Przeczytaj
Warto przeczytać
Silnik cieplny to urządzenie, które - pracując w zamkniętym cyklu termodynamicznym - zamienia energię cieplnąenergię cieplną na pracę mechaniczną (zob. e‑materiały pt. Co to jest silnik cieplny? i Jak zanalizować cykle termodynamiczne?).
W tym materiale naszym celem jest analiza takiego silnika cieplnego, który ma największą możliwą sprawność. Przypomnijmy, że sprawność silnika definiuje się jako stosunek pracy wykonanej przez silnik w pojedynczym cyklu do ilości ciepła pobranego w takim cyklu (zob. materiał pt. Jak obliczyć sprawność silników cieplnych?).
Substancją „roboczą” w naszym silniku będzie gaz doskonały. Oprócz tego będziemy mieli do dyspozycji dwa ciała o różnych, ustalonych temperaturach: . Ciało o wyższej temperaturze , z którego gaz będzie pobierał ciepło, nazwiemy „grzejnikiem”, zaś ciało o niższej temperaturze , któremu gaz będzie oddawał ciepło, - „chłodnicą”. Oczywiście ciepło pobierane w jednym cyklu nie może być dowolnie duże. Założymy, że w jednym cyklu gaz pobiera ciepło . Sprawność cyklu będzie wtedy równa stosunkowi uzyskanej pracy do ciepła pobranego w tym cyklu:
Jeśli sprawność rozważanego cyklu ma być maksymalna, to składające się na niego przemiany termodynamiczne powinny być dobrane w taki sposób, by - przy ustalonym cieple pobranym - praca wykonana przez gaz była maksymalna.
Niech pierwszą przemianą rozważanego cyklu będzie izotermiczne rozprężanieizotermiczne rozprężanie gazu od stanu A do stanu B (Rys. 1.). W kontekście maksymalnej sprawności silnika cieplnego izotermiczne sprężanie gazu doskonałego jest dobrym wyborem, ponieważ w przemianie izotermicznej całe ciepło pobrane przez gaz zostaje zamienione na pracę rozprężania. Dzieje się tak, ponieważ - zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki - energia wewnętrzna układu termodynamicznego może zostać zmieniona tylko poprzez dostarczenie lub odebranie ciepła temu układowi lub poprzez wykonanie nad tym układem lub przez ten układ pracy. Ale skoro energia gazu doskonałego, przy ustalonej ilości materii, zależy jedynie od jego temperatury, to nie można jej zmienić w przemianie izotermicznej. Jeśli zatem gaz pobiera ciepło i nie zmienia swojej temperatury, to kosztem pobranego ciepła musi wykonać pracę. Przemiana izotermiczna A‑B trwa do momentu, aż z grzejnika o temperaturze zostanie pobranie ciepło . Po zakończeniu izotermicznego rozprężania gaz dalej może się rozprężać, wykonując przy tym pracę rozprężania. Jeśli podczas tego rozprężania zapewnimy silnikowi izolację cieplną, to rozprężanie będzie miało charakter przemiany adiabatycznejprzemiany adiabatycznej, podczas której temperatura gazu będzie malała. W przemianie adiabatycznej B‑C gaz wykonuje pracę kosztem swojej energii wewnętrznej. Rozprężanie gazu kończy się, gdy gaz osiągnie temperaturę chłodnicy .
Dotychczasowe przemiany termodynamiczne badanego cyklu polegały na rozprężaniu gazu doskonałego. Zamknięcie cyklu, czyli powrót gazu do stanu początkowego A, wymaga, by w kolejnych przemianach gaz był sprężany. Kolejną przemianą w rozważanym cyklu będzie zatem izotermiczne sprężanie gazu w temperaturze chłodnicy . W tej przemianie, C‑D, pracę wykonuje siła zewnętrzna, a gaz oddaje do chłodnicy ciepło , które co do wartości jest równe pracy wykonanej nad układem. Następnie gaz jest sprężany adiabatycznie od stanu D do stanu A. W przemianie D‑A siła zewnętrzna wykonuje pracę, która powoduje wzrost energii wewnętrznej i temperatury. Temperatura wzrasta do wartości i cykl może zacząć się od początku.
Rys. 2. przedstawia realizację cyklu Carnota. Gaz zamknięty w pojemniku z tłokiem w przemianie A‑B pobiera ciepło z grzejnika o temperaturze . W przemianie B‑C rozprężanie gazu jest kontynuowane, ale przebiega ono w warunkach izolacji cieplnej. W przemianie C‑D następuje izotermiczne sprężanie gazu, któremu towarzyszy oddanie ciepła do chłodnicy o temperaturze . W przemianie D‑A gaz nadal zmniejsza swoją objętość, ale tym razem dzieje się to w warunkach izolacji cieplnej.
Z powyższego opisu wynika, że w pojedynczym cyklu pracy gaz pobrał ciepło i oddał ciepło . Zgodnie z zasadą zachowania energiizasadą zachowania energii praca uzyskana w cyklu równa jest różnicy ciepła pobranego i ciepła oddanego , czyli
. Sprawność cyklu jest zatem równa
Widzimy, że sprawność byłaby równa jedności (lub 100 %), gdyby całe ciepło zostało zamienione na pracę. W takim cyklu układ wykonywałby pracę kosztem całego pobranego ciepła. Jednak dla zamknięcia cyklu (tj. powrotu układu do stanu początkowego), potrzebne są przemiany, w których gaz jest sprężany. Podczas izotermicznego sprężania ciepło musi być oddawane otoczeniu i w rezultacie sprawność jest zawsze mniejsza od jedności.
Okazuje się, że o ile wyprowadzony wzór, , jest ogólny (tj. obowiązuje dla wszystkich cykli termodynamicznych), to istnieje pewna wartość sprawności, której nie daje się przekroczyć - jest to sprawność cyklu Carnota. Każdą modyfikację pętli przedstawionej na Rys. 1. (niekoniecznie złożoną z czterech gładkich krzywych, może to być dowolna, nieprzecinająca się krzywa zamknięta) można „zmieścić” między dwiema izotermami. Cyklowi takiemu da się przypisać dwie charakterystyczne wartości temperatury: minimalną oraz maksymalną. Spośród wszelkich możliwych związków sprawności cyklu z kształtem krzywej, a więc także z tymi temperaturami, szczególnie prostą postać ma wzór na sprawność w cyklu Carnota:
gdzie – temperatura chłodnicy, – temperatura grzejnika.
Widać, że sprawność ta jest tym większa, im mniejszy jest stosunek temperatury chłodnicy do temperatury grzejnika. Iloraz ten byłby równy zeru tylko wtedy, gdyby temperatura chłodnicy była równa 0 K0 K. Taka temperatura jest jednak nieosiągalna i sprawność cyklu Carnota jest zawsze mniejsza od 1.
Można pokazać, że cykl Carnota jest w tym sensie optymalny, że sprawność dowolnego innego cyklu (trzy przykłady pokazano na Rys. 3.) spełnia nierówność
Silniki rzeczywiste pracują w innych cyklach, mają więc niższą sprawność niż cykl Carnota. Na dodatek część ciepła rozprasza się w otoczeniu, a część pracy zużywana jest na pokonanie sił oporu wewnątrz silnika. Te czynniki także obniżają sprawność, np. dla silników spalinowych jest ona rzędu 30‑40%.
Słowniczek
(ang.: heat capacity) - ilość ciepła, jaka jest potrzebna do zmiany temperatury ciała o (równoważnie: o ).
(ang.: absolute temperature) - miara średniej energii kinetycznej przypadająca na jedną cząsteczkę.
(ang.: internal energy) - suma energii kinetycznych i potencjalnych oddziaływań między cząsteczkami oraz wewnątrzcząsteczkowych. W gazie doskonałym nie ma oddziaływań międzycząsteczkowych. Z tego powodu ego energia wewnętrzna jest równa tylko sumie energii kinetycznych jego cząsteczek. Z kinetycznej teorii gazów wynika, że średnia energia kinetyczna cząsteczek jest wprost proporcjonalna do temperatury w skali Kelvinaskali Kelvina.
(ang.: heat) - forma przekazywania energii od ciała o wyższej temperaturze do ciała o niższej temperaturze.
(ang.: first law of thermodynamics) - zmiana energii wewnętrznej układu równa jest sumie ciepła przekazanego do układu i pracy wykonanej nad układem przez siłę zewnętrzną,
(ang.: adiabatic process) - przemiana termodynamiczna, w której nie ma wymiany ciepła między układem i jego otoczeniem.
(ang.: isothermal process) - przemiana, w której temperatura badanego układu termodynamicznego nie zmienia się. Ponieważ energia wewnętrznaenergia wewnętrzna gazu doskonałego zależy tylko od temperatury, oznacza to, że jeśli podczas przemiany izotermicznej gaz doskonały wykonuje pracę, dzieje się to kosztem ciepła pobranego z otoczenia. Podobnie, jeśli w przemianie izotermicznej siła zewnętrzna wykonuje pracę (np. sprężając gaz), to gaz musi oddać do otoczenia ciepło, równe co do wartości tej pracy.