Wielościanem nazywamy bryłę przestrzenną, której wszystkie ściany są wielokątami.

Poniżej przedstawiono bryły, które są wielościanamiwielościanwielościanami. Przyjrzyj im się uważnie. Wszystkie ściany są wielokątami – niekoniecznie takimi samymi.

Dla bryły przedstawionej na rysunku ustalimy liczbę wierzchołków, krawędzikrawędź bryłykrawędzi i ścian.

R1LxKHXuQS7FU

Na ilustracji przedstawiono wielościan, który wygląda jak sklejone ze sobą dwa ostrosłupy prawidłowe czworokątne o wspólnej podstawie $ABCD$. Dolny wierzchołek bryły oznaczono literą E, natomiast górny literą F.

Gdy przyjrzymy się bryle na rysunku, możemy zauważyć następujące elementy: 

• wierzchołki, czyli punkty: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$

• krawędzie, czyli odcinki: $AB$, $BC$, $CD$, $AD$, $AE$, $BE$, $CE$, $DE$, $AF$, $BF$, $CF$, $DF$

• ściany, czyli wielokąty: $ABF$, $BCF$, $CDF$, $ADF$, $ABE$, $BCE$, $CDE$, $ADE$

Bryła przedstawiona na rysunku ma zatem $6$ wierzchołków, $12$ krawędzi i $8$ ścian, które są trójkątami.

Dla bryły przedstawionej na rysunku ustalimy liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian.

R1DnFGIK2s1Kv

Na ilustracji przedstawiony jest wielościan A B C D E F G H I A Prim B prim C prim D prim E prim, gdzie wierzchołek I oraz D prim jest niewidoczny. Bryła swoim obrysem przypomina gwiazdkę, której ramionami są ostrosłupy prawidłowe trójkątne. Wynika stąd, że ścianami tej bryły są trójkąty. Czubkami tej gwiazdy, są takie wierzchołki jak A  A prim B prim C prim C D prim oraz D. Wierzchołki A  E C leżą na jednej prostej, gdzie wierzchołek E łączy wierzchołki czterech sklejonych ze sobą sąsiadujących ostrosłupów. Podobnie wierzchołki A prim E prim oraz C prim również leżą na tej samej prostej, równoległej do prostej zawierającej wierzchołki A E C. Wierzchołek E prim łączy wierzchołki czterech sąsiadujących ze sobą ostrosłupów. Wierzchołki F G H I tworzą kwadrat leżący pomiędzy odcinkiem A C a A prim C prim. Są to wierzchołki skupiające cztery wierzchołki sklejonych ze sobą sąsiednich ostrosłupów.

Zaczniemy od wyznaczenia liczby wierzchołków. W górnej części bryły w jednej płaszczyźnie leży $5$ wierzchołków – są to: $A$, $B$, $C$, $D$ oraz $E$. Dla uproszczenia wierzchołki, które leżą w jednej płaszczyźnie w dolnej części bryły zostały zaznaczone „primami” – są to: $A\text{'}$, $B\text{'}$, $C\text{'}$, $D\text{'}$ oraz $E\text{'}$ (wierzchołek $D\text{'}$ nie jest widoczny). Przez środek bryły można poprowadzić kolejną płaszczyznę, w której leżą $4$ wierzchołki: $F$, $G$, $H$ oraz $I$ (niewidoczny).

Gdy znamy już liczbę wierzchołków, możemy stwierdzić, że wielościan ma $36$ krawędzi ($22$ widoczne na rysunku, pozostałe są niewidoczne) i $24$ ściany, które są trójkątami równobocznymi. 

Nazwa tej bryły to stella octangula (ośmiościan gwiaździsty).

Poniższe bryły mają taką samą liczbę wierzchołków, krawędzi oraz ścian, które są prostokątami. 

W przypadku bryły $ABCDEA\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}E\text{'}$: jeżeli wybierzemy dowolne dwa punkty bryły i połączymy je odcinkiem, to cały ten odcinek zawiera się w tej bryle. Inaczej to wygląda w przypadku wielościanu $KLMNOK\text{'}L\text{'}M\text{'}N\text{'}O\text{'}$. Bez problemu możemy znaleźć takie dwa punkty bryły, że odcinek, który je łączy, nie zawiera się całkowicie w bryle (na przykład odcinek $LN$).

R1HSGuo5WobId

Na ilustracji przedstawiono dwa graniastosłupy proste pięciokątne. W podstawie bryły pierwszej znajduje się pięciokąt wypukły. Podstawę dolną oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do E, natomiast górną odpowiadającymi literami z indeksem prim. W podstawie bryły drugiej znajduje się pięciokąt wklęsły. Podstawę dolną oznaczono wielkimi literami alfabetu od K do O, natomiast górną odpowiadającymi literami z indeksem prim.

Wielościany możemy więc podzielić na dwie grupy: wypukłewielościan wypukływypukłe i wklęsłewielościan wklęsływklęsłe.

Zastanów się, czy każdy wielościan ma przekątne? Czy w każdym wielościanie występują przekątne ścian?

Wielościan przedstawiony na poniższym rysunku posiada zarówno przekątne wielościanu, jak i przekątne ścian.

R1a4cGtBqMUJB

Na ilustracji przedstawiono wielościan, który jest graniastosłupem pięciokątnym ściętym. Zaznaczono dwie przekątne ściany bocznej oraz pięć przekątnych w podstawie, które stworzyły gwiazdę pięcioramienną.

Każda z pięciu ścian, która jest czworokątem, ma dwie przekątne. 

Pozostałe dwie ściany są pięciokątami, więc każda z nich ma pięć przekątnych.

W sumie wielościan przedstawiony na rysunku ma 20 przekątnych ścian.

RyVkA7UEKWn7L

Na ilustracji przedstawiono wielościan, który jest graniastosłupem pięciokątnym ściętym. Zaznaczono dwie przekątne bryły, które wychodzą z jednego wierzchołka.

Zauważmy, że z każdego wierzchołka górnego pięciokąta można poprowadzić dwa odcinki do wierzchołków dolnego pięciokąta, tak aby odcinki te nie zawierały się w ścianie bryły. W ten sposób można utworzyć $10$ przekątnych bryły.

Zastanów się, dlaczego w tym przypadku nie musimy tego rozumowania powtarzać dla wierzchołków z dolnego pięciokąta.

Czworościan jest przykładem wielościanu, który nie ma ani jednej przekątnej zarówno ściany, jak i bryły.

R106M1n4dM0v6

Na ilustracji przedstawiono czworościan, czyli bryłę której wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi.

Z kolei ośmiościan jest przykładem wielościanu, który ma trzy przekątne i ani jednej przekątnej ściany.

R7a39nkyGd23B

Na ilustracji przedstawiono wielościan, który wygląda jak sklejone ze sobą dwa ostrosłupy prawidłowe czworokątne o wspólnej podstawie.

Niektóre wielościany mają ciekawą własność.

Jeżeli w sześcianie środki sąsiednich ścian połączymy odcinkami, otrzymamy ośmiościan.

R18Zxc1Txk62D

Na ilustracji przedstawiono sześcian, wewnątrz którego znajduje się zacieniowany ośmiościan. Każdy wierzchołek ośmiościanu jest styczny do jednej ściany bocznej sześcianu.

Gdy podobnie postąpimy w ośmiościanie foremnym, czyli połączymy odcinkami środki sąsiednich ścian, to w wyniku tej operacji otrzymamy sześcian.

RFpxi4tOaDIl6

Na ilustracji przedstawiono ośmiościan wewnątrz, którego znajduje się zacieniowany sześcian. Każdy wierzchołek sześcianu jest styczny do jednej ściany bocznej ośmiościanu.

Wielościany o takiej własności nazywamy wielościanami dualnymi.

bryła przestrzenna, której wszystkie ściany są wielokątami

wielościan, w którym dowolne dwa punkty tworzą odcinek zawierający się w całości w tej bryle

wielościan, w którym istnieje przynajmniej jeden odcinek utworzony przez dowolne punkty tej bryły, który nie zawiera się w całości w tym wielościanie

odcinek, który łączy dwa sąsiednie wierzchołki bryły

odcinek łączący dwa wierzchołki bryły, które nie sąsiadują ze sobą, zawierający się w ścianie (wieloboku)

odcinek, który łączy wierzchołki wielościanu i nie należy do żadnej ściany tej bryły

wielościany, których wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i w każdym wierzchołku spotyka się taka sama liczba ścian