Warto przeczytać

Stan gazu doskonałego opisuje jedno równanie zwane równaniem stanu gazu lub równaniem Clapeyrona:

gdzie $p$ to ciśnienie gazu, $V$ - jego objętość, $T$ - temperatura w skali bezwzględnej, $n$ - liczba moli gazu, a $R = 8,31\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ nazywamy stałą gazową. Liczbę moli to iloraz masy gazu $m$ i masy molowej $M$:

Jeśli dana jest masa gazu, równanie Clapeyrona przybiera postać:

Z równania Clapeyrona możemy wyprowadzić prawa rządzące przemianami, w których jeden z parametrów gazu jest stały. We wszystkich przypadkach będziemy zakładać, że nie zmienia się ilość gazu.

W przemianie izotermicznej temperatura jest stała. Wobec tego

czyli otrzymujemy prawo Boyle’a‑Mariotte’a, które mówi, że ciśnienie i objętość są do siebie odwrotnie proporcjonalne:

Wykresem zależności ciśnienia od objętości w przemianie izotermicznej jest więc hiperbola (Rys. 1.).

R1eDLIwyRGUtk

Rys. 1. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono objętość gazu oznaczoną wielką literą V. Na osi pionowej odłożono ciśnienie gazu oznaczone literą p. Wykres ma kształt hiperboli biegnącej od góry w dół i w prawo.

W przemianie izobarycznej stałe jest ciśnienie. Przekształcając równanie Clapeyrona, otrzymujemy:

czyli prawo Gay‑Lussaca mówiące, że objętość jest wprost proporcjonalna do temperatury w skali bezwzględnej. Wykres zależności objętości od temperatury to linia prosta, której przedłużenie przechodzi przez punkt przecięcia osi (Rys. 2.).

R1YRNTUW78wfp

Rys. 2. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono temperaturę gazu w skali bezwzględnej oznaczoną wielką literą T. Na osi pionowej odłożono objętość gazu oznaczoną wielką literą V. Wykres ma kształt odcinka, nachylonego do osi poziomej pod kątem ostrym. Przedłużenie tego odcinka, narysowane przerywana linią, trafia w początek układu współrzędnych.

W przemianie izochorycznej stała jest objętość gazu. Z równania Clapeyrona otrzymujemy zatem

Ciśnienie jest tu więc wprost proporcjonalne do temperatury w skali bezwzględnej; jest to treść prawa Charles’a. Wykresem zależności ciśnienia od temperatury w skali bezwzględnej w przemianie izochorycznej jest linia prosta (Rys. 3.).

R13XerzlPeCNT

Rys. 3. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono temperaturę gazu w skali bezwzględnej oznaczoną wielką literą T. Na osi pionowej odłożono ciśnienie gazu i oznaczono literą p. Wykres ma kształt odcinka, nachylonego do osi poziomej pod kątem ostrym. Przedłużenie tego odcinka, narysowane przerywaną linią, trafia w początek układu współrzędnych,

Jak widać, z równania Clapeyrona można w prosty sposób otrzymać równania opisujące przemiany, w których masa gazu oraz jeden z parametrów stanu jest stały. Jednak znajomość równań nie wystarczy, by zrozumieć dane zjawisko. Dobrze wiesz, że zapomniane równanie można bardzo szybko znaleźć w Internecie. Jednak bez zrozumienia znaczenia tego równania nie na wiele się ono przyda. Przeanalizujmy więc przyczyny zmian parametrów w poszczególnych przemianach.

Zacznijmy od przypomnienia, czym jest temperatura i ciśnienie gazu.

Temperatura jest miarą średniej energii kinetycznej cząsteczek. Wzrost temperatury oznacza, że cząsteczki poruszają się coraz szybciej i zwiększa się przy tym energia wewnętrzna, która jest sumą energii kinetycznych i potencjalnych wszystkich cząsteczek układu.

Ciśnienie to średnia siła, jaką działają cząsteczki gazu podczas zderzeń ze ściankami naczynia, podzielona przez powierzchnię tych ścianek.

Aby poddać gaz przemianie izotermicznej, należy przy stałej temperaturze zmienić objętość gazu, na przykład sprężać gaz, przesuwając tłok w dół (Rys. 4a.). Siła popychająca tłok wykonuje pracę, przekazując energię cząsteczkom gazu. Tyle samo energii gaz musi oddawać otoczeniu w postaci ciepła, aby energia wewnętrznaEnergia wewnętrznaenergia wewnętrzna gazu (a zatem i temperatura) pozostała niezmieniona.

Re9vjGvpawC53

Rys. 4. Na rysunku znajduje się cylindryczne naczynie z tłokiem. Do tłoka przyłożony jest wektor siły zewnętrznej skierowany pionowo w dół. Siła oznaczona jest wielką literą F z indeksem dolnym zet oraz ze strzałką nad nią. Poniżej tłoka zaznaczono przerywaną linią położenie tłoka po zakończeniu sprężenia gazu. W dolnej części naczynia, z lewej strony, znajduje się szeroka strzałka skierowana do wewnątrz naczynia. Na tle strzałki zapisano wielką literę W, która symbolizuje pracę przekazaną do układu. Z prawej strony znajduje się szeroka strzałka skierowana na zewnątrz naczynia. Na tle strzałki zapisano wielką literę Q, która symbolizuje ciepło oddane przez układ.

Jak wyjaśnić zwiększanie się ciśnienia, gdy maleje objętość gazu? Podczas sprężania cząsteczki uderzają w ścianki średnio z taką samą siłą, bo średnia energia kinetyczna cząsteczek nie zmienia się. Zmniejsza się jednak pole powierzchni ścianek. Na jednostkę powierzchni ścianek przypada więc coraz więcej uderzeń cząsteczek w miarę sprężania gazu i dlatego ciśnienie rośnie.

Z przemianą izochoryczną mamy do czynienia, gdy gaz zamknięty jest w naczyniu o stałej objętości. Praca w tej przemianie równa jest zeru. Aby zrealizować przemianę izochoryczną, należy zmienić temperaturę gazu, na przykład go podgrzać.

R1EmivEPepdrr

Rys. 4b. Na rysunku znajduje się cylindryczne naczynie z tłokiem. Do tłoka przyłożony jest wektor siły zewnętrznej skierowany pionowo w dół. Siła oznaczona jest wielką literą F z indeksem dolnym zet oraz ze strzałką nad nią. Obok naczynia zapisano dwa równania: objętość wielkie V równa się constans oraz praca wielkie W równa się zero. W dolnej części naczynia, z lewej strony, znajduje się szeroka strzałka skierowana do wewnątrz naczynia. Na tle strzałki zapisano wielką literę Q, która symbolizuje ciepło pobrane przez układ.

Dostarczamy wtedy energię cieplną, która w całości zamieniana jest na zwiększanie się energii wewnętrznej gazu, a więc i temperatury. Cząsteczki poruszające się z większą średnią energią kinetyczną uderzają z większą siłą podczas zderzeń ze ściankami, co skutkuje zwiększeniem ciśnienia gazu.

Aby zrealizować przemianę izobaryczną, należy gaz podgrzewać lub oziębiać przy zapewnieniu stałego ciśnienia.

Rv3i9vM0n7t9Y

Rys. 4c. Na rysunku znajduje się cylindryczne naczynie z tłokiem. Powyżej tłoka zaznaczono przerywaną linią położenie tłoka po zakończeniu rozszerzania się gazu. W dolnej części naczynia, z lewej strony, znajduje się szeroka strzałka skierowana do wewnątrz naczynia. Na tle strzałki zapisano wielką literę Q, która symbolizuje ciepło przekazane do układu. Obok naczynia, również po lewej, zapisano równanie: ciśnienie małe p równa się constans. Z prawej strony znajduje się szeroka strzałka skierowana na zewnątrz naczynia. Na tle strzałki zapisano wielką literę W, która symbolizuje pracę wykonaną przez układ.

Może to być na przykład gaz w naczyniu z ruchomą pokrywą (Rys. 4c.) lub powietrze zamknięte w cienkiej rurce kroplą rtęci (tzw. rurka Meldego). Ciśnienie powietrza w rurce będzie zawsze równe sumie ciśnienia atmosferycznego i ciśnienia wywieranego przez słupek rtęci. Energia cieplna przekazana do gazu podczas ogrzewania zamienia się na wzrost energii wewnętrznej gazu, a więc i temperatury, oraz na pracę wykonaną przez gaz podczas rozszerzania się. Podgrzewany gaz rozszerza się, ponieważ cząsteczki poruszające się coraz szybciej wypychają rtęć i zajmują coraz więcej przestrzeni.

W przemianie adiabatycznej, zachodzącej bez wymiany ciepła z otoczeniem, zmieniają się wszystkie trzy parametry stanu: objętość, temperatura i ciśnienie. Rozważmy rozprężanie gazu izolowanego cieplnie od otoczenia. Gaz zwiększający swoją objętość, na przykład przez popychanie tłoka, wykonuje pracę kosztem swojej energii wewnętrznej. Energia wewnętrznaEnergia wewnętrznaEnergia wewnętrzna, a wraz z nią temperatura zmniejsza się. Maleje też ciśnienie. Zmniejszanie się ciśnienia jest szybsze niż podczas rozprężania izotermicznego.

Do spadku ciśnienia przyczyniają się bowiem dwa czynniki:

1. Zmniejsza się liczba cząsteczek uderzających jednostkową powierzchnię ścianek.

2. Zmniejsza się średnia energia kinetyczna cząsteczek, a więc i średnia siła, z jaką oddziałują ze ściankami podczas zderzeń.

Podczas adiabatycznego sprężania gazu praca wykonywana przez siłę zewnętrzną w całości zamieniana jest na wzrost energii wewnętrznej gazu. Zwiększa się wtedy zarówno temperatura, jak i ciśnienie gazu.

W przemianie adiabatycznej ciśnienie zmienia się szybciej wraz ze zmianą objętości niż w przemianie izotermicznej (Rys. 5.).

R1IV2wZPB2T6G

Rys. 5. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono objętość gazu oznaczoną wielką literą V. Na osi pionowej odłożono ciśnienie gazu oznaczone literą p. W układzie współrzędnych narysowano dwa wykresy. Pierwszy wykres ma kształt hiperboli biegnącej od góry w dół w prawo i oznaczony jest opisem temperatura wielkie T równa się constans. Drugi wykres ma również kształt hiperboli, ale bardziej stromej niż wykres pierwszy. Oba wykresy przecinają się mniej więcej w połowie zakresu objętości. Drugi wykres oznaczony jest opisem ciepło wielkie Q równa się zero.

Słowniczek