Przeczytaj
Podstawowe pojęcia
Niech dany będzie trójkąt prostokątny taki, jak na rysunku.
W trójkącie prostokątnym określone są pewne związki między bokami, a kątami, zwane funkcjami trygonometrycznymi. Podajmy ich definicje.
SinusSinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej.
CosinusCosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej.
Zauważmy, że zarówno sinus, jak i cosinus wyrażają stosunek jednej z przyprostokątnych do przeciwprostokątnej.
TangensTangens kąta ostrego w trójkącie przyprostokątnym jest stosunkiem długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości drugiej z przyprostokątnych.
Tangens, podobnie podobnie jak sinus, jest wyrażony za pomocą ułamka, którego licznikiem jest długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw danego kąta ostrego.
CotangensCotangens kąta ostrego w trójkącie przyprostokątnym jest stosunkiem długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta.
Przedrostek ko– (co–), jaki pojawia się w nazwach cosinus i cotangens jest stosowany w języku polskim w opisie czynności oraz zjawisk wykonywanych wspólnie.
Cosinus i cotangens są wyrażone za pomocą ułamka, którego licznikiem jest długość przyprostokątnej leżącej przy danym kącie ostrym.
Z przedstawionych wyżej zależności można wywnioskować kilka podstawowych tożsamości. Po pierwsze, dzieląc sinus przez cosinus otrzymamy tangens.
Z kolei cotangens to cosinus przez sinus.
Widzimy, że tangens i cotangens to liczby wzajemnie odwrotne.
Zwróćmy teraz uwagę na podstawową tożsamość trygonometryczną, z którą często będziemy spotkać się w różnych działach matematyki. Ta tożsamość zwana jest „jedynką trygonometryczną”.
Wyprowadzenie podanego wzoru jest proste, jeśli na rysunku poniżej zauważymy pewne prawidłowości, które już znamy.
Na początek przyjmiemy założenie, że , a co za tym idzie . Zauważmy teraz, że trójkąt na rysunku jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych równych i oraz przeciwprostokątnej równej . Na mocy twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać: .
Jednocześnie możemy skorzystać z definicji funkcji sinus: .
Analogicznie .
Tak wyznaczone zależności podstawimy teraz do wzoru wynikającego z twierdzenia Pitagorasa:
Dzieląc obie strony przez (pamiętamy o początkowym założeniu, że ).
Mamy: , co należało wykazać.
Słownik
sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej
cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej
tangens kąta ostrego w trójkącie przyprostokątnym jest stosunkiem długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości drugiej z przyprostokątnych
cotangens kąta ostrego w trójkącie przyprostokątnym jest stosunkiem długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta