Przeczytaj
Powiemy, że wektory i są równe, gdy mają ten sam kierunek, równe długości i zgodne zwroty, co zapisujemy:
Przyjmujemy ponadto, że każde dwa wektory zerowe są równe.
Wektory równeWektory równe mogą mieć różne początki. Mając dany wektor, możemy w każdym punkcie zaczepić wektor mu równy.
W równoległoboku wektorami równymi są wektory: , ale .
Rozważmy sześciokąt foremny . Punkt przecięcia dłuższych przekątnych sześciokąta oznaczmy literą . Z własności sześciokąta foremnego wynika, że odcinki i są równoległe. Tę samą własność mają odcinki i . Równoległe są również odcinki i . Ponadto wiadomo, że każdy z trójkątów i jest równoboczny i przystający do pozostałych.
Wówczas:
, ponieważ wektory mają różne długości, pomimo że mają ten sam kierunek i taki sam zwrot,
, ponieważ wektory mają przeciwne zwroty, pomimo że mają ten sam kierunek i tę samą długość,
, ponieważ wektory mają różne kierunki, pomimo że mają tę samą długość.
Dany jest trójkąt . Niech będzie środkiem boku , przez oznaczmy środek boku , zaś środek boku nazwijmy . Uzasadnimy, że .
Uzasadnienie: zauważmy, że odcinek jest linią środkową trójkątalinią środkową trójkąta (łączy środki boków i trójkąta ). Z twierdzenia o linii środkowej trójkąta wiemy, że jest ona równoległa do trzeciego boku trójkąta i jej długość jest połową długości trzeciego boku. Ponieważ jest środkiem boku , więc długość odcinka jest również równa połowie długości boku . Wynika stąd, że wektory i są zawarte w równoległych odcinkach, więc mają ten sam kierunek wektorakierunek wektora, a długość każdego z nich jest równa połowie długości boku . Z uporządkowania punktów i oraz i widzimy, że zwroty wektorów i również są takie same. Zatem wektory i są równe. Ponadto możemy zauważyć, że .
Uzasadnimy równość odpowiednich wektorów z poniższego rysunku. Za jednostkę przyjmijmy jedną kratkę.
Zauważmy, że aby przemieścić się z punktu do punktu wystarczy przesunąć się o jedną jednostkę w prawo i trzy jednostki do góry. Dokładnie taki sam ruch pozwala przemieścić się z punktu do punktu . Oznacza to, że wektory i są równoległe (mają to samo nachylenie do poziomych linii siatki) i mają równe długości (wynika to np. z twierdzenia Pitagorasa lub przystawania odpowiednich trójkątów prostokątnych). Kierunki ruchu od punktów początkowych do końcowych wskazują też, że te wektory mają takie same zwroty. Zatem wektory i są równe.
Zwróćmy uwagę, że aby dostać się z punktu do punktu możemy wykonać przesunięcie o trzy jednostki w prawo i sześć jednostek w dół. Dokładnie taka sama sekwencja ruchów pozwala przemieścić się z punktu do punktu . Argumenty analogiczne jak w poprzednim przypadku pozwalają stwierdzić, że wektory i są równe.
Możemy też zauważyć, że wektory i nie są równe. Mimo, że mają ten sam kierunek, a nawet długość wektoradługość wektora, to ich zwroty są przeciwne.
Romb składa się z dwóch trójkątów przystających do trójkąta równobocznego . Porównamy wektory w obu wielokątach.
Zauważmy, że następujące wektory są równe:
,
,
,
a także
.
Wektor nie ma swojego odpowiednika wśród wektorów o końcach będących wierzchołkami rozważanych wielokątów.
Słownik
wektory, które mają ten sam kierunek, zwrot i równą długość
prosta, na której leżą początek i koniec niezerowego wektora
odległość początku wektora od jego końca
odcinek łączący punkty będące środkami dwóch boków trójkąta