Warto przeczytać

Siła jest wielkością wektorową, przedstawianą graficznie w postaci strzałki. Siła, jak każdy wektor, posiada kilka cech charakterystycznych - takich jak punkt przyłożenia, kierunek, zwrot i wartość. Zostały one graficznie przedstawione na Rys. 1.

RJtMwzRIA6LfR

Rys. 1. Na ilustracji widoczny jest pomarańczowy prostokąt, z którego środka wychodzi czarna, pozioma strzałka skierowana w prawo. U góry ilustracji strzałka ta opisana jest jako wektor siły o kierunku poziomym. Punkt początkowy strzałki znajdujący się w środku pomarańczowego prostokąta podpisany jest jako punkt przyłożenia wektora siły. Grot po prawej stronie strzałki opisany jest jako zwrot wektora. Długość strzałki oznaczona kolejną równoległą do czarnej zieloną strzałką u góry informuje o wartości wektora, która jest proporcjonalna do długości strzałki.

Siła jest wielkością addytywną, co oznacza, że wektory sił można dodawać. Suma wektorowa wszystkich sił działających na ciało jest nazywana siłą wypadkowąsiła wypadkowasiłą wypadkową ${\overrightarrow{F}}_{\text{wyp}}$. Jest ona miarą sumarycznego oddziaływania wywieranego na ciało.

Rozpatrzmy dwa najprostsze przypadki, w których na ciało działają dwie siły, a ich kierunek jest taki sam (Rys. 2.).

RAdvoBo6CGD5E

Rys. 2. Na ilustracji widoczne są dwa obiekty w postaci fioletowych prostokątów znajdujących się na tej samej wysokości. Jeden znajduje się po prawej stronie ilustracji a drugi po lewej. Ze środka lewego prostokąta wychodzą dwie strzałki, zielona i czerwona reprezentujące wektory sił. Strzałki są poziome i skierowane w prawo. Zielona strzałka jest krótsza i oznaczona jako wielka litera F z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. Strzałka czerwona jest dłuższa i oznaczona jako wielka litera F z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor. Siły są równoległe i działają z tym samym zwrotem na ciało, do którego sią przytwierdzone strzałki. Ze środka prawego prostokąta również wychodzą dwie strzałki, zielona i czerwona reprezentujące wektory sił. Strzałki są poziome i czerwona skierowana jest w lewo a zielona w prawo. Zielona strzałka jest krótsza i oznaczona jako wielka litera F z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. Strzałka czerwona jest dłuższa i oznaczona jako wielka litera F z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor. Siły są równoległe ale działają z przeciwnymi zwrotami.

W przypadku a) zwroty wektorów sił ${\vec{F}}_1$ oraz ${\vec{F}}_2$ są zgodne, co w sytuacji realnej może reprezentować np. zjazd z góry na nartach pod wpływem siły grawitacji przy jednoczesnym odepchnięciu się kijkami. W przypadku b) zwroty wektorów sił ${\vec{F}}_1$ oraz ${\vec{F}}_2$ są przeciwne. Zagadnieniem, które w sposób graficzny może zostać opisane w taki sposób, jest na przykład zsuwanie się ciała po równi pochyłej w obecności siły tarcia. Graficzne wyznaczenie siły wypadkowej, działającej na ciała w obu przypadkach, wymaga zsumowania wektorów sił. Przedstawmy graficznie oba rozwiązania.

Rl5RsVu848FAh

Rys. 3. Na ilustracji widoczne są dwa obiekty w postaci fioletowych prostokątów znajdujących się na tej samej wysokości. Jeden znajduje się po prawej stronie ilustracji a drugi po lewej. Ze środka lewego prostokąta wychodzą dwie strzałki, zielona i czerwona reprezentujące wektory sił. Strzałki są poziome i skierowane w prawo. Zielona strzałka jest krótsza i oznaczona jako wielka litera F z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. Strzałka czerwona jest dłuższa i oznaczona jako wielka litera F z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor. Siły są równoległe i działają z tym samym zwrotem na ciało, do którego sią przytwierdzone strzałki. Nad strzałkami widoczna jest trzecia, czarna strzałka o długości równej sumie długości strzałek zielonej i czerwonej. Symbolizuje ona siłę wypadkową działającą na ciało. Oznaczona jest symbolem wielka litera F z indeksem dolnym wyp i strzałką oznaczającą wektor.Ze środka prawego prostokąta również wychodzą dwie strzałki, zielona i czerwona reprezentujące wektory sił. Strzałki są poziome i czerwona skierowana jest w lewo a zielona w prawo. Zielona strzałka jest krótsza i oznaczona jako wielka litera F z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. Strzałka czerwona jest dłuższa i oznaczona jako wielka litera F z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor. Siły są równoległe ale działają z przeciwnymi zwrotami. Nad strzałkami widoczna jest trzecia, czarna strzałka o długości równej różnicy długości strzałek zielonej i czerwonej. Symbolizuje ona siłę wypadkową działającą na ciało. Oznaczona jest symbolem wielka litera F z indeksem dolnym wyp i strzałką oznaczającą wektor. Wektor tej siły jest poziomy i skierowany w lewo, ponieważ w lewo działa większa siła narysowana w postaci dłuższej strzałki czerwonej.

Zwróćmy uwagę na to, że dla przypadku sił działających w jednym kierunku, kierunek siły wypadkowej jest zgodny z wektorami sił składowych. Wartość wektora siły wypadkowej, której składowe mają ten sam zwrot, jest sumą wartości sił składowych. W przypadku sił działających w przeciwnych kierunkach, wartość wektora siły wypadkowej stanowi odpowiednią (istotna jest kolejność) różnicę długości wektorów składowych.

Zauważmy, że w przyrodzie zazwyczaj spotykamy się z siłami o różnych kierunkach. Rozpatrzmy kilka przykładów obrazujących takie zjawiska i wyznaczmy w sposób graficzny siłę wypadkową.

Przykład 1

Wyobraźmy sobie spadającą z dużej wysokości drewnianą kulkę podczas wietrznego dnia. Wiatr wieje w kierunku poziomym i oddziałuje na kulkę siłą ${\vec{F}}_w$, której wartość jest dwukrotnie mniejsza niż siła grawitacji ${\vec{F}}_g$. Wyznaczmy w sposób graficzny siłę wypadkową ${\vec{F}}_{\mathrm{\text{wyp}}}$.

RqsxzNH3xbcwa

Rys. 4. Na ilustracji widoczna jest różowa kulka ze środka której wychodzą dwa wektory narysowane w postaci strzałek. Jeden wektor jest zielony i skierowany pionowo w dół. Reprezentuje on siłę grawitacji działającą na spadające ciało i jest oznaczony symbolem wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g i strzałką oznaczającą wektor. Drugi wektor jest czerwony, poziomy i skierowany w prawo. Opisany jest symbolem wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g i strzałką oznaczającą wektor. Reprezentuje on siłę wiatru działającą na spadające ciało.

Zwróćmy uwagę na to, że stosunek długości wektorów na rysunku pomocniczym jest zachowany. Wektor reprezentujący siłę wiatru ${\vec{F}}_w$ jest dwukrotnie krótszy niż wektor siły grawitacji ${\vec{F}}_g$. Wyznaczenie w sposób graficzny siły wypadkowej ${\vec{F}}_{\mathrm{\text{wyp}}}$ wymaga wykorzystania metody równoległoboku. Polega ona na narysowaniu równoległoboku, którego bokami są siły składowe. Przekątna równoległoboku jest wektorem siły wypadkowej. W miejscu przecięcia się hipotetycznych linii definiujących równoległobok (patrz Rys. 5.) znajduje się koniec wektora siły wypadkowej. Jego początek umiejscowiony jest w punkcie przyłożenia sił składowych. (W omawianym przypadku równoległobok ten jest prostokątem.)

R15BvZL47hS4C

Rys. 5. Na ilustracji widoczna jest różowa kulka ze środka której wychodzą dwa wektory narysowane w postaci strzałek. Jeden wektor jest zielony i skierowany pionowo w dół. Reprezentuje on siłę grawitacji działającą na spadające ciało i jest oznaczony symbolem wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g i strzałką oznaczającą wektor. Drugi wektor jest czerwony, poziomy i skierowany w prawo. Opisany jest symbolem wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g i strzałką oznaczającą wektor. Reprezentuje on siłę wiatru działającą na spadające ciało. Przez końce wektorów sił przechodzą czarne, przerywane linie równoległe do wektorów. Wraz z wektorami tworzą one równoległobok a w tym konkretnym przypadku kiedy wektory są prostopadłe względem siebie prostokąt. Punkt przecięcia się przerywanych linii stanowi koniec wektora siły wypadkowej, której początek znajduje się w środku kulki. Wektor narysowany jest czarną strzałką i skierowany jest w dół i w prawo. Wektor podpisany jest, jako wielka litera F z indeksem dolnym mała litera wyp i strzałką oznaczającą wektor.

Zauważmy, że wektor siły wypadkowej ${\vec{F}}_{\mathrm{\text{wyp}}}$ jest w tym przypadku dłuższy niż wektory sił składowych, a jego kierunek nie pokrywa się z kierunkiem siły wiatru i grawitacji. Wartość wektora siły wypadkowej jest równa długości przekątnej powstałego prostokąta, a więc jest to wartość, którą można wyznaczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

Przeanalizujmy kolejny przykład, w którym kąt zawarty między wektorami sił będzie różny od $0$ i $\frac{\pi }{2}$.

Przykład 2

Po równi pochyłej zsuwa się metalowy klocek pod wpływem składowej siły grawitacji, równoległej do zbocza równi, oznaczonej przez ${\vec{F}}_s$. Nad równią umieszczony został magnes przyciągający klocek siłą ${\vec{F}}_m$, której wartość jest mniejsza niż wartość siły ciężkości.

R3XrPrnFTYS7t

Rys. 6. Na ilustracji widoczna jest równia pochyła w postaci niebieskiego trójkąta prostokątnego. Zbocze równi skierowane jest w prawo. Na równi widoczny jest metalowy klocek narysowany w postaci szarego prostokąta leżącego na zboczu równi. Nad równią umieszczony jest schematycznie magnes w postaci prostokąta podzielonego na część górną i dolną. Dolna część jest niebieska i reprezentuje biegun wielka litera S magnesu a górna jest czerwona i symbolizuje biegun wielka litera N magnesu. Ze środka klocka wychodzą dwie strzałki reprezentujące siły styczną wielka litera F z indeksem dolnym si strzałką oznaczającą wektor skierowany wzdłuż równi i siłę magnetyczną wielka litera F z indeksem dolnym mała litera m i strzałką oznaczającą wektor. Siła magnetyczna skierowana jest pionowo w górę w kierunku magnesu.

Wyznaczmy w sposób graficzny siłę wypadkową sił: zsuwającej ${\vec{F}}_s$ oraz magnetycznej ${\vec{F}}_m$. Ponownie skorzystamy z metody równoległoboku.

R1Wrad5ZZGl5V

Rys. 7. Na ilustracji widoczna jest równia pochyła w postaci niebieskiego trójkąta prostokątnego. Zbocze równi skierowane jest w prawo. Na równi widoczny jest metalowy klocek narysowany w postaci szarego prostokąta leżącego na zboczu równi. Nad równią umieszczony jest schematycznie magnes w postaci prostokąta podzielonego na część górną i dolną. Dolna część jest niebieska i reprezentuje biegun wielka litera S magnesu a górna jest czerwona i symbolizuje biegun wielka litera N magnesu. Ze środka klocka wychodzą dwie strzałki reprezentujące siły styczną wielka litera F z indeksem dolnym si strzałką oznaczającą wektor skierowany wzdłuż równi i siłę magnetyczną wielka litera F z indeksem dolnym mała litera m i strzałką oznaczającą wektor. Siła magnetyczna skierowana jest pionowo w górę w kierunku magnesu. Przez końce wektorów sił przechodzą czarne, przerywane linie równoległe do wektorów. Wraz z wektorami tworzą one równoległobok. Punkt przecięcia się przerywanych linii stanowi koniec wektora siły wypadkowej, której początek znajduje się w środku szarego prostokąta. Wektor narysowany jest czarną strzałką i skierowany jest w prawo i nieco w dół. Wektor podpisany jest, jako wielka litera F z indeksem dolnym mała litera wyp i strzałką oznaczającą wektor.

Podobnie jak w Przykładzie 1, wektor siły wypadkowej jest przekątną równoległoboku, który widać na Rys. 7. Ramiona równoległoboku są równoległe do sił, które dodajemy.

Przykład 3

Przeanalizujmy jeszcze jeden przykład, tym razem obrazujący siłę elektrostatyczną. Pamiętajmy, że siła oddziaływania pomiędzy dwoma ładunkami jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości pomiędzy nimi. Oznacza to, że im większa jest ta odległość, tym mniejsza jest siła działająca na każdy z ładunków. Rozpatrzmy przypadek, w którym dodatnio naładowany jon umieszczony został w sąsiedztwie dwóch elektronów. Tę sytuację przedstawiono na poniższym rysunku.

R102p1dW5S2R5

Rys. 8. Na ilustracji widoczny jest ładunek dodatni narysowany w lewym‑dolnym rogu obrazka w postaci czerwonej kulki z symbolem plus w środku. Nad ładunkiem dodatnim znajdują się dwa ładunki ujemne narysowane w postaci niebieskich kulek z symbolami minus w środku. Jeden ładunek ujemny znajduje się nad ładunkiem dodatnim i nieco z prawej strony a drugi nad ładunkiem dodatnim i znacznie z prawej strony. Ze środka ładunku dodatniego wychodzą dwie strzałki reprezentujące siły oddziaływania pomiędzy ładunkiem dodatnim i ładunkami ujemnymi. Strzałki skierowane są do środka kulek symbolizujących ładunki ujemne. W kierunku ładunku znajdującego się u góry ładunku dodatniego i nieco z prawej biegnie fioletowa strzałka oznaczona symbolem wielka litera F z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. Ładunek ten znajduje się bliżej ładunku dodatniego niż drugi ładunek widniejący bardziej po prawej. W kierunku środka drugiego ładunku widoczna jest zielona strzałka opisana jako wielka litera F z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor. Strzałka ta jest krótsza od strzałki fioletowej, ponieważ odległość między ładunkiem drugim i ładunkiem dodatnim jest większa. Pamiętaj, że siła oddziaływania elektrostatycznego jest odwrotnie proporcjonalna do odległości pomiędzy ładunkami.

Wektor siły ${\vec{F}}_1$ jest dłuższy niż wektor siły ${\vec{F}}_2$, ponieważ obrazuje on oddziaływanie z elektronem, który znajduje się bliżej. Wyznaczając wektor siły wypadkowej ${\vec{F}}_{\mathrm{\text{wyp}}}$, ponownie wykorzystamy metodę równoległoboku. Jak zwykle w takiej konstrukcji, boki równoległoboku są równoległe do dodawanych sił.

R11T62zLAXuji

Rys. 9. Na ilustracji widoczny jest ładunek dodatni narysowany w lewym-dolnym rogu obrazka w postaci czerwonej kulki z symbolem plus w środku. Nad ładunkiem dodatnim znajdują się dwa ładunki ujemne narysowane w postaci niebieskich kulek z symbolami minus w środku. Jeden ładunek ujemny znajduje się nad ładunkiem dodatnim i nieco z prawej strony a drugi nad ładunkiem dodatnim i znacznie z prawej strony. Ze środka ładunku dodatniego wychodzą dwie strzałki reprezentujące siły oddziaływania pomiędzy ładunkiem dodatnim i ładunkami ujemnymi. Strzałki skierowane są do środka kulek symbolizujących ładunki ujemne. W kierunku ładunku znajdującego się u góry ładunku dodatniego i nieco z prawej biegnie fioletowa strzałka oznaczona symbolem wielka litera F z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. Ładunek ten znajduje się bliżej ładunku dodatniego niż drugi ładunek widniejący bardziej po prawej. W kierunku środka drugiego ładunku widoczna jest zielona strzałka opisana jako wielka litera F z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor. Strzałka ta jest krótsza od strzałki fioletowej, ponieważ odległość między ładunkiem drugim i ładunkiem dodatnim jest większa. Pamiętaj, że siła oddziaływania elektrostatycznego jest odwrotnie proporcjonalna do odległości pomiędzy ładunkami. Przez końce wektorów sił przechodzą czarne, przerywane linie równoległe do wektorów. Wraz z wektorami tworzą one równoległobok. Punkt przecięcia się przerywanych linii stanowi koniec wektora siły wypadkowej, której początek znajduje się w środku szarego prostokąta. Wektor narysowany jest czarną strzałką i skierowany jest w prawo i nieco w dół. Wektor podpisany jest, jako wielka litera F z indeksem dolnym mała litera wyp i strzałką oznaczającą wektor.

W zaprezentowanych przykładach wykorzystaliśmy sposób graficznego wyznaczania siły wypadkowej dla sił działających w dowolnych kierunkach.

Słowniczek