Przeczytaj

Warto przeczytać

Równia pochyła to płaska powierzchnia nachylona pod pewnym kątem $α$ do poziomu. W tym e‑materiale skupimy się na rozwiązywaniu zadań dotyczących zagadnienia ruchu po takiej równi. W tym celu przypomnijmy najpierw jednak, jakie siły działają na ciało na równi pochyłej. Na Rys. 1. przedstawiliśmy przypadek, gdy na ciało działają siła ciężkości i siła tarcia. (Uwaga: celowo - dla czytelności - pomijamy siły działające na równię, w szczególności siłę nacisku, równą co do wartości sile reakcji równi i przeciwnie skierowaną. Przyjmujemy, że równia jest nieskończenie ciężka i nie porusza się wskutek ruchu ciała.)

Rfx0WVCb4DaI3

Rys. 1. Na rysunku znajduje się równia pochyła, której powierzchnia skierowana jest w prawo i w dół. Kąt nachylenia równi do poziomu oznaczony jest grecką literą alfa. Z równi zsuwa się klocek. Narysowano wektory sił działających na klocek. Wektor siły ciężkości, zaczepiony w środku klocka i skierowany pionowo w dół, jest oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym g i ze strzałką nad nią. Przy tym wektorze jest napis: siła ciężkości. Wektor siły ciężkości został rozłożony na dwie składowe: prostopadłą i równoległą do powierzchni równi. W tym celu narysowano prostokąt, którego bokami są te dwie składowe, a przekątną jest siła ciężkości. Wektor składowej równoległej do równi skierowany jest ukośnie w prawo i w dół. Wektor składowej prostopadłej do równi skierowany jest ukośnie w lewo i w dół. Kąt między wektorem składowej prostopadłej do równi i wektorem siły ciężkości oznaczono grecką literą alfa. Również kąt między wektorem siły ciężkości i bokiem prostokąta, leżącym naprzeciwko składowej prostopadłej do równi, oznaczono grecką literą alfa. Wektor składowej prostopadłej do równi oznaczony jest literą wielkie F z indeksem dolnym g i dwie prostopadłe do siebie kreseczki. Przy tym wektorze jest napis: „Składowa prostopadła siły ciężkości”. Wektor składowej równoległej do równi oznaczony jest literą wielkie F z indeksem dolnym g i dwie równoległe do siebie kreseczki. Przy tym wektorze jest napis: „Składowa równoległa siły ciężkości, siła zsuwająca”. Narysowano też wektor siły nacisku działającej na równię. Jest on przyłożony do powierzchni równi pod klockiem i równy wektorowi składowej prostopadłej siły ciężkości działającej na klocek. Wektor siły nacisku oznaczono literą wielkie N ze strzałką nad nią. Na klocek działa siła reakcji podłoża, oznaczona literą wielkie F z indeksem dolnym r i ze strzałką nad nią. Wektor tej siły przyłożony jest do klocka, skierowany prostopadle do równi w górę i prawo, a jego długość równa jest długości wektora siły nacisku na równię N. Narysowano wektor siły tarcia działającej na klocek, przyłożony do dolnej powierzchni klocka i skierowany równolegle do równi w górę i w lewo. Wektor siły tarcia oznaczono literą wielkie T ze strzałką nad nią. — Rys. 1. Siły działające na zsuwające się z równi pochyłej ciało
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Siła ciężkości działa pionowo w dół, a siła tarcia wzdłuż równi, przeciwnie do kierunku ruchu. Aby opisać ruch ciała wzdłuż równi, musimy obliczyć, jaka wypadkowa siła na nie działa. W tym celu rozkładamy siłę ciężkości na składowe: wzdłuż równi i prostopadle do niej. Sposób takiego rozkładu jest również przedstawiony na Rys. 1. i opiera się na prostej zasadzie – siłę ciężkości jest przekątną prostokąta, którego bokami są składowe tej siły.

Ciało wykonuje ruch wzdłuż równi pod wpływem:

składowej równoległej siły ciężkości (zwanej też składową zsuwającą), której wartość wynosi $F_{g ∥} = m g sin α$ ;
siły tarcia, która jest proporcjonalna do siły nacisku klocka na podłoże, równej co do wartości składowej ciężaru ciała prostopadłej do równi: $T = μ N = μ F_{g ⊥} = μ m g \cos α$ (gdzie $μ$ jest współczynnikiem tarcia ciała o podłoże, $m$ – masą ciała, $g$ – przyspieszeniem ziemskim).

Oznacza to, że wartość wypadkowego przyspieszenia ciała na równi wynosi

a = \frac{F_{w}}{m} = \frac{m g sin α - μ m g cos α}{m} = g (sin α - μ cos α) .

Gdy nie ma tarcia (czyli $μ$ = 0), powyższy wzór upraszcza się do:

a = g \sin α .

W przypadku, gdy na ciało działają jeszcze inne siły, należy również rozłożyć je na składowe prostopadłe i równoległe do równi, dodać do składowych siły ciężkości oraz wyznaczyć wypadkowe wartości sił: zsuwającej i tarcia.

Równia pochyła jest oczywiście pewną idealizacją rzeczywistych zjawisk zachodzących w przyrodzie. Niemniej, za jej pomocą możemy opisać m.in. ruch skoczka narciarskiego zjeżdżającego ze skoczni, ruch śniegu sunącego po zboczu góry lub też ruch narciarza zjeżdżającego ze stoku, czy ruch wagonu na górce rozrządowejGórka rozrządowagórce rozrządowej.

Zagadnienia związane z ruchem po równi pochyłej możemy rozwiązywać wykorzystując przedstawione powyżej równania dynamiki lub też zasadę zachowania energii. Przeanalizujmy teraz kilka przykładów.

Przykład 1

Bobslej

Na torze saneczkowym o stałym nachyleniu 12° do poziomu porusza się bobslejBobslejbobslej (Rys. 2.). Wiedząc, że jego prędkość w połowie toru wynosiła $v$ = 6 m/s, wyznacz długość toru. Prędkość początkowa bobsleja była równa zeru, a współczynnik tarcia sanek o tor wynosi $μ$ = 0,07.

RWOqL4pcR1Z7o

Rys. 2. Na zdjęciu pokazano bobslej, sfotografowany od frontu. W bobsleju siedzi czwórka zawodników ubranych w czerwone stroje. Zawodnicy reprezentują Stany Zjednoczone Tło zdjęcia stanowi "chmura" śniegu poruszonego pod wpływem prędkości z jaką porusza się bobslej. Po prawej widoczne rozmyte sylwetki kibiców. — Rys. 2. Jak zmienia się prędkość bobsleja na torze?
Źródło: dostępny w internecie: https://pxhere.com/pl/photo/997598 [dostęp 4.09.2022], domena publiczna.

Dane	Szukane
kąt nachylenia zbocza: $α$ = 12°, prędkość w połowie długości toru: $v$ = 6 m/s, prędkość początkowa: $v_{0}$ = 0 m/s, współczynnik tarcia: $μ$ = 0,07, przyspieszenie ziemskie: $g$ = 9,81 m/sIndeks górny 2.	długość zbocza $s$ = ?

Analiza zadania

Bobslej będzie poruszał się po torze ruchem jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej. To samo zagadnienie możemy przeanalizować również z punktu widzenia zasady zachowania energii mechanicznej.

Rozwiązanie (kinematyczno‑dynamiczne)

Zgodnie z zależnościami podanymi poprzednio, przyspieszenie bobsleja dane jest wzorem:

a = g (sin α - μ cos α)=

= 9, 81 \frac{m}{s^{2}} \cdot (sin 12 ° - 0, 07 \cdot cos 12 °) \approx 1, 37 \frac{m}{s^{2}} .

Ruch zachodzi bez prędkości początkowej, możemy zatem zapisać wyrażenia wiążące drogę przebytą przez bobslej ( $s / 2$ ) i jego prędkość ( $v$ ) z czasem jego ruchu do połowy długości toru $t_{1 / 2}$ :

\frac{s}{2} = \frac{1}{2} a t_{1 / 2}^{2},

v = a t_{1 / 2} .

Mamy dwie niewiadome: drogę i czas. Wyznaczmy z drugiego równania czas i podstawmy wynik do pierwszego równania:

t_{1 / 2} = \frac{v}{a} \to \frac{s}{2} = \frac{1}{2} a {(\frac{v}{a})}^{2} = \frac{v^{2}}{2 a},

s = \frac{v^{2}}{a} = \frac{(6 m / s)^{2}}{1, 37 \frac{m}{s^{2}}} \approx 26, 3 m .

Rozwiązanie (z zasady zachowania energii)

Na szczycie zbocza bobslej posiadał pewną energię potencjalną $E_{p 0}$ . W trakcie ruchu po zboczu przekształca się ona w energię kinetyczną $E_{k}$ oraz na ciepło i dźwięk, na skutek działania siły tarcia, która wykonuje pracę $W_{T}$ . Wykorzystajmy zasadę zachowania energii mechanicznej i porównajmy energię na górze toru i w jego połowie. Założymy, że wysokość toru jest równa $h$ . Oznacza to, że długość zbocza $s = \frac{h}{sin α}$ .

m g h = \frac{m v^{2}}{2} + m g \frac{h}{2} + W_{T} .

Człony po prawej stronie równania opisują odpowiednio energię kinetyczną, potencjalną i pracę sił tarcia. Aby wyznaczyć wartość pracy, zauważmy, że siła tarcia działa równolegle do przemieszczenia, dzięki czemu możemy zapisać:

W_{T} = T \frac{s}{2} = μ m g cos α \cdot \frac{s}{2} = μ m g cos α \cdot \frac{h}{2 sin α} = μ m g \frac{h}{2} ctg α .

Łącząc ze sobą i upraszczając otrzymane wyrażenia, otrzymujemy wzór:

g \frac{h}{2} (1 - μ ctg α) = \frac{v^{2}}{2},

\begin{matrix} h = \frac{v^{2}}{g (1 - μ ctg α)} \to s = \frac{v^{2}}{g \cdot sin α \cdot (1 - μ ctg α)} = \\ = \frac{(6 m / s)^{2}}{9, 81 \frac{m}{s^{2}} \cdot sin 12 ° - (1 - 0, 07 \cdot ctg 12 °)} \approx 26, 3 m \end{matrix}

Wykorzystując inną metodę rozwiązania, uzyskujemy dokładnie taki sam wynik. Widzimy, że w tym przypadku wykorzystanie zasady zachowania energii mechanicznej wymaga od nas podobnego nakładu pracy, co wykorzystanie równań kinematyki i dynamiki. Zwykle jednak, rozwiązanie przy wykorzystaniu energii jest szybsze i prostsze. Przeanalizujmy kolejny przykład.

Przykład 2

Łyżwiarz

W parku sportów zimowych znajduje się następująca atrakcja: dwie równie pochyłe złączone ze sobą w sposób przedstawiony na Rys. 3. Obie równie są identyczne: mają wysokość $h$ = 4 m oraz kąt nachylenia $α$ = 9°. Na pierwszą równię wjeżdża łyżwiarz, poruszający się z prędkością początkową $v_{0}$ = 11 m/s. Jaką prędkość uzyska łyżwiarz tuż po zjechaniu z drugiej równi? Współczynnik tarcia łyżew o równię wynosi $μ$ = 0,06. Przyjmij, że przy przejeżdżaniu z jednej równi na drugą prędkość łyżwiarza nie ulega zmianie.

R16gfXPqGkLhN

Rys. 3. Rysunek przedstawia dwie jednakowe równie pochyłe. Każda z równi ma kształt trójkąta prostokątnego, którego jedna z przyprostokątnych jest długa i ułożona poziomo. Druga, pionowa przyprostokątna jest znacznie krótsza. Oba trójkąty stykają się krótszymi przyprostokątnymi tak, że lewa równia nachylona jest w lewo i w dół, a prawa równia nachylona jest w prawo i w dół. — Rys. 3. Układ dwóch równi
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Dane	Szukane
kąt nachylenia równi: $α$ = 9°, wysokość równi $h$ = 4 m, prędkość początkowa: $v_{0}$ = 11 m/s, współczynnik tarcia: $μ$ = 0,06, przyspieszenie ziemskie: $g$ = 9,81 m/sIndeks górny 2.	prędkość łyżwiarza po zjechaniu z drugiej równi $v$ = ?

Analiza zadania

Ruch łyżwiarza możemy podzielić na dwa etapy. W pierwszym, porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym z prędkością początkową w górę jednej równi, a następnie ruchem jednostajnie przyspieszonym w dół drugiej równi. Aby przeanalizować drugi etap ruchu, musimy wyznaczyć prędkość łyżwiarza na górze równi. Zagadnienie to możemy rozwiązać także poprzez wykorzystanie zasady zachowania energii.

Rozwiązanie (kinematyczno‑dynamiczne)

W pierwszym etapie, zarówno siła zsuwająca jak i siła tarcia działają w dół równi. Wartość opóźnienia łyżwiarza wynosi zatem:

a_{1} = g (sin α - μ cos α) =

= 9, 81 \frac{m}{s^{2}} \cdot (sin 9 ° - 0, 06 \cdot cos 6 °) \approx 2, 12 \frac{m}{s^{2}} .

Aby dojechać na szczyt równi, przebywa on drogę $s = \frac{h}{sin α}$ . Zapiszmy zależności wiążące drogę do szczytu i prędkość w tym punkcie ( $v_{w}$ ) z czasem wjeżdżania na górę $t_{w}$ :

s = v_{0} t_{w} - \frac{1}{2} a_{1} t_{w}^{2},

v_{w} = v_{0} - a_{1} t_{w} .

Wyznaczmy z drugiego równania czas i podstawmy do pierwszego równania. Po uproszczeniu wyrażeń otrzymujemy:

s = \frac{v_{0}^{2} - v_{w}^{2}}{2 a_{1}} \to

v_{w} = \sqrt{v_{0}^{2} - 2 a_{1} s} = \sqrt{v_{0}^{2} - \frac{2 a_{1} h}{sin α}} =

= \sqrt{11 \frac{m}{s^{2}} - \frac{2 \cdot 2, 12 \frac{m}{s^{2}} \cdot 4 m}{sin 9 °}} \approx 3, 55 \frac{m}{s} .

Łyżwiarz rozpoczyna teraz ruch jednostajnie przyspieszony w dół z prędkością początkową $v_{w}$ . Wartości sił działających nie ciało nie uległy zmianie, lecz zmieniły się kierunki ich działania. Siła zsuwająca jest nadal skierowana w dół równi, lecz siła tarcia jako działająca przeciwnie do ruchu – w górę. Wartość przyspieszenia łyżwiarza wynosi zatem:

a_{2} = g (sin α - μ cos α) = 9, 81 \frac{m}{s^{2}} \cdot (sin 9 ° - 0, 06 \cdot cos 9 °) \approx 0, 95 \frac{m}{s^{2}} .

Zapiszmy ponownie równania wiążące drogę $s$ przebytą wzdłuż równi w dół oraz prędkość $v$ na dole równi z czasem zjazdu w dół $t_{z}$ :

s = v_{w} t_{z} + \frac{1}{2} a_{2} t_{z}^{2},

v = v_{w} + a_{2} t_{z} .

Ponownie wyznaczając z drugiego równania czas, podstawiając do pierwszego równania i dokonując uproszczeń, otrzymamy:

s = \frac{v^{2} - v_{w}^{2}}{2 a_{2}} \to

v = \sqrt{2 a_{2} s + v_{w}^{2}} = \sqrt{\frac{2 a_{2} h}{sin α} + v_{w}^{2}} =

= \sqrt{\frac{2 \cdot 0, 95 \frac{m}{s^{2}} \cdot 4 m}{sin 9 °} + {(3, 55 \frac{m}{s})}^{2}} \approx 7, 82 \frac{m}{s} .

Rozwiązanie (z zasady zachowania energii)

Zauważmy, że gdyby nie występowało tarcie, początkowa energia kinetyczna łyżwiarza byłaby równa jego końcowej energii kinetycznej. Zatem, po przejechaniu obydwu równi, łyżwiarz nadal poruszałby się z prędkością 11 m/s. Aby obliczyć końcową energię kinetyczną (i prędkość) w ruchu z tarciem, od wartości początkowej energii kinetycznej należy odjąć wartość pracy wykonanej przez siły tarcia.

Siła tarcia działa na drodze $2 s = \frac{2 h}{sin α}$ . Ponieważ równie mają te same kąty nachylenia, wartości siły nacisku na podłoże (i siły tarcia) są identyczne w obydwu etapach i wynoszą $T = μ m g cos α$ . Łączna praca siły tarcia wynosi zatem:

W = 2 μ m g \frac{h}{sin α} cos α = 2 μ m g h ctg α .

Porównajmy teraz energię mechaniczną na początku i na końcu ruchu:

\frac{m v_{0}^{2}}{2} = \frac{m v^{2}}{2} + 2 μ m g h ctg α,

v = \sqrt{v_{0}^{2} - 4 μ g ctg α},

v = \sqrt{11 \frac{m}{s^{2}} - 4 \cdot 0, 06 \cdot 9, 81 \frac{m}{s^{2}} \cdot 4 m \cdot ctg 9 °} \approx 7, 84 \frac{m}{s}

Komentarz

Jak widzisz, uzyskane wyniki nieco różnią się od siebie. Czy to oznacza, że popełniliśmy błąd i nie możemy wykorzystywać zasady zachowania energii? Na szczęście nie. Zasada zachowania energii jest uniwersalna i możemy ją stosować w dowolnym zagadnieniu.

Niewielkie różnice w uzyskanym wyniku związane są z wykorzystanymi przybliżeniami. Zwróć uwagę, że w pierwszym sposobie rozwiązania obliczaliśmy ,,po drodze’’ wartości pomocniczych wyrażeń przyspieszenia i prędkości na szczycie równi, które zaokrąglaliśmy. Błąd związany z pierwszym przybliżeniem kumulował się w kolejnych obliczeniach, gdzie przecież również wprowadzaliśmy przybliżenia. W drugim przypadku otrzymaliśmy wynik praktycznie bezpośrednio, co wprowadziło mniejszy błąd. Wynik uzyskany przy wykorzystaniu zasady zachowania energii jest zatem bliższy wartości dokładnej.

Możemy w ogólności powiedzieć, że aby uzyskać wynik możliwie bliski dokładnej wartości, powinniśmy, w miarę możliwości, nie obliczać wartości wyrażeń pomocniczych, lecz postarać się uzyskać ostateczne wyrażenie opisujące poszukiwaną przez nas wielkość fizyczną i dopiero wtedy podstawić dane i obliczyć wartość tego wyrażenia. W przypadku tego zadania, wiązałoby się to z wyznaczeniem wzoru opisującego $v_{w}$ , a następnie wstawienia tego wzoru do wyrażenia opisującego $v$ . Do wspomnianych równań powinniśmy także wstawić wyrażenia opisujące przyspieszenia, bez obliczania jego wartości. Spróbuj przeprowadzić samodzielnie takie obliczenia i sprawdź, czy otrzymany wzór uprości się do relacji, którą otrzymaliśmy przy pomocy zasady zachowania energii.

Słowniczek

Bobslej

(ang. bobsleigh) jedna z dyscyplin olimpijskich, w której zawodnicy poruszają się w saniach wyścigowych. Sanie bobslejowe są zbudowane z metalu bądź tworzywa i przystosowane są do rozwijania dużych prędkości (rzędu 130 km/h i więcej).

Górka rozrządowa

(ang. hump) niewielkie, sztuczne wzniesienie, w obszarze towarowej stacji kolejowej. Umożliwia przeprowadzenie rozrządu, czyli segregowania wagonów kolejowych pod kątem umieszczenia ich przy różnych pociągach.

Wprowadzenie

Film samouczek

Warto przeczytać

Słowniczek