Podstawowe pojęcia

Niech dany będzie trójkąt prostokątny taki, jak na rysunku.

RF13UVbQWvvLm

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o bokach a,b,c. W trójkącie zaznaczone są dwa kąty: kąt prosty między podstawą b a przyprostokątną a oraz kąt alfa między podstawą b a przeciwprostokątną c.

W trójkącie prostokątnym określone są pewne związki między bokami, a kątami, zwane funkcjami trygonometrycznymi. Podajmy ich definicje.

SinussinusSinus kąta ostrego $\alpha$ w trójkącie prostokątnym jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej.

$\sin \alpha =\frac{a}{c}$

CosinuscosinusCosinus kąta ostrego $\alpha$ w trójkącie prostokątnym jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej.

$tg\alpha =\frac{a}{b}$

Zauważmy, że zarówno sinus, jak i cosinus wyrażają stosunek jednej z przyprostokątnych do przeciwprostokątnej.

TangenstangensTangens kąta ostrego $\alpha$ w trójkącie przyprostokątnym jest stosunkiem długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości drugiej z przyprostokątnych.

Tangens, podobnie podobnie jak sinus, jest wyrażony za pomocą ułamka, którego licznikiem jest długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw danego kąta ostrego.

$tg\alpha =\frac{a}{b}$

CotangenscotangensCotangens kąta ostrego $\alpha$w trójkącie przyprostokątnym jest stosunkiem długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta.

$ctg\alpha =\frac{b}{a}$

Przedrostek ko– (co–), jaki pojawia się w nazwach cosinus i cotangens jest stosowany w języku polskim w opisie czynności oraz zjawisk wykonywanych wspólnie.

Cosinus i cotangens są wyrażone za pomocą ułamka, którego licznikiem jest długość przyprostokątnej leżącej przy danym kącie ostrym.

Z przedstawionych wyżej zależności można wywnioskować kilka podstawowych tożsamości. Po pierwsze, dzieląc sinus przez cosinus otrzymamy tangens.

$tg\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

Z kolei cotangens to cosinus przez sinus.

$ctg\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$

Widzimy, że tangens i cotangens to liczby wzajemnie odwrotne.

$tg\alpha =\frac{1}{ctg\alpha }$

$ctg\alpha =\frac{1}{tg\alpha }$

Zwróćmy teraz uwagę na podstawową tożsamość trygonometryczną, z którą często będziemy spotkać się w różnych działach matematyki. Ta tożsamość zwana jest „jedynką trygonometryczną”.

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

Wyprowadzenie podanego wzoru jest proste, jeśli na rysunku poniżej zauważymy pewne prawidłowości, które już znamy.

RjbroXYEQW2c6

Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych z poziomą osią X od zera do b oraz z pionową osią Y od zera do a. Zaznaczono punkt o współrzędnych nawias a przecinek b zamknięcie nawiasu. Punkt zrzutowano na obie osie. Wykreślono odcinek r będący odległością punktu od początku układu współrzędnych. Odcinek r jest nachylony pod kątem ostrym alfa do poziomej osi.

Na początek przyjmiemy założenie, że $a, b>0$, a co za tym idzie $r>0$. Zauważmy teraz, że trójkąt na rysunku jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych równych $a$ i $b$ oraz przeciwprostokątnej równej $r$. Na mocy twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać: $a^2+b^2=r^2$.

Jednocześnie możemy skorzystać z definicji funkcji sinus: $\sin \alpha =\frac{a}{r}\Rightarrow a=r\sin \alpha$.

Analogicznie $\cos \alpha =\frac{b}{r}\Rightarrow b=r\cos \alpha$.
Tak wyznaczone zależności podstawimy teraz do wzoru wynikającego z twierdzenia Pitagorasa:

${\left(r\sin \alpha \right)}^2+{\left(r\cos \alpha \right)}^2=r^2$

$r^2{\sin }^2\alpha +r^2{\cos }^2\alpha =r^2$

Dzieląc obie strony przez $r^2$ (pamiętamy o początkowym założeniu, że $r>0$).

Mamy: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, co należało wykazać.

Słownik