Warto przeczytać

Przeglądając w archiwach notatki fizyków sprzed wielu lat, możemy zauważyć, że wykonywali oni obliczenia pisemnie. Na przestrzeni wieków próbowano także posługiwać się urządzeniami ułatwiającymi wykonywanie rachunków. Były to między innymi palce u rąk i nóg (Rys. 1.).

R1SaKTbJabFey

Rys. 1. Ilustracja przedstawia trzy zdjęcia. Pierwsze zdjęcie (z lewej strony) przedstawia prawą dłoń z kciukiem, zdjęcie środkowe przedstawia dłoń ze wskazującym palcem i kciukiem, a zdjęcie po prawej stronie przedstawia dłoń z trzecim, drugim palcem (wskazującym) i kciukiem.

Gdy nie starczało palców, nasi przodkowie wykorzystywali drobne przedmioty ułatwiające im obliczenia, na przykład kamyczki (Rys. 2.), supełki zawiązywane na sznurku czy inne dostępne w ich otoczeniu drobne przedmioty.

R2oXe3OBpUaBA

Rys. 2. Rysunek przedstawia siedem kamieni o różnych kształtach i kolorach.

Starożytni Grecy poszli jednak dalej i stworzyli pierwowzór liczydłaliczydłoliczydła, czyli abakus (Rys. 3.), będący po prostu deską z wyżłobionymi rowkami symbolizującymi kolejne potęgi liczby dziesięć.

RJEeaFDKwanCJ

Rys. 3. Rysunek przedstawia abakus rzymski czyli starożytne liczydło wykonany z brązu. Na tabliczce z brązu znajduje się w jej dolnej części osiem dłuższych pionowych rowków równoległych do siebie i ułożonych obok siebie. Nad nimi znajduje się odpowiadających im osiem krótszych pionowych rowków. Kolejne rowki w poziomie odpowiadają kolejnym potęgom dziesiątki. Dolne rowki to liczby dodatnie a górne ujemne. Czyli jeśli ustawimy trzy kamyki na pierwszym dolnym rowku to otrzymamy liczbę trzy a jeśli ustawimy ją na górnym to otrzymamy minus trzy. Jeśli ustawimy te same trzy kamienie na dolnym trzecim rowku to otrzymamy trzysta. Liczbę dziewięć można uzyskać na przykład wstawiając jeden kamyk do pierwszego górnego rowka a drugi do drugiego dolnego. Jeśli chcemy dodać dwie liczby to wstawiamy pierwszą z nich a potem dokładamy kamyki od drugiej. Jeżeli w dolnych i górnych rzędach odpowiadających sobie są wtedy jednocześnie kamyki to ta ilość ich, która się powtarza jest zdejmowana z planszy. Na przykład liczba jeden może być zapisana w postaci jednego kamyka w pierwszym dolnym rowku ale może być zapisana w postaci dwóch kamyków w dolnym rowku i jednego w górnym. W celu umożliwienia dalszych obliczeń po prostu usuwamy po jednym kamyku z góry i z dołu doprowadzając do prostszej wersji pierwszej. Odejmowanie liczb osiągano przez dodawanie liczby ujemnej. Na tym liczydle widać też trzy dodatkowe rowki służące do zapisu ułamków.

Pierwszy mechaniczny kalkulatorkalkulatorkalkulator został zaś stworzony przez Leonarda da Vinci około 1500 roku (Rys. 4.). Nie był to jednak wynalazek powszechnie dostępny.

R1Ec04TaMrjef

Rys. 4. Rysunek przedstawia wykonany z metalu mechaniczny kalkulator wykonany według projektu Leonarda da Vinci. Składa się on z wielu, współpracujących ze sobą połączonych ze sobą, za pomocą obudowy, kół zębatych.

Pomimo wcześniejszych projektów, mnożenie dużych liczb nadal stanowiło problem, z pomocą przyszedł więc w XVI wieku John Napier, którego pałeczki (Rys. 5.) umożliwiły wykonywanie mnożenia liczb wielocyfrowych.

RiYDPjhBs7Bzc

Rys. 5. Rysunek przedstawia zdjęcie pałeczek Napiera. Wyglądają one jak białe długie prostokąty wycięte z grubego papieru, na którym znajdują się pola z liczbami poprzedzielane czarnymi kreskami. Po ułożeniu ich odpowiednio obok siebie można było za ich pomocą dokonywać obliczeń. Na zdjęciu widać też dość zniszczone pudełko w którym znajduje się większość z tych pałeczek.

Na przestrzeni lat próbowano udoskonalać te systemy, tworzono maszyny różnicowe i pierwowzory kalkulatorów, jednak urządzenia te nie były powszechnie dostępne. Kolejnym kamieniem milowym okazał się jednak suwak logarytmicznysuwak logarytmicznysuwak logarytmiczny (Rys. 6.) wynaleziony w 1632 roku przez angielskiego matematyka Williama Oughtreda. Umożliwia on między innymi mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie, jak również spełnia rolę tablic trygonometrycznych. Czasami wyposażony jest także w dodatkowe skale pozwalające na przykład na wyznaczenie pola powierzchni koła.

RFRlTk1jtzRhi

Rys. 6. Na rysunku widać zdjęcie wykonanego z białego plastiku suwaka logarytmicznego. Urządzenie to składa się dużego długiego prostokąta, w którym wyżłobiono podłużny rowek, stanowiącego obudowę suwaka. W rowek ten wsuwa się kolejny plastikowy prostokąt stanowiący suwak. Zarówno na suwaku jak i jego obudowie znajdują się liczby. Odpowiednie ustawienie suwaka względem obudowy pozwala wykonywać działania na logarytmach. Poniżej na zdjęciu znajduje się czarny futerał do przechowywania suwaka logarytmicznego.

Później zaczęły pojawiać się pierwsze powszechnie dostępne kalkulatory (Rys. 7.) – urządzenia początkowo na prąd, później na baterie. Ułatwiły one znacznie funkcjonowanie osobom wykonującym na co dzień wiele skomplikowanych obliczeń.

RXalIYrpjNpco

Rys. 7. Zdjęcie poglądowe przedstawia kalkulator naukowy z różnymi funkcjami. Kalkulator naukowy umożliwia wykonywanie zarówno podstawowych, jak i bardziej skomplikowanych operacji matematycznych, takich jak np. potęgowanie, pierwiastkowanie, silnia, wartość bezwzględna. Niezbędny wszystkim, dla których matematyka w bardziej zaawansowanej formie stanowi nieodłączny element nauki czy pracy.

Kalkulatory, zwłaszcza te naukowe, posiadają wiele funkcji ułatwiających pracę fizykom. Przyjrzyjmy się im pokrótce. Po pierwsze są to klawisze pamięci: „M+”, „M-”, „MRC” / „MR”, „MC”.

Klawisze z literą „M” pozwalają korzystać z wbudowanej pamięci kalkulatora:

M+ dodaje liczbę z wyświetlacza do pamięci kalkulatora,

M- odejmuje od liczby zapisanej w pamięci kalkulatora liczbę z wyświetlacza,

MR lub MCR wyświetla liczbę, która jest zapisana w pamięci kalkulatora,

MC pozwala wykasować zawartość pamięci (jeśli takiego klawisza nie ma na naszym kalkulatorze – do czyszczenia pamięci używany jest wówczas ten sam przycisk, co do wyświetlania – MCR).

Dostępne nam kalkulatory – zainstalowane w każdym smartfonie czy komputerze – oprócz funkcji pamięci – pozwalają w szybki i prosty sposób obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych (oraz funkcji odwrotnych do nich), a także podać wartości logarytmów czy innych działań powszechnych w fizyce.

Jeśli chodzi o funkcje trygonometryczne, to kiedyś ich wartości odczytywano z tablic trygonometrycznych. Później używano suwaków logarytmicznych, a dziś wystarczy wziąć kalkulator i wybrać odpowiedni przycisk. Funkcje te wykorzystujemy bardzo często. Jakie masz skojarzenia? Jakie prawa przychodzą ci do głowy, w których potrzebne są wartości funkcji trygonometrycznych? Na przykład prawo Snelliusa, wzór na maksima dyfrakcyjne w siatce dyfrakcyjnej, czy obliczanie momentu siły? W tych wzorach występuje funkcja sinus. W przypadku obliczania wartości pracy czy strumienia indukcji pola magnetycznego – funkcja cosinus. Jednak to tylko kilka przykładów – funkcje trygonometryczne spotykamy niemalże we wszystkich działach fizyki, bardzo często rozkładamy wielkości wektorowe na składowe (Rys. 8.). Podobnie, gdy chcemy wyznaczyć kąty – korzystamy wówczas z funkcji odwrotnych, takich jak arcus sinus czy arcus cosinus. Kalkulator okazuje się tutaj niezwykle pomocny i pozwala oszczędzić czas oraz rozwiązać zadanie, gdy w zasięgu ręki nie mamy tablic trygonometrycznych.

R1JZ9KEpZP5TG

Rys. 8. Ilustracja pokazuje, jak obliczano trajektorię toru pocisku wystrzelonego z procy w grze komputerowej. Na kolorowym obrazku, pełnym zabawnych stworków, widać z lewej strony na dole procę. Tam zaczyna się linia w kształcie paraboli, która biegnie początkowo w górę i w prawo i po osiągnięciu najwyższego punktu opada w dół i w prawo. Na paraboli zaznaczono kilka punktów, przy których znajdują się wzory zawierające funkcje sinus, za pomocą których obliczano parametry ruchu pocisku.

Inne ważne funkcje, które możemy łatwo obliczyć z pomocą kalkulatora, to logarytmy. Stosuje się je przede wszystkim opisując rozpad promieniotwórczy oraz drgania tłumione. Tutaj znowu kalkulator jest w stanie zastąpić obszerne tablice.

To tylko kilka przykładów, które ukazują nam, do czego fizycy wykorzystują kalkulatory i programy liczące. Są one niezwykle pomocne, pozwalają w sposób sprawny wyznaczyć szukane wielkości. Oczywiście, działania te można wykonać również za pomocą kartki i długopisu lub odczytać wartości z odpowiednich tablic, jednak - w dobie elektroniki – kalkulatory wydają się być wygodniejszym rozwiązaniem.

Słowniczek