Warto przeczytać

II zasada dynamiki Newtona mówi o konsekwencjach działania na ciało siły niezrównoważonej. Za Newtonem powtarzamy, że niezrównoważona siła powoduje ruch z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do wartości siły. Przyspieszenie jest szybkością zmian wektora prędkości. Kluczowy jest fakt, że prędkość jest wektorem, więc gdy mówimy o zmianach tej wielkości, to może to być zmiana wartości lub zmiana kierunku.

W ruchu jednostajnym po okręgu wartość prędkości się nie zmienia, natomiast w każdej chwili czasu zmienia się jej kierunek. Wniosek stąd prosty – w ruchu po okręgu musi występować przyspieszenie i musi być niezrównoważona siła. Tę siłę nazywamy siłą dośrodkową, a niezerową składową przyspiesznia - przyspieszeniem dośrodkowym.

Prędkość w ruchu po okręgu jest styczna do toru, czyli w omawianym przypadku - do okręgu. Styczność oznacza, że w każdym punkcie toru prędkość jest prostopadła do promienia okręgu. Kierunek przyspieszenia dośrodkowego i siły dośrodkowej kierunkiem promienia, a wektory te są zwrócone do środka okręgu. Siła przyłożona jest do ciała poruszającego się po okręgu. Jak zapisać wzorem to, co zostało opowiedziane słowami? Kierunek i zwrot określi we wzorze wersorwersorwersor, czyli wektor o wartości równej 1 i określonym kierunku i zwrocie. W naszym wypadku będzie to kierunek promienia i zwrot do środka okręgu; oznaczmy go przez $\vec{r}$. Zatem

Wartość przyspieszenia dośrodkowego jest więc równa

a siły dośrodkowej

Bardzo użyteczna i dosyć oczywista jest zależność łącząca wartość prędkości $v$ z długością okręgu i okresem $T$, czyli czasem pokonania tego okręgu:

A ponieważ odwrotność okresu to częstotliwość f, czyli liczba cykli w jednostce czasu, to

Zależności te pozwalają na wyrażenie wartości siły dośrodkowej w postaci:

A teraz przedstawię ci trzy siły, które pełnią rolę sił dośrodkowych w trzech bardzo różnych zjawiskach fizycznych.

Przykład 1

Siła magnetyczna zwana siłą Lorentza.

Na cząstkę naładowaną elektrycznie poruszającą się z prędkością $\vec{v}$ w polu magnetycznym o indukcji magnetycznej $\vec{B}$ może działać siła magnetyczna o wartości

Może, a nie musi! Siła ta będzie miała taką właśnie wartość, gdy kierunek prędkości będzie prostopadły do kierunku wektora indukcji magnetycznej. Siła będzie prostopadła do prędkości, a więc będzie zakrzywiała tor ruchu cząstki. Doświadczenie pokazuje, że, w istocie, w próżni wiązka cząstek, na przykład elektronów, zakreśli okrąg.

RMIWHRkiXyKNE

Rys. 1. Rysunek przedstawia ruch elektronu w polu magnetycznym. Wektor indukcji magnetycznej skierowany jest pionowo w górę i oznaczony literą wielkie B ze strzałką nad nią. Tor elektronu to poziomy okrąg, którego promień oznaczono literą małe r. Strzałki na okręgu wskazują na ruch elektronu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Elektron przedstawiono jako kółko ze znakiem minus, znajdujące się na prawo od środka okręgu. Do elektronu przyłożone są 2 wektory. Wektor siły magnetycznej skierowany poziomo w lewo, do środka okręgu i oznaczony literą wielkie F ze strzałką nad nią. Wektor prędkości elektronu skierowany jest stycznie do okręgu, zwrócony za płaszczyznę rysunku i oznaczony literą małe v ze strzałką nad nią.

Rys. 1. ilustruje ruch po okręgu elektronu. Siła magnetyczna pełni rolę siły dośrodkowej, co można zapisać jako

W Warszawie w Środowiskowym Laboratorium Ciężkich Jonów jest cyklotroncyklotroncyklotron - urządzenie służące do przyspieszania naładowanych cząstek - jonów

lekkich pierwiastków. Na stronie tego laboratorium podane są parametry cyklotronu:  średnica – 2 m,  wartość indukcji magnetycznej 1,67‑2,7 T.

W cyklotronie warszawskim jony poruszają się po okręgu o promieniu $r = 1\,\text{m}$ w polu magnetycznym o wartości maksymalnej wektora indukcji $B = 2,7\,\text{T}$. Wśród wielu  przypieszanych jonów są dwukrotnie zjonizowane atomy boru.

Korzystając z tych informacji, można obliczyć bardzo konkretne parametry przyspieszanych cząstek, na przykład pęd jonów boru. Zróbmy to.

Pęd to iloczyn prędkości i masy

Ze wzoru (1) obliczymy, że jego wartość wynosi

Ponieważ bor jest dwukrotnie zjonizowany, $q = 2e \approx 3,2\cdot 10^{-19}\,\text{C}$. Podstawiając wartości, dostajemy

Przykład 2

Innym przykładem siły, która pełni rolę siły dośrodkowej, jest siła elektrostatycznego przyciągania pomiędzy elektronem i protonem w atomie wodoru. Wartość tej siły określa prawo Coulomba,

gdzie $e$ to wartość elementarnego ładunku elektrycznego, $k$ - stała związana z własnościami pola elektrycznego w próźni, $r$ - odległość pomiędzy cząstkami i zarazem promień orbity, po której porusza się elektron. Zakładamy w prostym modelu, że elektron porusza się po okręgu. Siła kulombowska pełni rolę siły dośrodkowej, wobec tego

RL5oACSdhMX98

Rys. 2. W środku rysunku znajduje się kółko z plusem, symbolizujące proton. Proton znajduje się w środku okręgu, który jest torem elektronu. Promień okręgu oznaczono literą małe r. Elektron przedstawiono jako mniejsze kółko ze znakiem minus, znajdujące się w najwyższym punkcie okręgu. Do elektronu przyłożone są 2 wektory. Wektor siły elektrostatycznej skierowany pionowo w dół, do środka okręgu i oznaczony literą wielkie F ze strzałką nad nią. Wektor prędkości elektronu skierowany jest stycznie do okręgu, zwrócony poziomo w prawo i oznaczony literą małe v ze strzałką nad nią.

Czy i tym razem można by obliczyć pęd cząstki - elektronu? Otóż można, ale trzeba posłużyć się dwoma stałymi: masą elektronu $m = 9,1\cdot 10^{-31}\,\text{kg}$ i i wartością promienia pierwszej orbity w ramach modelu Bohra, $r = 0,53\cdot 10^{-10}\,\text{m}$. Mamy

skąd $p^2=\frac{mk{e}^2}{r}$, zatem

Podstawiając dane liczbowe, otrzymujemy:

Przykład 3

Trzecim przykładem będzie ruch Księżyca wokół Ziemi, gdzie rolę siły dośrodkowej pełni siła grawitacyjna (Rys. 3.). Torem ruchu Księżyca nie jest idealny okrąg, ale mimo to możemy zastosować takie przybliżenie.

RvGgtKtkv0qbN

Rys. 3. W środku rysunku znajduje się kula ziemska z zaznaczonymi schematycznie kontynentami. Obok niej zapisano słowo Ziemia oraz literę wielkie M z indeksem dolnym wielkie Z. Ziemia znajduje się w środku okręgu, który jest torem Księżyca. Promień okręgu oznaczono literą małe r. Księżyc przedstawiono jako mniejsze kółko, znajdujące się w punkcie okręgu na lewo od Ziemi. Obok Księżyca zapisano słowo Księżyc oraz literę wielkie M z indeksem dolnym wielkie K. Do Księżyca przyłożone są 2 wektory. Wektor siły grawitacji skierowany poziomo w prawo, do środka okręgu i oznaczony literą wielkie F ze strzałką nad nią. Wektor prędkości Księżyca skierowany jest stycznie do okręgu, zwrócony pionowo w dół i oznaczony literą małe v ze strzałką nad nią.

Wartość siły grawitacyjnej określa prawo powszechnej grawitacji,

gdzie $G \approx 6,7\cdot 10^{-11}\,\text{Nm}^2/\text{kg}^2$. Za masy obu ciał wstawimy tu masy Ziemi i Księżyca, które oznaczymy przez $M_K$ i $M_Z$. Odległość między tymi ciałami to $r \approx 384\,000\,\text{km} = 3,84 \cdot 10^8\,\text{m}$ Dzięki sile grawitacji Księżyc krąży po okręgu, więc możemy przyrównać ją do siły dośrodkowej:

W równości tej skracamy promień orbity i masę Księżyca, otrzymując kwadrat prędkości w postaci

Spróbujmy i tym razem obliczyć pęd ciała poruszającego się po okręgu, czyli Księżyca. Pierwiastkując powyższy związek i mnożąc przez $M_K$, dostajemy

Po wstawieniu wartości liczbowych otrzymamy

W trzech przykładach trzech różnych oddziaływań, które łączy to, że ciała pod ich działaniem poruszały się po okręgu, obliczyliśmy pędy poruszających się po okręgu ciał. Aby podać wartości liczbowe, musieliśmy zastosować notację wykładniczą. Wynik uzyskany w drugim i trzecim przykładzie różnią się o 50 rzędów wielkości!

Słowniczek