Przeczytaj

Rozważmy trójkąt o wierzchołkach $A = (x_{A}; y_{A}), B = (x_{B}; y_{B}), C = (x_{C}; y_{C})$ i prostą zawierająca środkową poprowadzoną z wierzchołka $A$ przez środek boku $B C$ .

R1LepyiovkAmL

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X i pionową osią Y. W układzie współrzędnych narysowany jest trójkąt A B C, którego współrzędne wierzchołków określone są następująco: A ma współrzędne x A y A i leży w trzeciej ćwiartce, B ma współrzędne x B y B i leży w czwartej ćwiartce, C ma współrzędne x C y C i leży w pierwszej ćwiartce. Przez punkt A przechodzi prosta przecinająca środek odcinka B C, co zaznaczone jest dwiema krótkimi kreskami narysowanymi prostopadle na obu połowach odcinka. Miejsce przecięcia prostej i odcinka, czyli punkt będący środkiem B C to punkt M.

Wiemy już, że środek odcinka ma współrzędne równe średnim arytmetycznym współrzędnych jego końców, zatem środek $M$ odcinka $B C$ ma współrzędne $(\frac{x_{B} + x_{C}}{2}; \frac{y_{B} + y_{C}}{2})$ . Teraz możemy zastosować wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty - punkty $A = (x_{A}; y_{A})$ i $M = (\frac{x_{B} + x_{C}}{2}; \frac{y_{B} + y_{C}}{2})$ . Współczynnik kierunkowy tej prostej równy jest ilorazowi różnicy drugich współrzędnych przez różnicę pierwszych współrzędnych, czyli $\frac{y_{A} - \frac{y_{B} + y_{C}}{2}}{x_{A} - \frac{x_{B} + y_{C}}{2}} = \frac{2 y_{A} - y_{B} - y_{C}}{2 x_{A} - x_{B} - x_{C}}$ (o ile punkty $A$ i $M$ nie leżą na prostej równoległej do osi $Y$ ). Zatem równanie szukanej prostej ma postać $y - y_{A} = \frac{2 y_{A} - y_{B} - y_{C}}{2 x_{A} - x_{B} - x_{C}} (x - x_{A})$ . Można je też przekształcić do postaci, która nie wymaga założenia, że punkty $A$ i $M$ nie leżą na prostej, która jest równoległa do osi $Y$ : $(2 x_{A} - x_{B} - x_{C}) (y - y_{A}) = (2 y_{A} - y_{B} - y_{C}) (x - x_{A})$ .

Analogiczne wzory można podać dla prostych przechodzących przez wierzchołek $B$ i środek boku $A C$ : $(2 x_{B} - x_{A} - x_{C}) (y - y_{B}) = (2 y_{B} - y_{A} - y_{C}) (x - x_{B})$ wierzchołek $C$ i środek boku $A B$ : $(2 x_{C} - x_{A} - x_{B}) (y - y_{C}) = (2 y_{C} - y_{A} - y_{B}) (x - x_{C})$ .

Przykład 1

Wyznaczymy równania prostych zawierających środkowe trójkątaśrodkowa trójkątaśrodkowe trójkąta o wierzchołkach $A = (- 5; 2), B = (2; 6), C = (5; - 1)$ .

Równanie prostej zawierającej środkową przechodzącą przez punkt $A$ :

$\begin{array}{l} (2 (- 5) - 2 - 5) (y - 2) = (2 \cdot 2 - 6 - (- 1)) (x - (- 5)) \\ - 17 (y - 2) = - 1 (x + 5) \\ - 17 y + 34 = - x - 5 \\ - 17 y = - x - 39 \\ y = \frac{1}{17} x + \frac{39}{17} \end{array}$

Równanie prostej zawierającej środkową przechodzącą przez punkt $B$ :

$\begin{array}{l} (2 \cdot 2 - (- 5) - 5) (y - 6) = (2 \cdot 6 - 2 - (- 1)) (x - 2) \\ 4 (y - 6) = 11 (x - 2) \\ 4 y - 24 = 11 x - 22 \\ 4 y = 11 x + 2 \\ y = \frac{11}{4} x + \frac{1}{2} \end{array}$

Równanie prostej zawierającej środkową przechodzącą przez punkt $C$ :

$\begin{array}{l} (2 \cdot 5 - (- 5) - 2) (y - (- 1)) = (2 \cdot (- 1) - 2 - 6) (x - 5) \\ 13 (y + 1) = - 10 (x - 5) \\ \begin{array}{l} 13 y + 13 = - 10 x + 50 \\ y = - \frac{10}{13} x + \frac{37}{13} \end{array} \end{array}$

Możemy wyznaczyć środek ciężkości trójkątaśrodek ciężkości trójkątaśrodek ciężkości trójkąta $A B C$ , rozwiązując układ złożony z dwóch spośród trzech wyznaczonych wcześniej równań:

$\{\begin{cases} y = \frac{11}{4} x + \frac{1}{2} \\ y = - \frac{10}{13} x + \frac{37}{13} \end{cases}$

$\frac{11}{4} x + \frac{1}{2} = - \frac{10}{3} x + \frac{37}{13}$

$143 x + 26 = - 40 x + 148$

$183 x = 122$

$x = \frac{2}{3}$

$\{\begin{cases} x = \frac{2}{3} \\ y = \frac{11}{4} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{7}{3} \end{cases}$

Zatem środek ciężkości trójkąta o wierzchołkach $A = (- 5, 2)$ , $B = (2; 6)$ , $C = (5; - 1)$ ma współrzędne $(\frac{2}{3}; \frac{7}{3})$ .

Słownik

środkowa trójkąta

odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku

środek ciężkości trójkąta

punkt przecięcia środkowych trójkąta; inaczej: barycentrum trójkąta

Wprowadzenie

Aplet

Słownik