Przeczytaj
Wektor wypadkowyWektor wypadkowy
Wyobraźmy sobie uproszczoną mapę z zaznaczonymi miejscowościami , , , i . Z miejscowości do miejscowości można dostać się bezpośrednio poruszając się wzdłuż wektora , ale można też zrobić to inaczej. Można najpierw przemieścić się z miejscowości do miejscowości , a dopiero później do . Ale można też zrobić po drodze dwa przystanki: w pierwszym etapie przemieszczamy się z miejscowości do miejscowości , w drugim – z miejscowości do miejscowości , zaś w trzecim – z miejscowości do miejscowości . Sytuację ilustruje poniższy rysunek. W takim przypadku powiemy, że wektor jest wektorem wypadkowym dla wektorów i oraz wektor jest wektorem wypadkowym dla wektorów , i . Zwróćmy jeszcze uwagę, w jaki sposób powstają łańcuchy wektorów, których wektorem wypadkowym jest . Każdy z tych łańcuchów spełnia trzy warunki:
początek pierwszego wektora pokrywa się z początkiem wektora wypadkowego,
koniec jednego wektora pokrywa się z początkiem następnego,
koniec ostatniego wektora łańcucha pokrywa się z końcem wektora wypadkowego.
Suma dwóch wektorów - reguła równoległoboku, reguła trójkąta
Sumę wektorów i wyznaczamy następująco: dowolny punkt płaszczyzny obieramy jako początek wektora , a koniec wektora obieramy za początek wektora .
Wektor, którego początek znajduje się w punkcie , a końcem jest koniec wektora nazywamy sumą wektorów i i oznaczamy .
Wektory, których sumę chcemy wyznaczyć nazywamy wektorami składowymi.
Opisana powyżej procedura otrzymywania wektora będącego sumą dwóch wektorów o różnych kierunkach nosi nazwę reguły trójkąta. Jak widać na powyższej ilustracji, gdy wektory mają różne kierunki, początki i końce rozważanych wektorów tworzą wierzchołki trójkąta. Zauważmy jeszcze, że chcąc zastosować opisany algorytm do wektorów, które mają ten sam kierunek, wszystkie początki i końce rozważanych wektorów będą leżeć na jednej prostej, zatem nie utworzą trójkąta. Gdy wektory mające ten sam kierunek, mają ten sam zwrot, wówczas ich suma ma ten sam zwrot, który mają składniki.
Gdy wektory mające ten sam kierunek, mają przeciwne zwroty, wówczas ich suma ma zwrot taki jak składnik o większej długości.
Na powyższych ilustracjach niebieski wektor jest sumą wektorów czerwonego i czarnego.
Aby wyznaczyć sumę dwóch wektorów o różnych kierunkach, możemy też zastosować tzw. regułę równoległoboku, która orzeka, że wektor reprezentujący sumę wektorów , można uzyskać jako przekątną równoległoboku skonstruowanego z użyciem wektorów , .
Opiszemy teraz jak wykorzystać w praktyce regułę równoległoboku dla dwóch wektorów o różnych kierunkach.
Wektory ustawiamy tak, aby miały wspólny początek.
Przez końce każdego z wektorów prowadzimy proste równoległe do drugiego z nich. Początek obu wektorów, ich końce i punkt przecięcia prostych równoległych do wektorów są wierzchołkami równoległoboku.
Przekątna równoległoboku zawiera wektor będący sumą rozważanych wektorów: jego początek jest wspólnym początkiem obu wektorów składowych, zaś koniec jest punktem przecięcia poprowadzonych prostych.
Suma przynajmniej trzech wektorów - reguła łańcucha
Jeśli chcemy dodać więcej niż dwa wektory korzystamy z tzw. reguły łańcucha, która polega na utworzeniu łańcucha wektorów w taki sposób, że koniec jednego z nich staje się początkiem następnego. Sumą wektorów użytych do utworzenia łańcucha nazywamy wektor o początku w początku pierwszego wektora i końcu w końcu ostatniego wektora. Poniżej przedstawiono zastosowanie reguły łańcucha dla otrzymania sumy trzech wektorów: , , .
Regułę łańcucha można stosować dla dowolnie wielu wektorów.
Dla dowolnych wektorów , , zachodzą następujące równości:
(przemienność)
(łączność)
(wektor zerowy jest elementem neutralnym dodawania wektorów)
Ad. 1) Aby udowodnić, że dodawanie wektorów jest przemienne można posłużyć się równoległobokiem. Rozważmy równoległobok i przyjmijmy, że i . Z własności równoległoboku wynika, że i . Z definicji sumy wektorów otrzymujemy równości:
,
stąd
Ad. 2) Aby wykazać, że dodawanie wektorów jest łączne, wybierzmy dowolne cztery punkty płaszczyzny i oznaczmy , , .
Wówczas na podstawie definicji sumy wektorów otrzymujemy:
Stąd
Ad. 3) Dla dowodu równości trzeciej wystarczy zauważyć, że początek i koniec wektora zerowego znajdują się w tym samym punkcie, zatem po zastosowaniu reguły łańcucha można zauważyć, że koniec drugiego wektora (zerowego) pokrywa się z końcem pierwszego wektora , zatem suma wektorówsuma wektorów i jest równa wektorowi .
Ad. 4) Przypomnijmy, że wektor przeciwny do danego wektora ma ten sam kierunek i długość, co wektor . Wektor i wektor do niego przeciwny różnią się jedynie zwrotem, zatem jeśli , to . Po przyłożeniu początku wektora do końca wektora , koniec wektora znajduje się w punkcie , czyli w punkcie przyłożenia wektora . Zatem suma wektorów i jest wektorem zerowym.
Słownik
wektor, który powstaje po ułożeniu wektorów składowych w łańcuch w taki sposób, że koniec jednego wektora jest początkiem następnego - sumą wektorów składowych jest wektor o początku w początku pierwszego wektora łańcucha i końcu w końcu ostatniego wektora łańcucha
suma wektorów; w pewnych szczególnych przypadkach (np. składanie sił lub przemieszczeń) wektor wypadkowy zastępuje działanie kilku innych wektorów