Kąt pomiędzy wysokościami przeciwległych ścian bocznych wynosi ${60}^{°}$. Obliczmy pole przekroju ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wyznaczonego przez wysokości przeciwległych ścian bocznych i wysokość ostrosłupa, wiedząc, że krawędź podstawy ma długość $6\text{cm}$.

Rozwiązanie

Wykonajmy rysunek.

R3utMr16t6NwY

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny z uwzględnionym przekrojem pionowym, który jest trójkątem o podstawie równej długości boku czworokąta i ramionach pokrywających się z dwiema przeciwnymi wysokościami ścian bocznych ostrosłupa. Na rysunku zaznaczono także wysokość ostrosłupa upuszczoną z wierzchołka bryły. Kąt przy wierzchołku ostrosłupa w trójkątnym przekroju wynosi $60°$, a postawa przekroju ma długość $6$.

Skoro kąt pomiędzy wysokościami ścian bocznych wynosi ${60}^{°}$, to znaczy, że przekrój jest trójkątem równobocznym o krawędzi długości $6\text{cm}$.

Policzmy jego pole:

$P=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$.

Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego czworokątnego są trójkątami równobocznymi o boku długości $18\text{cm}$. Obliczmy pole przekroju wyznaczonego przez przekątną podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej.

Rozwiązanie

Wykonajmy rysunek.

R1Ula3tXgNq1x

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCD$ z wierzchołkiem $S$. W połowie krawędzi bocznej $SC$ zaznaczono punkt $E$. Powstałe w ten sposób dwa odcinki $SE$ oraz $EC$ mają długość każdy po $9$. Na rysunku umieszczono także przekrój ukośny ostrosłupa. Przekrój ten jest trójkątem $DBE$, co oznacza, że podstawą trójkąta, który jest przekrojem bryły jest przekątna podstawy ostrosłupa. Podstawa ta ma długość $18\sqrt{2}$. Pozostałe dwa boki trójkąta są oznaczone jako $x$. Dodatkowo między bokiem przekroju $DE$ a odcinkiem $SE$ zaznaczono kąt prosty. Tak samo między drugim bokiem trójkąta będącego przekrojem, czyli okiem $BE$ a odcinkiem $EC$ również zaznaczono kąt prosty. Krawędź przy podstawie ma długość $6$.

Przekrojem jest trójkąt równoramienny, którego ramiona są wysokościami trójkątów równobocznych, jakimi są ściany boczne.

$x=\frac{18\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}$

Do policzenia pola trójkąta brakuje nam jego wysokości, nazwijmy ją $h$. Policzymy ją wykorzystując twierdzenie Pitagorasa.

R80HzYhDQ7Bzl

Na rysunku przedstawiono trójkąt równoramienny $DBE$ o podstawie $DB$ o długości $18\sqrt{2}$. Ramiona trójkąta są długości $9\sqrt{3}$ każde. Z wierzchołka $E$ upuszczono pionową wysokość $h$, która dzieli podstawę trójkąta na dwa równe odcinki o długości $9\sqrt{2}$ każdy.

$h^2={\left(9\sqrt{3}\right)}^2-{\left(9\sqrt{2}\right)}^2$

$h^2=81$

$h=9$

Zatem pole przekroju wynosi: $P=\frac{1}{2}\cdot 18\sqrt{2}\cdot 9=81\sqrt{2}{\text{cm}}^2$.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch przeciwległych krawędzi podstawy i środki dwóch sąsiednich krawędzi bocznych. Obliczmy pole tego przekroju, wiedząc, że wszystkie krawędzie ostrosłupa mają długość $16 \mathrm{cm}$.

Rozwiązanie

Przekrój jest trapezem równoramiennym. Górna podstawa trapezu oraz jego ramiona mają długość $8\mathrm{c}\mathrm{m}$ (wynika to z podobieństwa trójkątów $SGH$ i $SDC$, $CGF$ i $CSB$ o skali $k=\frac{1}{2}$).

R127oCFiFNAGZ

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCD$ z wierzchołkiem $S$. W połowie krawędzi bocznej $SC$ zaznaczono punkt $H$. Powstałe w ten sposób dwa odcinki $SH$ oraz $HC$ mają długość każdy po $8$. Analogicznie na drugiej krawędzi tej ściany, czyli krawędzi $SD$ zaznaczono punkt $G$. Na rysunku umieszczono także przekrój ukośny ostrosłupa. Przekrój ten jest trapezem $EFHG$, co oznacza, że dolną podstawą trapezu jest odcinek $EF$ położony równolegle do krawędzi podstawy $AB$ oraz $CD$. Dolna podstawa trapezu ma długość $16$. Ramiona trapezu to odcinki pokrywające się z dwiema naprzeciwległymi ścianami ostrosłupa. Te odcinki to $EG$ oraz $FH$. Oba mają długość $b$. Górna podstawa trapezu to odcinek $GH$ o długości $a$.

RCWZqk4US3Sk5

Na rysunku przedstawiono trapez $EFHG$ o podstawie dolnej $EF$, która ma długość $16$. Ramiona trapezu mają długość $8$ każde. Podstawa górna $GH$ również ma długość $8$. Z wierzchołka $G$ upuszczono wysokość $h$ tak, że spada ona na punkt $I$ leżący na podstawie dolnej. W ten sposób otrzymujemy trójkąt prostokątny $EIG$, w którym podstawa $EI$ ma długość $4$, przyprostokątna $IG$ ma długość $h$, a przeciwprostokątna $GE$ ma długość $8$.

Trójkąt $GIE$ jest prostokątny, więc na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy, że

$h^2=8^2-4^2$

$h^2=48$

$h=\sqrt{48}$

$h=4\sqrt{3}$

Pole przekroju wynosi więc: $P=\frac{16+8}{2}\cdot 4\sqrt{3}=48\sqrt{3}{\text{cm}}^2$.

Rysunek przedstawia przekrój poprzeczny ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o polu równym $S^2$. Oblicz długość krawędzi podstawy ostrosłupa $ABCDS$, jeśli wiadomo, że wierzchołki przekroju podzieliły krawędzie boczne w stosunku $7:3$.

R92Bq6N4FTQux

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCD$ z wierzchołkiem $S$. Ilustracja przedstawia przekrój poziomy bryły, który jest czworokątem $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ opartym na płaszczyznach wyznaczonych przez ściany boczne ostrosłupa. Oczywiście, jako że przekrój jest poziomy, wszystkie wierzchołki czworokąta będącego przekrojem znajdują się na tym samym poziomie.

Rozwiązanie

Przekrój jest kwadratem. Skoro jego pole wynosi $S^2$, co oznacza, że $\left|A\text{'}B\text{'}\right|=\sqrt{S^2}=S$.

Trójkąty $ABS$ i $A’B’S$ są podobne (na mocy cechy podobieństwa trójkątów $kkk$).

Z treści zadania wiemy, że $\frac{|SB\text{'}|}{|B\text{'}B|}=\frac{7}{3}$ lub $\frac{\left|SB\text{'}\right|}{\left|B\text{'}B\right|}=\frac{3}{7}$. Rozpatrzmy obydwa przypadki.

Przypadek 1

Jeśli $\frac{\left|SB\text{'}\right|}{\left|B\text{'}B\right|}=\frac{7}{3}$, to $\frac{|SB\text{'}|}{\left|SB\right|}=\frac{7}{10}$. Skala podobieństwa trójkątów wynosi więc $\frac{7}{10}$.

Zatem mamy równość:

$\frac{\left|A\text{'}B\text{'}\right|}{\left|AB\right|}=\frac{7}{10}$,

$\frac{S}{\left|AB\right|}=\frac{7}{10}$,

$7\left|AB\right|=10S$,

$\left|AB\right|=\frac{10}{7}S$.

Jeśli $\frac{\left|SB\text{'}\right|}{\left|B\text{'}B\right|}=\frac{7}{3}$, to krawędź podstawy ostrosłupa $ABCDS$ ma długość $\frac{10}{7}S$.

Przypadek 2

Jeśli zaś $\frac{\left|S{B}^{\prime }\right|}{\left|B^{\prime }B\right|}=\frac{3}{7}$, to $\frac{|S{B}^{\prime }|}{|SB|}=\frac{3}{10}$. Skala podobieństwa trójkątów wynosi więc $\frac{3}{10}$.

Zatem mamy równość:

$\frac{\left|A^{\prime }{B}^{\prime }\right|}{\left|AB\right|}=\frac{3}{10}$,

$\frac{S}{\left|AB\right|}=\frac{3}{10}$,

$3\left|AB\right|=10S$,

$\left|AB\right|=\frac{10}{3}S$.

Jeśli $\frac{\left|S{B}^{\prime }\right|}{\left|B^{\prime }B\right|}=\frac{3}{7}$, to krawędź podstawy ostrosłupa $ABCDS$ ma długość $\frac{10}{3}S$.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości $a$, w którym tangens kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi $\frac{5}{4}$. Obliczmy pole przekroju tego ostrosłupa wyznaczonego przez wysokości przeciwległych ścian bocznych.

Rozwiązanie

Wykonajmy rysunek pomocniczy.

RAetFs0u3XpZ4

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCD$ z wierzchołkiem $S$. Ilustracja przedstawia przekrój pionowy bryły, który jest trójkątem $FES$, przy czym punkty $F$ praz $E$ leżą na krawędziach odpowiednio $AD$ oraz $BC$ i są to punkty, na które zostały upuszczone wysokości odpowiednich ścian bocznych ostrosłupa. Na rysunku zaznaczono również wysokość całej bryły. Jest to odcinek $SO$, przy czym punkt $O$ leży na postawie przekroju bryły. Wysokość bryły oznaczono wielką literą $H$. Przy wierzchołku $O$ zaznaczono kąt prosty do płaszczyzny podstawy ostrosłupa. Oznaczono także kąt $\alpha$ - jest to kąt $OES$, czyli jest to kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy bryły.

Wiemy, że $\mathrm{tg}\alpha =\frac{5}{4}$, więc wykorzystując trójkąt prostokątny $SOE$ otrzymujemy równanie:

$\frac{H}{\frac{1}{2}a}=\frac{5}{4}$.

Stąd otrzymujemy:

$4H=\frac{5}{2}a$,

$H=\frac{5}{8}a$.

Naszym zadaniem jest obliczenie pola przekroju ostrosłupa, czyli pola trójkąta $SFE$. Ze wzoru na pole trójkąta mamy:

$P=\frac{1}{2}a·H=\frac{1}{2}a·\frac{5}{8}a=\frac{5}{16}{a}^2$.

figura płaska powstająca przy przecięciu bryły płaszczyzną

obraz przedmiotu widziany po jego przecięciu w poprzek, np. obraz słojów wewnątrz ściętego pnia drzewa