E ze strzałką oznaczającą wektor, w postaci czerwonej pionowej strzałki skierowanej w górę. Wokół czerwonego wektora natężenia pola elektrycznego narysowane są współśrodkowe, poziome okręgi o czarnych krawędziach. Symbolizują one pole magnetyczne wywołane polem elektrycznym. Okręgi mają różne promienie. Na okręgach zaznaczono kierunek wektora indukcji magnetycznej wielka litera B ze strzałką oznaczającą wektor. Wektor indukcji magnetycznej ma zmienny kierunek wzdłuż okręgów, który jest przeciwny względem ruchu wskazówek zegara.

Poprawione prawo Ampere’a, dopuszczające zmienne pole elektryczne jako źródło wirowego pola magnetycznego, zostało zapisane przez Maxwella w następujący sposób:

Teraz pomyślmy. Powiedzmy, że gdzieś zostanie wytworzone wirowe pole magnetyczne (włączono nagle prąd). Zauważmy, że to pole jest zmienne w czasie – zostało wytworzone, pojawiło się. A przecież zmienne pole magnetyczne wytworzy wokół siebie wirowe pole elektryczne. Ono też będzie zmienne, bo dopiero powstało. No więc to zmienne pole elektryczne wytworzy z kolei wirowe pole magnetyczne, itd., itd. Proces będzie się powtarzał.

Widzimy tu niesamowity „taniec” splątanych ze sobą pól. W konsekwencji otrzymujemy przemieszczające się, nawzajem generujące się pola elektryczne i magnetyczne. A to jest fala, tak zwana fala elektromagnetyczna!

Maxwell uzasadnił to matematycznie. Wyprowadził ze swoich równań, że pola $\overrightarrow{E}$ i $\overrightarrow{B}$ rozchodzą się jak fala – spełniają równanie falowe. Obliczona przez niego prędkość rozchodzenia się (w próżni) tej fali wyrażona jest jako:

gdzie stałe $\mu_{0}$ i $\varepsilon_{0}$ oznaczają odpowiednio przenikalność magnetyczną i elektryczną próżni.

Okazało się, że ta prędkość równa jest prędkości światła w próżni. Stąd Maxwell wywnioskował, że światło jest niczym innym, jak falą elektromagnetyczną. Dziś wiemy, że mamy różne rodzaje fal elektromagnetycznych (np. radiowe, rentgenowskie), a ich właściwości zależą jedynie od częstotliwości fali.

22 lata później, po odkryciu teoretycznym fali elektromagnetycznej przez Maxwella (1865 r.), Heinrich Hertz wykonał eksperyment, polegający na nadaniu i odebraniu fali elektromagnetycznej. W ten sposób teoria Maxwella została zweryfikowana doświadczalnie.

Teoretyczne i praktyczne konsekwencje odkrycia fali elektromagnetycznej przez Maxwella są zawrotne. Największym bodaj zastosowaniem technicznym tego odkrycia jest to, że dzięki falom elektromagnetycznym możemy przekazywać na odległość informacje, dźwięki i obrazy.

Słowniczek

Krążenie (cyrkulacja) pola wektorowego

Krążenie (cyrkulacja) pola wektorowego

(ang.: circulation) – wielkość fizyczna, która jest miarą wirowości pola wektorowego. Podana tu definicja odnosi się do pola wektorowego prędkości cieczy, ale jest sformułowana analogicznie dla pola magnetycznego (wektor $\overrightarrow{B}$) i elektrycznego (wektor $\overrightarrow{E}$).

R1AsauCfbBQLl

Na ilustracji widoczny jest nieregularny wypukły kształt wydłużony w kierunku poziomym. Kształt narysowany jest zieloną linią na której grotami strzałek zaznaczono kierunek zgodny z ruchem wskazówek zegara. Grotów strzałek jest cztery i znajdują się w punktach stycznych zielonego kształtu z okręgiem narysowanym cienką czerwoną linia na jego tle. Z punktów stycznych zielonego kształtu z okręgiem wychodzą również cztery czerwone strzałki styczne do okręgu, które symbolizują wektory prędkości mała litera v ze strzałką oznaczającą wektor. W jednym z punktów stycznych okręgu i kształtu zaznaczono również czarną przerywaną linią półprostą styczną do zielonego kształtu i skierowaną do jego wnętrza. Pomiędzy wektorem prędkości narysowanym czerwoną strzałka i przerywaną czarną półprostą oznaczoną jako zmiana położenia wielka grecka litera delta i mała litera l ze strzałką oznaczającą wektor, zaznaczono kąt mała grecka litera teta. Wektory prędkości opisują wielkość fizyczną nazywaną krążeniem lub cyrkulacją, która opisuje wirowość pola wektorowego. Wokół tego punktu widoczny jest okrąg o czarnych krawędziach a poniżej powiększenie tego fragmentu rysunku.

Najpierw obieramy orientację krzywej (zobacz rysunek powyżej), wzdłuż której obliczamy krążenie za pomocą strzałek leżących na konturze. Dzielimy krzywą na maleńkie wektory ${\overrightarrow{\mathrm{\Delta }l}}_i$ styczne do krzywej i skierowane zgodnie z jej orientacją. Nasza abstrakcyjna, matematyczna krzywa „zanurzona” jest w polu prędkości cieczy. Na rysunku, dla jego przejrzystości, narysowane są tylko cztery wektory prędkości $\overrightarrow{v}$, ale pole prędkości występuje tu w każdym punkcie przestrzeni i trzeba sobie wyobrazić, że do każdego wektora na krzywej ${\overrightarrow{\Delta l}}_i$ doczepiony jest odpowiedni wektor ${\overrightarrow{v}}_i$. Krążenie zdefiniowane jest jako suma iloczynów skalarnych wektorów ${\overrightarrow{\Delta l}}_i$ i ${\overrightarrow{v}}_i$

$K_v=\sum_i^{ }\Delta l_i\cdot v_i\cdot\cos\theta_i,$

gdy $\Delta l_{i}\rightarrow0$, co zapisujemy zgrabniej w postaci:

$K_v=\oint \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{dl}.$

Zauważmy, że $v_{i}\cdot\cos\theta_{i}$ jest składową styczną wektora prędkości cieczy do krzywej, po której obliczamy krążenie. Ten przyczynek do krążenia może być dodatni, ujemny albo równy zeru. W przykładzie na rysunku wszystkie przyczynki są dodatnie i całkowite krążenie tego pola prędkości cieczy jest dodatnie. Pole jest wirowe.

Strumień pola wektorowego

Strumień pola wektorowego

(ang.: flux) – wielkość skalarna opisująca źródłowość pola. Tutaj omówiona na przykładzie pola magnetycznego.

Strumień indukcji magnetycznej przez powierzchnię $S$ to iloczyn skalarny wektorów $\overrightarrow{B}$ i $\overrightarrow{S}$:

${\phi }_B=\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{S}=BScos\alpha$, gdzie $\alpha =\sphericalangle \left(\overrightarrow{B},\overrightarrow{S}\right)$.

RjYO2B4lHo1VO

Na ilustracji widoczne są niebieskie pionowe strzałki, równoległe do siebie jedna pod drugą i skierowane w prawo. Opisują one wektory pola magnetycznego wielka litera B ze strzałką oznaczającą wektor. Na tle wektorów indukcji magnetycznej widoczna jest szara, płaska powierzchnia pochylona w prawo. Wektory indukcji przechodzą przez powierzchnię. Ze środka powierzchni wychodzi czerwona strzałka opisana wielką literą S i strzałką oznaczającą wektor. Jest to wektor powierzchni skierowany w prawo i w dół, prostopadle do szarej powierzchni.

Rysunek obrazuje wielkości występujące w definicji. Widoczna jest też idea strumienia. Można sobie wyobrazić, że strumień indukcji magnetycznej jest wprost proporcjonalny do liczby linii pola przebijających powierzchnię.

Jeśli pole nie jest jednorodne albo/i powierzchnia jest zakrzywiona, dzielimy powierzchnię, przez którą mamy obliczyć strumień, na tak małe fragmenty $\Delta S_i$, żeby móc uznać, że są one płaskie i pole jest „na nich” jednorodne. Wszystko po to, żeby móc zastosować definicję strumienia. Obliczamy wobec tego małe „strumyczki” i je sumujemy: ${\phi }_B={\sum }_i{\overrightarrow{B}}_i\cdot \overrightarrow{\Delta S_i}$, gdy $\Delta S_{i}\rightarrow0$.

Opisana procedura nazywa się obliczaniem całki powierzchniowej, co zapisujemy jako: ${\phi }_B=\iint \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{dS}$.