Równaniem wielomianowym stopnia $n$ ($n\in \mathrm{\mathbb{N}}$), nazywamy równanie, które można zapisać w postaci $W\left(x\right)=0$, gdzie $W\left(x\right)$ jest wielomianem stopnia $n$.

Rozwiążemy równanie $12x^4-3x^2=0$ metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias.

$12x^4-3x^2=0$

Zauważymy, że ze wszystkich wyrazów wielomianu możemy włączyć przed nawias wspólny czynnik $3x^2$.

$3x^2·\left(4x^2-1\right)=0$

Otrzymaliśmy postać iloczynową równaniapostać iloczynowa równaniapostać iloczynową równania.

Iloczyn dwóch wyrażeń jest równy zero, jeżeli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero.

$3x^2=0$ lub $4x^2-1=0$

$x=0$ lub $\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=0$

$x=0$ lub $x=\frac{1}{2}$ lub $x=-\frac{1}{2}$

Równanie ma trzy rozwiązania $x=-\frac{1}{2}$, $x=0$, $x=\frac{1}{2}$.

Rozwiążemy równanie $x^4+6x^2=5x^3$.

$x^4+6x^2=5x^3$

Najpierw uporządkujemy równanie, doprowadzając je do postaci $W\left(x\right)=0$.

$x^4-5x^3+6x^2=0$

Zauważymy, że możemy wyłączyć przed nawias jednomian $x^2$.

$x^2\left(x^2-5x+6\right)=0$

Czyli

$x^2=0$ lub $x^2-5x+6=0$

$x=0$

Równanie kwadratowe $x^2-5x+6=0$ możemy rozwiązać korzystając z obliczenia wyróżnika trójmianu kwadratowego i pierwiastków równania, lub zgadując pierwiastki  $x_1$ i $x_2$ ze wzorów Viète’a

$x^2-5x+6=0\iff x=2$ lub $x=3$.

Rozwiązaniem równania są liczby $x=0$, $x=2$, $x=3$.

Rozwiążemy równanie $\left(x+2\right)\left(x^2-1\right)=\left(x+2\right)\left(x+3\right)$ wyłączając wspólny czynnik przed nawias.

$\left(x+2\right)\left(x^2-1\right)=\left(x+2\right)\left(x+3\right)$

$\left(x+2\right)\left(x^2-1\right)-\left(x+2\right)\left(x+3\right)=0$

W obu składnikach wielomianu powtarza się $\left(x+2\right)$. Zatem sumę algebraiczną $\left(x+2\right)$ możemy wyłączyć przed nawias.

$\left(x+2\right)·\left[x^2-1-\left(x+3\right)\right]=0$

$\left(x+2\right)\left(x^2-1-x-3\right)=0$

$\left(x+2\right)\left(x^2-x-4\right)=0$

$x+2=0$ lub $x^2-x-4=0$

$x=-2$

lub

$\Delta =1+16=17\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{17}$

$x_1=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$

$x_2=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$

Równanie ma trzy rozwiązania $-2$, $\frac{1-\sqrt{17}}{2}$, $\frac{1+\sqrt{17}}{2}$.

Rozwiążemy równanie $x^5-2x^3-8x=0$.

Najpierw wyłączymy $x$ przed nawias

$x\left(x^4-2x^2-8\right)=0$

$x=0$ lub $x^4-2x^2-8=0$

Zajmiemy się rozwiązaniem równania czwartego stopnia.

$x^4-2x^2-8=0$

Niech $x^2=t$, $t\ge 0$

$t^2-2t-8=0$

$\Delta =4+4·8=36\Rightarrow \sqrt{\Delta }=6$

$t_1=\frac{2-6}{2}$

$t_1=-2<0$ – nie spełnia warunków zadania

$t_2=\frac{2+6}{2}=4$

Wracamy do podstawienia $x^2=t$

$x^2=4$

$x=2$ lub $x=-2$

Równanie ma trzy rozwiązania $x=-2$, $x=0$, $x=2$.

Rozwiążemy równanie $x^3-2x^2+4x-8=0$.

W tym równaniu nie znajdziemy wspólnego czynnika który się powtarza w każdym wyrazie wielomianu. Połączymy wyrazy wielomianu w pary i w parach wyłączymy wspólny czynnik.

$\left(x^3-2x^2\right)+\left(4x-8\right)=0$

$x^2\left(x-2\right)+4·\left(x-2\right)=0$

Pogrupowaliśmy wyrazy równania tak, aby miały wspólny czynnik. Sumę algebraiczną $\left(x-2\right)$ możemy teraz wyłączyć przed nawias.

$\left(x-2\right)\left(x^2+4\right)=0$

Rozłożyliśmy lewą stronę równania na czynniki

$x-2=0$ lub $x^2+4=0$

$x=2$

lub

$x^2+4>0$ dla $x\in \mathrm{ℝ}$ – równanie nie posiada rozwiązań

Równanie ma jedno rozwiązanie $x=2$.

zapisanie równania za pomocą iloczynu czynników, z których każdy jest niższego stopnia niż dane równanie