Potrafisz już wykonać konwersję liczby z oraz do systemu dziesiętnego. W tym materiale wykorzystamy te umiejętności podczas konwertowania liczby zapisanej w systemie szesnastkowymsystem szesnastkowysystemie szesnastkowym na binarnysystem binarnybinarny.

I sposób konwersji hex → bin

Pierwsza metoda zapisywania liczb szesnastkowych w postaci binarnej wymaga wykonania dwóch czynności:

1. przekształcenia liczby zapisanej w systemie szesnastkowym do postaci dziesiętnej;

2. przekształcenia otrzymanej liczby dziesiętnej do postaci w systemie dwójkowym.

W szesnastkowym systemie zapisu liczb wykorzystywanych jest 16 znaków. W przypadku niektórych symboli podajemy w nawiasach odpowiadające im wartości dziesiętne: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15).

Aby przeprowadzić pierwszy etap konwersji należy obliczyć wartość dziesiętną liczby zapisanej w systemie szesnastkowym. W tym celu:

• poszczególne znaki składające się na liczbę mnożymy przez ich wagi (czyli potęgi liczby 16 odpowiadające pozycji znaku);

• dodajemy do siebie otrzymane iloczyny.

Wykorzystując schemat Hornera, otrzymaliśmy liczbę w systemie dziesiętnym. Teraz wystarczy zapisać ją w postaci dwójkowej.

Przedstawimy jeden ze sposobów dokonania takiej konwersji, nadający się do przekształcania części całkowitej liczby. Inne metody (znajdujące także zastosowanie w przypadku części ułamkowej) zostały omówione w poprzednich e‑materiałach.

Aby zapisać liczbę dziesiętną w postaci binarnej, należy podzielić ją przez dwa i zapamiętać otrzymaną w wyniku działania resztę. Obliczony iloraz ponownie trzeba podzielić przez dwa (i zapamiętać kolejną resztę).  Czynności takie wykonuje się aż do momentu, w którym obliczony iloraz wyniesie 0. Uzyskane reszty z dzielenia, zapisane od ostatniej do pierwszej, utworzą zapis liczby w systemie dwójkowym.

Przykład 2

Zamienimy liczbę 299 na jej odpowiednik w systemie dwójkowym.

REUfUiKdwNHEP

Rysunek przedstawia dwie kolumny rozdzielone pionową linią. Po lewej stronie znajdują się zapisy działania matematycznego dzielenia. A po prawej stronie zapis zero‑jedynkowy wyniku tego działania. Dodatkowo narysowaną strzałkę skierowaną od 0 w górę. 1. 299:2, wynik w systemie dwójkowym zapisany po prawej stronie wynosi 1. 2. 149:2, wynik w systemie dwójkowym zapisany po prawej stronie wynosi 1. 3. 74:2, wynik w systemie dwójkowym zapisany po prawej stronie wynosi 0. 4. 37:2, wynik w systemie dwójkowym zapisany po prawej stronie wynosi 1. 5. 18:2, wynik w systemie dwójkowym zapisany po prawej stronie wynosi 0. 6. 9:2, wynik w systemie dwójkowym zapisany po prawej stronie wynosi 1. 7. 4:2, wynik w systemie dwójkowym zapisany po prawej stronie wynosi 0. 8. 2:2, wynik w systemie dwójkowym zapisany po prawej stronie wynosi 0. 9. 1:2, wynik w systemie dwójkowym zapisany po prawej stronie wynosi 1. 10. 0 nie ma zapisanego odpowiednika w systemie dwójkowym.

W ten właśnie sposób przekształciliśmy liczbę szesnastkową do postaci binarnej:

II sposób konwersji hex → bin (optymalny)

Każdy znak wykorzystywany w systemie szesnastkowym można przedstawić za pomocą czterech bitów. Oto tabela opisująca wszystkie symbole systemu szesnastkowego wraz z odpowiadającymi im liczbami dwójkowymi:

Jak wiemy, każda cyfra szesnastkowa odpowiada wartościom dziesiętnym z zakresu od 0 do 15. Możemy te wartości zapisać także na czterech pozycjach liczby w systemie binarnym.

Podstawa „16” oraz podstawa „2” są tzw. bazami skojarzonymibazy skojarzonebazami skojarzonymi. Oznacza to, że jedną z  baz można zapisać jako potęgę drugiej:

Wykładnik przedstawiający zależność między bazami skojarzonymi wskazuje równocześnie, na ilu pozycjach jednego systemu należy zapisać symbole systemu drugiego.

Drugi sposób konwersji liczby szesnastkowej do postaci binarnej polega zatem na zastąpieniu poszczególnych symboli szesnastkowych odpowiadającymi im 4‑bitowymi blokami. Łącząc poszczególne bloki w całość, otrzymamy liczbę w systemie dwójkowym. Przedstawiona metoda nadaje się także do przekształcania ułamkowej części liczby.

W kolejnej sekcji zastosujemy ten właśnie algorytm.

Słownik