Warto przeczytać Doświadczenie 1
Do doświadczenia potrzebny jest sznur od bielizny o długości około 5 m. Przylep do niego co 25 cm kawałeczki kolorowej taśmy klejącej o kolorze kontrastującym z kolorem sznura. Jeden koniec sznura połóż na podłodze i unieruchom go czymś ciężkim (Rys. 1.). Drugi koniec trzymaj ręką tak, aby większość sznura znajdowała się ponad podłogą, ale ostatni metr leżał na niej. Wtedy fala nie będzie odbijać się od końca sznura.
R1rlgF8XVVaIO Rys. 1. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym widoczna jest postać człowieka wytwarzającego falę biegnącą w sznurku. Po prawej stronie ilustracji widoczny jest rysunek człowieka w postaci niebieskiego ludka, który w prawej ręce trzyma czerwony sznurek. Sznurek narysowany jest w postaci czerwonej i ciągłej linii częściowo unoszącej się nad ziemią. Z lewy koniec sznurka przywiązany jest do kołka wbitego w ziemię, widocznego w postaci niebieskiego kształtu węższego u dołu i grubszego w górnej części. Lewa część sznurka spoczywa na ziemi. Prawa strona sznurka, znajdująca się nad ziemią jest pofalowana. Fala na sznurku może być wywołana ruchem ręki postaci widocznej po prawej stronie ilustracji. Pofalowana część sznurka kształtem przypomina sinusoidę. Na falującej części sznurka widoczne są czerwone punkty z czarną czarnymi krawędziami. Punkty są równoodległe od siebie i obrazują zmianę wychylenia sznurka dla fali biegnącej.
Rys. 1. Wskazówka do przeprowadzenia doświadczenia
Wytwórz falę na sznurze poruszając jego koniec ruchem drgającym – na przemian w prawo i w lewo. Powtórz obserwację co najmniej dwa razy:
poruszając końcem niezbyt szybko (z większym okresem i mniejszą częstotliwością),
poruszając końcem najszybciej jak potrafisz (z mniejszym okresem i większą częstotliwością).
Porównaj fazy Faza fali fazy drgań elementów sznura, do których zostały przyczepione wstążki. Zwróć szczególną uwagę na ich wzajemne położenie.
Analiza ruchów elementów ośrodka
Załóżmy, że wskutek okresowego ruchu ręką (o okresie T) udało nam się wytworzyć na sznurze falę harmoniczną. Pięć kolejnych wykresów na Rys. 2. przedstawia tę falę dla pięciu wybranych czasów: = 0, , , i , czyli co okresu. Na każdym z wykresów zaznaczono czarnymi kropkami pięć punktów i oznaczono je jako A, B, C, D i E z odpowiednimi indeksami w zależności od chwili czasu. Symbol AIndeks dolny 1 1 oznacza położenie punktu A w pierwszej rozważanej chwili, AIndeks dolny 2 2 w drugiej chwili itd. Odległości na osi x pomiędzy tymi punktami wynoszą kolejno , , i .
R1XAiVvC36TsB Rys. 2. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym widoczne wychylenia falującego sznurka dla fali biegnącej. Na rysunku, po lewej stronie widoczna jest pionowa linia opisana jako oś wielka litera Y, która symbolizuje wychylenie sznurka od pozycji równowagi. Od osi wielka litera Y wychodzi pięć czarnych strzałek skierowanych w prawo opisanych jako osie czasy mała litera t. Osie te widoczne są jedna pod drugą w równych odległościach. Wzdłuż osi mała litera t rozchodzi się pięć fal narysowanych czerwonymi liniami. Osie mała litera t stanowią również położenie równowagi dla propagujących się fal. Fale propagują się w prawą stronę. W układzie widoczne są cztery pionowe, przerywane i czarne linie , na których zaznaczono czarne punkty na propagujących się falach. Punkty te prezentują wychylenie od położenia równowagi. Pierwsza po lewej przerywana linia jest odległa od osi wielka litera Y o całą długość fali małą grecka litera lambda. Druga przerywana linia jest odległa od pierwszej o pół długości fali mała grecka litera lambda podzielona przez dwa. Trzecia przerywana linia jest odległa od drugiej o jedną czwartą długości fali mała grecka litera lambda podzielona przez cztery. Ostatnia przerywana linia jest odległa od trzeciej o jedną ósmą długości fali mała grecka litera lambda podzielona przez osiem. Wzdłuż najwyższej osi czasu opisanej jako czas początkowy małą litera t równe zero propaguje się fala której wykres wychylenia w funkcji czasu odpowiada funkcji sinus. Na osi wielka litera Y jej wartość równą zero opisano wielką literą A z indeksem dolnym jeden. Po czasie, po którym wygenerowana została jedna długość fali, jej wychylenie również jest równe zero i opisane wielką B z indeksem dolnym jeden. Po wygenerowaniu kolejnej połowy fali wychylenie także jest równe zero i opisane wielką literą C z indeksem dolnym jeden. Po czasie koniecznym do generacji dodatkowej jednej czwartej fali wartość wychylenia jest równa wartości minimalnej mniejszej od zera, opisanej wielką literą D z indeksem dolnym jeden. Po generacji kolejnej jednej ósmej długości fali wartość wychylenia jest ujemna ale większa od wartości minimalnej i opisano ją jako wielka litera E z indeksem dolny jeden. Wzdłuż drugiej od góry osi czasu opisanej jako czas początkowy małą litera t równe jedna czwarta okresu wielka litera T dzielone przez cztery, propaguje się fala której wykres wychylenia w funkcji czasu odpowiada funkcji minus kosinus. Na osi wielka litera Y jej wartość równą wartości minimalnej opisano wielką literą A z indeksem dolnym dwa. Po czasie, po którym wygenerowana została jedna długość fali, jej wychylenie również jest równe wartości minimalnej i opisane wielką B z indeksem dolnym dwa. Po wygenerowaniu kolejnej połowy fali wychylenie także jest równa wartości maksymalnej i opisane wielką literą C z indeksem dolnym dwa. Po czasie koniecznym do generacji dodatkowej jednej czwartej fali wartość wychylenia jest równa zeru, opisanej wielką literą D z indeksem dolnym dwa. Po generacji kolejnej jednej ósmej długości fali wartość wychylenia jest ujemna ale większa od wartości minimalnej i opisano ją jako wielka litera E z indeksem dolny dwa. Wzdłuż trzeciej od góry osi czasu opisanej jako czas początkowy małą litera t równe jedna druga okresu wielka litera T dzielone przez dwa, propaguje się fala której wykres wychylenia w funkcji czasu odpowiada funkcji minus sinus. Na osi wielka litera Y jej wartość równą wartości zero opisanej wielką literą A z indeksem dolnym trzy. Po czasie, po którym wygenerowana została jedna długość fali, jej wychylenie również jest równa wartości zero i opisana wielką B z indeksem dolnym trzy. Po wygenerowaniu kolejnej połowy fali wychylenie także jest równa zero i opisana wielką literą C z indeksem dolnym trzy. Po czasie koniecznym do generacji dodatkowej jednej czwartej fali wartość wychylenia jest równa wartości maksymalnej, opisanej wielką literą D z indeksem dolnym trzy. Po generacji kolejnej jednej ósmej długości fali wartość wychylenia jest dodatnia ale mniejsza od wartości maksymalnej i opisano ją jako wielka litera E z indeksem dolny trzy. Wzdłuż czwartej od góry osi czasu opisanej jako czas początkowy małą litera t równe trzy czwarte okresu dwa razy wielka litera T dzielone przez cztery, propaguje się fala której wykres wychylenia w funkcji czasu odpowiada funkcji kosinus. Na osi wielka litera Y jej wartość równą wartości maksymalnej opisanej wielką literą A z indeksem dolnym cztery. Po czasie, po którym wygenerowana została jedna długość fali, jej wychylenie również jest równa wartości maksymalnej i opisana wielką B z indeksem dolnym cztery. Po wygenerowaniu kolejnej połowy fali wychylenie także jest równa wartości minimalnej i opisana wielką literą C z indeksem dolnym cztery. Po czasie koniecznym do generacji dodatkowej jednej czwartej fali wartość wychylenia jest równa zero, opisanej wielką literą D z indeksem dolnym cztery. Po generacji kolejnej jednej ósmej długości fali wartość wychylenia jest dodatnia ale mniejsza od wartości maksymalnej i opisano ją jako wielka litera E z indeksem dolny cztery. Wzdłuż piątej od góry osi czasu opisanej jako czas początkowy małą litera t równe okresowi wielka litera T, propaguje się fala której wykres wychylenia w funkcji czasu odpowiada funkcji sinus. Na osi wielka litera Y jej wartość równą zero opisano wielką literą A z indeksem dolnym pięć. Po czasie, po którym wygenerowana została jedna długość fali, jej wychylenie również jest równe zero i opisane wielką B z indeksem dolnym pięć. Po wygenerowaniu kolejnej połowy fali wychylenie także jest równe zero i opisane wielką literą C z indeksem dolnym pięć. Po czasie koniecznym do generacji dodatkowej jednej czwartej fali wartość wychylenia jest równa wartości minimalnej mniejszej od zera, opisanej wielką literą D z indeksem dolnym pięć. Po generacji kolejnej jednej ósmej długości fali wartość wychylenia jest ujemna ale większa od wartości minimalnej i opisano ją jako wielka litera E z indeksem dolny pięć.
Rys. 2. Fala dla pięciu wybranych czasów, co 1/4 okresu
Różnica współrzędnych punktów A i B jest równa . Wychylenia y z położenia równowagi punktów A i B są jednakowe oraz oba jednocześnie opadają w dół i oba jednocześnie wznoszą się do góry. O takich punktach mówimy, że mają zgodne fazy (lub drgają w zgodnych fazach)
Punkty B i C nie poruszają się jednakowo. Kiedy punkt B opada, punkt C się wznosi. Kiedy punkt B się wznosi, punkt C opada. O takich punktach mówimy, że mają fazy przeciwne (lub drgają w przeciwnych fazach).
Punkty C i D też poruszają się niejednakowo, ale tu różnica polega na czymś innym niż w przypadku punktów B i C. Kiedy punkt C znajduje się na osi X, punkt D jest maksymalnie przesunięty w dół. Kiedy punkt C jest maksymalnie wychylony w górę, punkt D znajduje się na osi X. Kiedy punkt C ponownie znalazł się na osi X, punkt D będzie maksymalnie wychylony, itd.
Faza punktu E jest jeszcze inna. Ten ruch możesz przeanalizować samodzielnie.
Możemy wyciągnąć wniosek, że każdy punkt na sznurze porusza się inaczej, ale co odległość równą następuje powtórzenie ruchu, tak jak dla punktów A i B. Dodatkowo, każdy z zaznaczonych punktów porusza się ruchem harmonicznym o okresie (tym samym, co okres fali), co w funkcji czasu i dla jednego okresu przedstawia Rys. 3.
R1Xx7bfqHdT1u Rys. 3. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym widoczne jest wychylenie punktu podczas ruchu harmonicznego w funkcji czasu. Na rysunku, po lewej stronie widoczna jest pionowa linia opisana jako oś wielka litera Y, która symbolizuje wychylenie sznurka od pozycji równowagi. Od osi wielka litera Y wychodzi pięć czarnych strzałek skierowanych w prawo opisanych jako osie czasy mała litera t. Osie te widoczne są jedna pod drugą w równych odległościach. Wzdłuż osi mała litera t rozchodzi się pięć fal narysowanych czerwonymi liniami. Osie mała litera t stanowią również położenie równowagi dla propagujących się fal. Fale propagują się w prawą stronę. W układzie widoczne są cztery pionowe, przerywane i czarne linie , na których zaznaczono czarne punkty na propagujących się falach. Punkty te prezentują wychylenie od położenia równowagi. Przerywane linie odległe są od osi wielka litera Y kolejno o jedną czwartą okresu wielka litera T dzielona przez cztery, połowę okresu wielka litera T dzielona przez dwa, trzy czwarte okresu dwa razy wielka litera T dzielona przez cztery i cały okres wielka litera T. Wzdłuż najwyższej osi czasu propaguje się fala, której wykres odpowiada funkcji minus sinus. Na osi wielka litera Y jej wartość jest równa zero i opisana wielką literą A z indeksem dolnym jeden. Po czasie odpowiadającym jednej czwartej okresu wartość funkcji przyjmuje wartość minimalną, mniejszą od zera, która jest opisana wielką literą A z indeksem dolnym dwa. Po upływie połowy okresu wartość funkcji ponownie jest równa zero, opisaną wielką literą A z indeksem dolnym trzy. Po upływie czasu odpowiadającemu trzem czwartym okresu wartość funkcji jest dodatnia i przyjmuje wartość maksymalną, która jest opisana wielką literą A z indeksem dolnym cztery. Po czasie równym okresowi wartość funkcji ponownie jest równa zero i opisano ją wielką literą A z indeksem dolnym pięć. Wzdłuż drugiej od góry osi czasu propaguje się fala, której wykres odpowiada funkcji minus sinus. Na osi wielka litera Y jej wartość jest równa zero i opisana wielką literą B z indeksem dolnym jeden. Po czasie odpowiadającym jednej czwartej okresu wartość funkcji przyjmuje wartość minimalną, mniejszą od zera, która jest opisana wielką literą B z indeksem dolnym dwa. Po upływie połowy okresu wartość funkcji ponownie jest równa zero, opisaną wielką literą B z indeksem dolnym trzy. Po upływie czasu odpowiadającemu trzem czwartym okresu wartość funkcji jest dodatnia i przyjmuje wartość maksymalną, która jest opisana wielką literą B z indeksem dolnym cztery. Po czasie równym okresowi wartość funkcji ponownie jest równa zero i opisano ją wielką literą B z indeksem dolnym pięć. Wzdłuż trzeciej od góry osi czasu propaguje się fala, której wykres odpowiada funkcji sinus. Na osi wielka litera Y jej wartość jest równa zero i opisana wielką literą C z indeksem dolnym jeden. Po czasie odpowiadającym jednej czwartej okresu wartość funkcji przyjmuje wartość maksymalną, większą od zera, która jest opisana wielką literą C z indeksem dolnym dwa. Po upływie połowy okresu wartość funkcji ponownie jest równa zero, opisaną wielką literą C z indeksem dolnym trzy. Po upływie czasu odpowiadającemu trzem czwartym okresu wartość funkcji jest ujemna i przyjmuje wartość minimalną, która jest opisana wielką literą C z indeksem dolnym cztery. Po czasie równym okresowi wartość funkcji ponownie jest równa zero i opisano ją wielką literą C z indeksem dolnym pięć. Wzdłuż czwartej od góry osi czasu propaguje się fala, której wykres odpowiada funkcji minus kosinus. Na osi wielka litera Y jej wartość jest równa wartości minimalnej, mniejszej od zera, opisaną wielką literą D z indeksem dolnym jeden. Po czasie odpowiadającym jednej czwartej okresu wartość funkcji przyjmuje wartość zero, która jest opisana wielką literą D z indeksem dolnym dwa. Po upływie połowy okresu wartość funkcji maksymalną, większą od zera, opisaną wielką literą D z indeksem dolnym trzy. Po upływie czasu odpowiadającemu trzem czwartym okresu wartość funkcji jest ponownie przyjmuje wartość zero, która jest opisana wielką literą D z indeksem dolnym cztery. Po czasie równym okresowi wartość funkcji ponownie jest równa minimalną, mniejszą od zera i opisano ją wielką literą D z indeksem dolnym pięć. Wzdłuż piątej od góry osi czasu propaguje się fala, której wykres odpowiada przesuniętej funkcji minus kosinus. Na osi wielka litera Y jej wartość jest mniejszą od zera ale większą od wartości minimalnej funkcji, opisaną wielką literą E z indeksem dolnym jeden. Po czasie odpowiadającym jednej czwartej okresu wartość funkcji przyjmuje ponownie wartość mniejszą od zera, która jest większa od wartości minimalnej funkcji, opisaną wielką literą E z indeksem dolnym dwa. Po upływie połowy okresu wartość funkcji jest większa od zera, ale mniejsza od wartości maksymalnej, opisaną wielką literą E z indeksem dolnym trzy. Po upływie czasu odpowiadającemu trzem czwartym okresu wartość funkcji jest dodatnia i mniejsza od wartości maksymalnej i jest opisana wielką literą E z indeksem dolnym cztery. Po czasie równym okresowi wartość funkcji ponownie jest mniejszą od zera, ale większą od wartości minimalnej, która opisana ją wielką literą E z indeksem dolnym pięć.
Rys. 3. Ruch harmoniczny punktu drgającego w funkcji czasu dla jednego okresu
Doświadczenie 2
Podobnie zachowują się wszystkie fale, również fale dźwiękowe, co możemy sprawdzić porównując je. Do doświadczenia potrzebny jest głośnik, generator akustyczny (są dostępne w internecie), oscylograf Oscylograf oscylograf dwukanałowy i dwa mikrofony (Rys. 4.).
RVXzn3InB8AbL Rys. 4. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym widoczny jest schemat układu pomiarowego dla mikrofonów ustawionych na drodze propagującej się fali akustycznej w miejscach, gdzie fazy fal są zgodne przeciwne. Ilustracja podzielona jest na dwie części, prawą mała litera a z nawiasem prawym oraz lewą mała litera b z nawiasem prawym. Po prawej stronie widoczny jest układ, w którym mikrofony ustawione są w miejscach, gdzie fazy fal są zgodne. Na ilustracji widoczny jest ośrodek, w którym propaguje się fala akustyczna. Ośrodek widoczny jest w postaci poziomego prostokąta. Z lewej strony ośrodka widoczny jest głośnik w postaci pionowego i szarego prostokąta. Z głośnika emitowana jest fala rozchodząca się kuliście. Fala widoczna jest w ośrodku jako naprzemienne ciemnoniebieskie i jasnoniebieskie, współśrodkowe okręgi, w których centrum znajduje się głośnik. Po prawej stronie od głośnika widoczne są dwa mikrofony, narysowane w postaci małych, czerwonych i pionowych prostokątów. Mikrofony narysowane są na tej samej wysokości i umieszczone w dwóch kolejnych ciemnoniebieskich obszarach propagującej się fali. Lewy mikrofon podpisano cyfrą jeden w nawiasie a mikrofon po prawej stronie podpisany został cyfrą dwa w nawiasie. Odległość pomiędzy mikrofonami, liczona w kierunku poziomym jest równa długości fali mała grecka litera lambda. Odległość tę narysowano nad ośrodkiem w postaci dwustronnej, poziomej i czerwonej strzałki, zakończonej grotami na obu końcach. Mikrofony podłączone są przewodami narysowanymi w postaci czarnych i ciągłych linii do oscylografu, widocznego pod prostokątem symbolizującym ośrodek. Oscylograf widoczny jest w postaci poziomego prostokąta, wewnątrz którego widoczne jest czarne pole a w nim dwie białe funkcje sinusoidalne zgodne w fazie. Po lewej stronie widoczny jest układ, w którym mikrofony ustawione są w miejscach, gdzie fazy fal są przeciwne. Na ilustracji widoczny jest ośrodek, w którym propaguje się fala akustyczna. Ośrodek widoczny jest w postaci poziomego prostokąta. Z lewej strony ośrodka widoczny jest głośnik w postaci pionowego i szarego prostokąta. Z głośnika emitowana jest fala rozchodząca się kuliście. Fala widoczna jest w ośrodku jako naprzemienne ciemnoniebieskie i jasnoniebieskie, współśrodkowe okręgi, w których centrum znajduje się głośnik. Po prawej stronie od głośnika widoczne są dwa mikrofony, narysowane w postaci małych, czerwonych i pionowych prostokątów. Mikrofony narysowane są na tej samej wysokości i umieszczone lewy w obszarze ciemnoniebieskim a prawy w obszarze jasnoniebieskim propagującej się fali. Lewy mikrofon podpisano cyfrą jeden w nawiasie a mikrofon po prawej stronie podpisany został cyfrą dwa w nawiasie. Odległość pomiędzy mikrofonami, liczona w kierunku poziomym jest równa trzem czwartym długości fali trzy razy mała grecka litera lambda dzielona przez cztery. Odległość tę narysowano nad ośrodkiem w postaci dwustronnej, poziomej i czerwonej strzałki, zakończonej grotami na obu końcach. Mikrofony podłączone są przewodami narysowanymi w postaci czarnych i ciągłych linii do oscylografu, widocznego pod prostokątem symbolizującym ośrodek. Oscylograf widoczny jest w postaci poziomego prostokąta, wewnątrz którego widoczne jest czarne pole a w nim dwie białe funkcje jedna przedstawiająca funkcję sinus a druga minus sinus.
Rys. 4. Schemat układu pomiarowego dla mikrofonów ustawionych w fazie zgodnej (a) i przeciwnej (b)
Przyjmijmy, że mikrofon (1) pozostaje w tym samym miejscu. Zmieniamy położenie mikrofonu (2) przesuwając go w prawo i obserwujemy na ekranie oscylografu sinusoidy sygnałów rejestrowanych przez oba mikrofony. Przy takim ustawieniu układu, na oscylografie obserwujemy dwie sinusoidy: jedna to sygnał z pierwszego mikrofonu, a druga – sygnał z drugiego.
Jeżeli mikrofony umieścimy tuż koło siebie, to fazy sygnałów oczywiście będą zgodne. Kiedy drugi mikrofon będziemy przesuwać w lewo lub w prawo względem pierwszego mikrofonu, fazy sygnałów będą się zmieniać. W szczególności:
Jeżeli odległość pomiędzy mikrofonami będzie równa całkowitej wielokrotności długości fali Długość fali długości fali , fazy sygnałów będą zgodne (Rys. 4a.).
Jeżeli odległość pomiędzy mikrofonami będzie równa nieparzystej wielokrotności połowy długości fali, fazy sygnałów będą przeciwne (Rys. 4b.).
Dla innych odległości sinusoidy będą względem siebie przesunięte.
Zauważ, że w omówionym doświadczeniu można wprost – linijką – zmierzyć długość fali dźwiękowej.
Słowniczek Faza fali Faza fali
(ang. wave phaze ) wielkość fizyczna opisująca, w której fazie drgań znajduje się określony punkt ośrodka. Jest wyrażana w radianach i przyjmuje wartości od 0 do 2π pi .
Ruch periodyczny Ruch periodyczny
(ang. periodic movement ) to zjawisko powtarzające się zawsze co pewien czas. Każdy proces periodyczny możemy opisać matematycznie przy pomocy funkcji okresowej. Ciało porusza się ruchem periodycznym (okresowym), jeśli wielkości fizyczne charakteryzujące ten ruch (tzn. wektor położenia, prędkości i przyspieszenia ciała) powtarzają się w stałych odstępach czasu równych całkowitej wielokrotności okresu ruchu.
Długość fali Długość fali
(ang. wave length ) to najmniejsza odległość między dwoma punktami o tej samej fazie drgań (czyli między dwoma powtarzającymi się fragmentami fali).
Oscylograf Oscylograf
(ang. oscillograph ) to przyrząd do badania i zapisywania przebiegów różnych zjawisk, np. zmian napięcia elektrycznego lub tętna krwi.