Warto przeczytać

Jednym z przypadków zderzeń, jakie rozpatrujemy w fizyce, są zderzenia sprężyste. Rozważymy prostszą wersję takiego zderzenia, czyli tak zwane zderzenie centralneZderzenie centralnezderzenie centralne. W zderzeniu tym prędkości przed zderzeniem i po zderzeniu leżą na jednej prostej. Zderzenia takie spełniają zarówno zasadę zachowania pędu, jak i zasadę zachowania energii mechanicznej. Zaniedbujemy w nich oddziaływania pomiędzy ciałami uczestniczącymi w zderzeniu a otoczeniem. W celu zrozumienia tego zjawiska przeanalizujemy przykład, w którym dochodzi do zderzenia dwóch identycznych kulek A i B o takich samych masach $m_A=m$ i $m_B=m$. Prędkości kulek przed zderzeniem oznaczmy, jako ${\overrightarrow{v}}_A$, oraz ${\overrightarrow{v}}_B$.

R1K1u8pZ4Frz2

Rys. 1. Rysunek przedstawia dwie kulki poruszające się po poziomym blacie. Lewa kulka, o masie opisanej małą literą m z indeksem dolnym A, jest niebieska, a prawa o masie opisanej małą literą m z indeksem dolnym B jest czerwona. Prędkości kulek zostały przedstawione w postaci czarnych poziomych wektorów opisanych czarnym tekstem. Niebieska kulka porusza się w prawo z prędkością opisaną małą literą v z indeksem dolnym A i ze znaczkiem wektora nad nią. Czerwona kulka porusza się w prawo z mniejszą prędkością opisaną małą literą v z indeksem dolnym B i ze znaczkiem wektora nad nią.

Zapiszmy pędy poszczególnych kulek przed zderzeniem:

oraz ich energie kinetyczne:

Po zderzeniu możemy zauważyć, że prędkości, z jakimi poruszają się kulki, uległy zmianie. Oznaczmy prędkości kulek po zderzeniu jako ${\overrightarrow{v}}_A^{\text{'}}$ oraz ${\overrightarrow{v}}_B^{\text{'}}$.

RqMLb3pySpl64

Rys. 2. Rysunek przedstawia dwie kulki poruszające się po poziomym blacie. Lewa kulka, o masie opisanej małą literą m z indeksem dolnym A, jest niebieska, a prawa o masie opisanej małą literą m z indeksem dolnym B jest czerwona. Prędkości kulek zostały przedstawione w postaci czarnych poziomych wektorów opisanych czarnym tekstem. Niebieska kulka porusza się w prawo z prędkością opisaną małą literą v prim z indeksem dolnym A i ze znaczkiem wektora nad nią. Czerwona kulka porusza się w prawo z większą prędkością opisaną małą literą v prim z indeksem dolnym B i ze znaczkiem wektora nad nią.

Zapiszmy pędy poszczególnych kulek po zderzeniu:

oraz ich energie kinetyczne:

Z uwagi na to, że zaniedbujemy oddziaływania pomiędzy ciałami uczestniczącymi w zderzeniu a otoczeniem, spełnione są zasady zachowania pędu oraz energii mechanicznej. Zapiszmy te zasady:

Zasada zachowania pędu: ${\overrightarrow{p}}_A+{\overrightarrow{p}}_B={\overrightarrow{p}}_A^{\text{'}}+{\overrightarrow{p}}_B^{\text{'}}$.

Zasada zachowania energii: $E_{KA}+E_{KB}=E_{KA}^{'}+E_{KB}^{'}.$

Otrzymujemy więc następujący układ równań:

Ponieważ do zderzenia dochodzi w jednym wymiarze, to możemy zrezygnować z zapisu wektorowego pamiętając przy tym, że kierunki prędkości będą określone przez znak prędkości. Rozwiążmy powyższy układ równań w celu wyznaczenia prędkości kulek po zderzeniu. Pomnóżmy obustronnie równanie opisujące zasadę zachowania energii przez 2:

Przekształćmy oba równania do postaci:

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ możemy powyższy układ równań zapisać w postaci:

Dzieląc przez siebie oba równania otrzymamy relację wiążącą prędkości przed zderzeniem i po zderzeniu:

Zapiszmy związek opisujący prędkości $v_{A}^{'}$ oraz $v_{B}^{'}$ w postaci:

Podstawiając uzyskane relacje do równania $m_{A}(v_{A}-v_{A}^{'})=m_{B}(v_{B}^{'}-v_{B})$, możemy wyrazić prędkości $v_{A}^{'}$ oraz $v_{A}^{'}$ jako:

W analizowanym przykładzie założyliśmy dla uproszczenia, że obie kulki są identyczne. We wzorach opisujących prędkości kulek po zderzeniu możemy zatem zamienić masy $m_{A}$ oraz $m_{B}$ masą $m$.

Zauważmy, że dla przypadku kulek o takich samych masach, prędkości przed i po zderzeniu łączy relacja:

Identyczne kulki wymieniają się więc prędkościami, a zatem również pędami i energiami kinetycznymi. Należy pamiętać, iż do zderzeń sprężystych może dochodzić również pomiędzy ciałami o różnych masach. Wektory prędkości ciał nie muszą mieć zgodnego kierunku ani zwrotu.

Czy każde zderzenie jest zderzeniem sprężystym?

Nie. Zderzeniami sprężystymi, nazywamy tylko te zderzenia, w których spełnione są zarówno zasada zachowania pędu, jak i zasada zachowania energii mechanicznej. Zderzające się ciała nie mogą się odkształcać, ponieważ w takim przypadku część energii mechanicznej zużywana jest na zmianę kształtu. Nie mogą one również podczas zderzenia wykorzystać energii na wytworzenie ciepła lub fali akustycznej. Typowym przykładem zderzenia niesprężystego jest zderzenie kulek wykonanych z plasteliny. Przykładem zjawiska, w którym zderzenia spełniają kryteria modelu zderzeń sprężystych, są zderzenia cząstek gazu doskonałegoCząsteczki gazu doskonałegocząstek gazu doskonałego.

Słowniczek