Warto przeczytać

W e‑materiale „Rozkład sił działających na ciało umieszczone na równi pochyłej” oraz „Jak opisać ruch ciał na równi pochyłej?” przedstawiliśmy, w jaki sposób należy opisywać ruch ciał na równi pochyłej w sytuacji, gdy nie występuje tarcie. Zakładaliśmy zatem, że powierzchnia równi pochyłej jest idealnie gładka, a ponadto nie występuje opór powietrza. Aby nieco urealnić nasze rozumowanie, sprawdzimy, co dzieje się, gdy dopuścimy istnienie tarciatarcietarcia. Siły działające w takim przypadku na ciało znajdujące się na równi o kącie nachylenia $\alpha$ przedstawiliśmy na Rys. 1.

RtdPVYhcdXNsg

Rys. 1. Na ilustracji widoczna jest równia pochyła w postaci szarego trójkąta prostokątnego leżącego na poziomej powierzchni, którego pochyła przeciwprostokątna skierowana jest w prawą stronę. Kąt nachylenia równi oznaczony jest małą grecką literą alfa. Na równi znajduje się klocek narysowany w postaci ciemniejszego, również szarego prostokąta leżącego na pochyłym zboczu równi. Ze środka prostokąta wychodzi kilka wektorów narysowanych w postaci kolorowych strzałek. Jedna z nich jest pomarańczowa i skierowana pionowo w dół. Reprezentuje ona wektor siły ciężkości oznaczony wielką literą F z indeksem dolnym mała litera g i strzałką symbolizującą wektor. Druga z nich jest czerwony i kierowany prostopadle do pochyłego zbocza równi w lewo i w dół. Symbolizuje on wektor siły równej sile nacisku, oznaczonej wielką literą N i strzałką oznaczającą wektor. Kat pomiędzy wektorem siły ciężkości i siły czerwonej jest taki sam, jak kąt nachylenia równi. Wektor siły nacisku jest równoległy do wektora czerwonego, narysowany fioletową strzałką przytwierdzoną do punktu na styku równi i klocka. Kolejny wektor skierowany jest równolegle do pochyłego zbocza równi i widoczny jest w postaci niebieskiej strzałki. Skierowany jest ku podstawie równi. Wektor ten symbolizuje składową równoległą siły ciężkości i oznaczony jest symbolem wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g z symbolem równoległości i strzałką oznaczającą zapis wektorowy. Siła nacisku także jest składową siły ciężkości ale prostopadłą do zbocza równi. W górę, równolegle do kierunku siły nacisku ale z przeciwnym zwrotek skierowany jest zielony wektor symbolizujący siłę reakcji równi. Oznaczony jest on wielką literą F z indeksem dolnym mała litera r i strzałką symbolizującą zapis wektorowy. Siłę tę, można rozumieć jako siłę oddziaływania sprężystego równi na znajdujący się na niej klocek. Siła czerwona i siła reakcji tworzą parę sił spełniających pierwszą zasadę dynamiki Newtona. W punkcie styku równi i klocka przyłożony jest kolejny wektor niebieski skierowany równolegle do zbocza równi i kierowany ku jej wierzchołkowi. Symbolizuje on siłę tarcia wielka litera T ze strzałką symbolizującą wektor. Siła tarcia przeciwdziała ruchowi zsuwającemu klocka.

Na umieszczony na równi klocek działają trzy podstawowe siły: siła ciężkości $F_g$ , pochodząca od oddziaływania grawitacyjnego ciała na równi z Ziemią, siła reakcji równi $F_r$, będąca reakcją na nacisksiła naciskunacisk $N$ klocka na powierzchnię równi oraz siła tarcia $T$.

Na rysunku widoczne są dodatkowo składowe siły ciężkości, równoległa i prostopadła do powierzchni równi. Jak wyznaczyć wartości tych składowych? Konstrukcja ta również została przedstawiona na Rys. 1. Siła ciężkości jest przekątną prostokąta, którego boki są prostopadłe i równoległe do powierzchni równi, a jeden z wierzchołków tego prostokąta umieszczony jest w punkcie przyłożenia siły ciężkości. Jak widać z rysunku, długości boków tego prostokąta (i jednocześnie wartości składowych) wyznaczyć można, wykorzystując proste relacje trygonometryczne między bokami i kątem $\alpha$:

Siła naciskusiła naciskuSiła nacisku klocka na podłoże $N$ pochodzi od prostopadłej składowej siły ciężkości działającej na klocek i jest jej równa co do wartości. Zastanówmy się teraz, jak określić cechy siły tarcia $T$. Zgodnie z definicją, jest ona skierowana zawsze przeciwnie do kierunku ruchu ciała, a jej wartość jest równa wartości siły nacisku klocka na podłoże  pomnożonej przez bezwymiarowy współczynnik tarciawspółczynnik tarciawspółczynnik tarcia:

Ponieważ wartość siły nacisku jest równa $F_{g\perp }$, możemy zapisać:

Aby opisać ruch ciała w kierunku równoległym do powierzchni równi, zwróćmy uwagę, że w tym kierunku działają na nie dwie siły: składowa równoległa siły ciężkości (zwana też siłą zsuwającą $F_s$) oraz siła tarcia. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona, możemy zatem zapisać:

Gdy występuje tarcietarcietarcie, ciało na równi nadal poruszać się będzie ruchem jednostajnie przyspieszonym, z przyspieszeniem zależnym od kąta nachylenia równi. Wartość tego przyspieszenia będzie jednak mniejsza niż w przypadku ruchu bez tarcia. Zwróć ponadto uwagę, że dla pewnych wartości kąta $\alpha$ przyspieszenie będzie równe zeru, co oznacza, że ciało nie zacznie poruszać się w dół równi. Sytuację taką rozważymy w jednym z zadań.

W ogólności, gdyby na ciało na równi działało więcej sił, należy każdą z nich rozłożyć na składowe prostopadłe i równoległe do równi. Znajomość składowych równoległych (w tym siły tarcia) pozwoli określić przyspieszenie ciała. Aby wyznaczyć siłę tarcia, niezbędna jest jednak znajomość składowych prostopadłych. Będą wnosić wkład do łącznej siły nacisku – a więc i do siły tarcia.

Przykład

Rozważmy ruch sanek początkowo spoczywających na szczycie zbocza o kącie nachylenia 30° i wysokości $h$ = 4 m. Spróbujmy określić, jak długo sanki będą zjeżdżały na dół, jeśli współczynnik tarciawspółczynnik tarciawspółczynnik tarcia o zbocze wynosi $f$ = 0,1.

Dane i szukane:

Dane:

kąt nachylenia zbocza $\alpha$ = 30°

wysokość zbocza $h$ = 4 m

współczynnik tarcia $f$ = 0,1

przyspieszenie ziemskie $g$ = 9,81 m/sIndeks górny 2²

Szukane:

czas ruchu sanek na zboczu $t_r$ = ?

Analiza zadania:

Zbocze występujące w naszym przykładzie oraz siły działające na sanki w kierunku ich ruchu przedstawiliśmy na Rys. 2.

RVqrGHOIWGydm

Rys. 2. Na ilustracji widoczna jest równia pochyła w postaci szarego trójkąta prostokątnego leżącego na poziomej powierzchni, którego pochyła przeciwprostokątna skierowana jest w prawą stronę. Równia ma wysokość mała litera h równa się cztery metry. Kąt nachylenia równi oznaczony jest małą grecką literą alfa równa trzydzieści stopni. Na równi znajdują się sanki przy których narysowane są wektory siły składowej równoległej siły ciężkości wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g z symbolem równoległości i strzałką oznaczającą zapis wektorowy, oraz wektor siły tarcia wielka litera T ze strzałką symbolizująca wektor. Siła tarcia jest równoległa do pochyłego zbocza równi i skierowana ku jej wierzchołkowi. Wektor składowej równoległej siły ciężkości, także jest równoległy do zbocza równi ale skierowany w dół. Wektor siły tarcia jest krótszy.

Sanki będą poruszać się ruchem jednostajnie przyspieszonym pod wpływem składowej zsuwającej siły ciężkości oraz siły tarcia. Aby ustalić, ile czasu zajmie im zjechanie na dół, musimy w pierwszej kolejności ustalić jaka będzie wartość przyspieszenia i jaką drogę sanki przebędą. Aby wyznaczyć przyspieszenie, musimy określić wartości działających sił.

Rozwiązanie:

Składowa równoległa siły ciężkości wynosi $F_{g\parallel }=mgsin\alpha$. Z kolei, wartość siły tarcia opisana jest wzorem $T=fN=fmgcos\alpha$. Zapiszmy równanie wynikające z II zasady dynamiki Newtona:

Sanki przebywają drogę wzdłuż powierzchni równi $s$. Aby wyznaczyć jej wartość, posłużymy się prostymi relacjami trygonometrycznymi w trójkącie prostokątnym:

Ruch sanek jest ruchem jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej. Możemy zapisać zatem:

Do wyrażenia opisującego czas ruchu wstawmy teraz otrzymane wcześniej wyrażenia opisujące drogę i przyspieszenie, a następnie podstawmy odpowiednie wartości i jednostki:

Odpowiedź:

Czas zjeżdżania sanek to ok. 1,99 s.

Komentarz:

Zwróć uwagę, że czas ruchu sanek jest bardzo krótki. Wynika to z dużego kąta nachylenia stoku przyjętego w tym zadaniu do obliczeń. Rzeczywiste górki posiadają nachylenie nie przekraczające zwykle 10°. Np. dla kąta nachylenia 8°, czas zjazdu wyniósłby ok. 12,1 s.

Słowniczek