Warto przeczytać

Silnik cieplny to urządzenie, które - pracując w zamkniętym cyklu termodynamicznym - zamienia energię cieplnąciepłoenergię cieplną na pracę mechaniczną (zob. e‑materiały pt. Co to jest silnik cieplny? i Jak zanalizować cykle termodynamiczne?).

W tym materiale naszym celem jest analiza takiego silnika cieplnego, który ma największą możliwą sprawność. Przypomnijmy, że sprawność silnika definiuje się jako stosunek pracy wykonanej przez silnik w pojedynczym cyklu do ilości ciepła pobranego w takim cyklu (zob. materiał pt. Jak obliczyć sprawność silników cieplnych?).

Substancją „roboczą” w naszym silniku będzie gaz doskonały. Oprócz tego będziemy mieli do dyspozycji dwa ciała o różnych, ustalonych temperaturach: $T_1\geqslant T_2$. Ciało o wyższej temperaturze $T_1$, z którego gaz będzie pobierał ciepło, nazwiemy „grzejnikiem”, zaś ciało o niższej temperaturze $T_2$, któremu gaz będzie oddawał ciepło, - „chłodnicą”. Oczywiście ciepło pobierane w jednym cyklu nie może być dowolnie duże. Założymy, że w jednym cyklu gaz pobiera ciepło $Q_1$. Sprawność cyklu będzie wtedy równa stosunkowi uzyskanej pracy $W$ do ciepła pobranego w tym cyklu:

Jeśli sprawność rozważanego cyklu ma być maksymalna, to składające się na niego przemiany termodynamiczne powinny być dobrane w taki sposób, by - przy ustalonym cieple pobranym - praca wykonana przez gaz była maksymalna.

Niech pierwszą przemianą rozważanego cyklu będzie izotermiczne rozprężanieprzemiana izotermicznaizotermiczne rozprężanie gazu od stanu A do stanu B (Rys. 1.). W kontekście maksymalnej sprawności silnika cieplnego izotermiczne sprężanie gazu doskonałego jest dobrym wyborem, ponieważ w przemianie izotermicznej całe ciepło pobrane przez gaz zostaje zamienione na pracę rozprężania. Dzieje się tak, ponieważ - zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki - energia wewnętrzna układu termodynamicznego może zostać zmieniona tylko poprzez dostarczenie lub odebranie ciepła temu układowi lub poprzez wykonanie nad tym układem lub przez ten układ pracy. Ale skoro energia gazu doskonałego, przy ustalonej ilości materii, zależy jedynie od jego temperatury, to nie można jej zmienić w przemianie izotermicznej. Jeśli zatem gaz pobiera ciepło i nie zmienia swojej temperatury, to kosztem pobranego ciepła musi wykonać pracę. Przemiana izotermiczna A‑B trwa do momentu, aż z grzejnika o temperaturze $T_1$ zostanie pobranie ciepło $Q_1$. Po zakończeniu izotermicznego rozprężania gaz dalej może się rozprężać, wykonując przy tym pracę rozprężania. Jeśli podczas tego rozprężania zapewnimy silnikowi izolację cieplną, to rozprężanie będzie miało charakter przemiany adiabatycznejprzemiana adiabatycznaprzemiany adiabatycznej, podczas której temperatura gazu będzie malała. W przemianie adiabatycznej B‑C gaz wykonuje pracę kosztem swojej energii wewnętrznej. Rozprężanie gazu kończy się, gdy gaz osiągnie temperaturę chłodnicy $T_2$.

Dotychczasowe przemiany termodynamiczne badanego cyklu polegały na rozprężaniu gazu doskonałego. Zamknięcie cyklu, czyli powrót gazu do stanu początkowego A, wymaga, by w kolejnych przemianach gaz był sprężany. Kolejną przemianą w rozważanym cyklu będzie zatem izotermiczne sprężanie gazu w temperaturze chłodnicy $T_2$. W tej przemianie, C‑D, pracę wykonuje siła zewnętrzna, a gaz oddaje do chłodnicy ciepło $Q_2$, które co do wartości jest równe pracy wykonanej nad układem. Następnie gaz jest sprężany adiabatycznie od stanu D do stanu A. W przemianie D‑A siła zewnętrzna wykonuje pracę, która powoduje wzrost energii wewnętrznej i temperatury. Temperatura wzrasta do wartości $T_1$ i cykl może zacząć się od początku.

R1dFrgMbP5rBG

Rys. 1. Wykres na osi poziomej ma odłożoną objętość V, a na osi pionowej ciśnienie p. Wykres cyklu Carnota składa się z czterech fragmentów hiperbol. Po lewej stronie u góry jest punkt duże A. Od punktu A biegnie w dół i w prawo wygięta linia, będąca fragmentem hiperboli. Strzałka na linii pokazuje kierunek przemiany izotermicznej w dół i w prawo. Linia ta kończy się w punkcie duże B. Przy linii znajduje się równość: temperatura duże T z indeksem dolnym 1 równa się konstans. W punkcie B zaczyna się drugi fragment hiperboli bardziej stromej od pierwszej. Wygięta linia biegnie w dół i w prawo, kończąc się w punkcie duże C. Strzałka skierowana w dół i w prawo pokazuje kierunek przemiany adiabatycznej. Przy linii znajduje się równość: ciepło duże Q równa się zero. Od punktu C fragment hiperboli biegnie w lewo i w górę do punktu D. który znajduje się pod punktem B, nieco na lewo od niego. Strzałka skierowana w górę i w lewo pokazuje kierunek przemiany izotermicznej. Przy linii znajduje się równość: temperatura duże T z indeksem dolnym 2 równa się konstans. Od punktu D do punktu A fragment hiperboli biegnie stromo w lewo i w górę. Strzałka skierowana w górę i w lewo pokazuje kierunek przemiany adiabatycznej. Przy linii znajduje się równość: ciepło duże Q równa się zero.

Rys. 2. przedstawia realizację cyklu Carnota. Gaz zamknięty w pojemniku z tłokiem w przemianie A‑B pobiera ciepło z grzejnika o temperaturze $T_1$. W przemianie B‑C rozprężanie gazu jest kontynuowane, ale przebiega ono w warunkach izolacji cieplnej. W przemianie C‑D następuje izotermiczne sprężanie gazu, któremu towarzyszy oddanie ciepła do chłodnicy o temperaturze $T_2$. W przemianie D‑A gaz nadal zmniejsza swoją objętość, ale tym razem dzieje się to w warunkach izolacji cieplnej.

RP6xX2AExlhhJ

Rys. 2. Na rysunku są cztery naczynia w kształcie pionowo ustawionego cylindra. W każdym naczyniu jest ruchomy tłok. Pod tłokiem znajduje się gaz. Nad pierwszym naczyniem jest napis A myślnik B, izotermiczne rozprężenie. Pod naczyniem jest czerwony klocek. Na klocku jest napis: grzejnik o temperaturze duże T z indeksem dolnym 1. Tłok znajduje się nisko. Jego położenie to około jednej czwartej wysokości naczynia. Do tłoka przyłożona jest strzałka skierowana do góry, pokazująca kierunek ruchu tłoka. Nad drugim naczyniem jest napis B myślnik C, adiabatyczne rozprężenie. Pod naczyniem jest drewniany klocek z napisem: izolacja cieplna. Tłok znajduje się wyżej niż poprzednio. Jego położenie to około jednej druga wysokości naczynia. Do tłoka przyłożona jest strzałka skierowana do góry, pokazująca kierunek ruchu tłoka. Nad trzecim naczyniem jest napis C myślnik D, izotermiczne sprężenie. Pod naczyniem jest niebieski klocek. Na klocku jest napis: chłodnica o temperaturze duże T z indeksem dolnym 2. Do tłoka przyłożona jest strzałka skierowana w dół, pokazująca kierunek ruchu tłoka. Nad czwartym naczyniem jest napis D myślnik A, adiabatyczne sprężenie. Pod naczyniem jest drewniany klocek z napisem: izolacja cieplna. Tłok znajduje się niżej niż poprzednio. Do tłoka przyłożona jest strzałka skierowana w dół, pokazująca kierunek ruchu tłoka.

Z powyższego opisu wynika, że w pojedynczym cyklu pracy gaz pobrał ciepło $Q_1$ i oddał ciepło $Q_2$. Zgodnie z zasadą zachowania energiiI zasada termodynamikizasadą zachowania energii praca uzyskana w cyklu równa jest różnicy ciepła pobranego $Q_1$ i ciepła oddanego $Q_2$, czyli
$W=Q_1-Q_2$. Sprawność cyklu jest zatem równa

Widzimy, że sprawność byłaby równa jedności (lub 100 %), gdyby całe ciepło zostało zamienione na pracę. W takim cyklu układ wykonywałby pracę kosztem całego pobranego ciepła. Jednak dla zamknięcia cyklu (tj. powrotu układu do stanu początkowego), potrzebne są przemiany, w których gaz jest sprężany. Podczas izotermicznego sprężania ciepło musi być oddawane otoczeniu i w rezultacie sprawność jest zawsze mniejsza od jedności.

Okazuje się, że o ile wyprowadzony wzór, $\eta=1-Q_2/Q_1$, jest ogólny (tj. obowiązuje dla wszystkich cykli termodynamicznych), to istnieje pewna wartość sprawności, której nie daje się przekroczyć - jest to sprawność cyklu Carnota. Każdą modyfikację pętli przedstawionej na Rys. 1. (niekoniecznie złożoną z czterech gładkich krzywych, może to być dowolna, nieprzecinająca się krzywa zamknięta) można „zmieścić” między dwiema izotermami. Cyklowi takiemu da się przypisać dwie charakterystyczne wartości temperatury: minimalną oraz maksymalną. Spośród wszelkich możliwych związków sprawności cyklu z kształtem krzywej, a więc także z tymi temperaturami, szczególnie prostą postać ma wzór na sprawność w cyklu Carnota:

gdzie $T_2$ – temperatura chłodnicy, $T_1$ – temperatura grzejnika.

Widać, że sprawność ta jest tym większa, im mniejszy jest stosunek temperatury chłodnicy do temperatury grzejnika. Iloraz ten byłby równy zeru tylko wtedy, gdyby temperatura chłodnicy $T_2$ była równa 0 Ktemperatura w skali Kelvina (skali bezwzględnej)0 K. Taka temperatura jest jednak nieosiągalna i sprawność cyklu Carnota jest zawsze mniejsza od 1.

Można pokazać, że cykl Carnota jest w tym sensie optymalny, że sprawność dowolnego innego cyklu (trzy przykłady pokazano na Rys. 3.) spełnia nierówność

Rr0orouVeSXmT

Rys. 3. Na rysunku jest wykres, który na osi poziomej ma odłożoną objętość V, a na osi pionowej ciśnienie p. Na wykresie są dwie izotermy mające kształt hiperbol i leżące jedna nad drugą. Przy górnej izotermie jest napis: temperatura duże T z indeksem dolnym 1. Przy dolnej izotermie jest napis: temperatura duże T z indeksem dolnym 2. Między izotermami są trzy zamknięte krzywe, pokazujące cykle termodynamiczne ze strzałkami wskazującymi kierunek przebiegu cyklu zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. Każda z tych krzywych ma przynajmniej jeden punkt leżący na górnej izotermie i przynajmniej jeden punkt leżący na dolnej izotermie.

Silniki rzeczywiste pracują w innych cyklach, mają więc niższą sprawność niż cykl Carnota. Na dodatek część ciepła rozprasza się w otoczeniu, a część pracy zużywana jest na pokonanie sił oporu wewnątrz silnika. Te czynniki także obniżają sprawność, np. dla silników spalinowych jest ona rzędu 30‑40%.

Słowniczek