Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

PRZYPOMNIJ SOBIE

Rozwiązanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi
Definicja: Rozwiązanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Rozwiązaniem układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy parę liczb spełniającą jednocześnie każde równanie danego układu równań.

Przykład 1

Dany jest układ równań y-x=-2x+y=2. Przedstawimy interpretację geometryczną tego układu. Sprawdzimy, czy posiada rozwiązanie.

Doprowadzamy pierwsze równanie do postaci kierunkowej.

y-x=-2

y=x-2

Wybieramy przykładowe punkty, których współrzędne spełniają to równanie. Mogą to być punkty przecięcia  wykresu z osiami układu współrzędnych.

X – punkt 2, 0

Y – punkt 0, -2

Zajmiemy się teraz drugim równaniem.

x+y=2

W tym równaniu pojawia się wartość bezwzględna liczby x.

Przypomnimy podstawowe informacje na temat wartości bezwzględnej.

Algebraicznie wartością bezwzględną liczby rzeczywistej a nazywamy:

  • liczbę a, jeśli liczba a jest nieujemna;

  • liczbę przeciwną do a, jeśli liczba a jest ujemna.

Wartość bezwzględną liczby rzeczywistejwartość bezwzględna liczby rzeczywistej (moduł liczby rzeczywistej)Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej a oznaczamy a.

Powyższą definicję możemy zapisać za pomocą wzoru

a=a,jeżeli a0-a,jeżeli a<0

A zatem wracając do równania x+y=2 mamy:

  • jeśli x0, to x=x
    i wtedy równanie przyjmuje postać:
    x+y=2

  • jeśli x<0, to x=-x
    i wtedy równanie przyjmuje postać:
    -x+y=2

Teraz przekształcamy równania do postaci kierunkowej i wybieramy punkty przez które przechodzi wykres.

x+y=2-x+y=2

y=-x+2y=x+2

Wybierając współrzędną musimy pamiętać o warunkach dotyczących zmiennej x.

x=0y=2 – otrzymujemy punkt 0, 2x=-2y=0 – otrzymujemy punkt -2, 0

x=2y=0 – otrzymujemy punkt 2, 0x=-1y=1 – otrzymujemy punkt -1, 1

Rysujemy wykresy obu równań i sprawdzamy, czy posiadają one punkty wspólne.

R1NCTYh05JyfP

Wykresy równań y-x=-2 oraz x+y=2 przecinają się w jednym punkcie o współrzędnych 2, 0.

Jak zawsze, przy metodzie graficznej, musimy jeszcze sprawdzić poprawność rozwiązania.

Podstawiamy wartości x=2y=0 do każdej ze stron każdego z równań układu.

L1=y-x=0-2=-2=P1

L2=x+y=2+0=2=P2

Otrzymaliśmy tożsamości, a zatem para liczb x=2y=0 jest rozwiązanie układu równańrozwiązanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymirozwiązanie układu równań

y-x=-2x+y=2.

Przykład 2

Rozwiążemy metodą graficzną układ równań x+y=1x=-3 .

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej przekształcamy pierwsze równanie rozpatrując przypadki.

x+y=1

y0y=yy<0y=-y

Wtedy równanie przyjmuje postać:

x+y=1x-y=1

y=-x+1y=x-1

Wybieramy przykładowe punkty, których współrzędne spełniają te równania. (Mogą to być punkty przecięcia  wykresu z osiami układu współrzędnych).

1, 0, 0, 1(3, 4), 0, -1

Wykres drugiego równania x=-3 jest prostą równoległą do osi Y.

Rysujemy wykresy obu równań i sprawdzamy, czy posiadają one punkty wspólne.

R1YDUg7wEfOjk

Wykresy przecinają się w dwóch punktach: -3, 4 oraz -3, -4.

Sprawdzamy poprawność odczytanych rozwiązań.

Dla pary x=-3y=4:

L1=x+y=-3+4=-3+4=1=P1

L2=-3=P2

Dla pary x=-3y=-4:

L1=x+y=-3+-4=-3+4=1=P1

L2=-3=P2

A zatem układ równań x+y=1x=-3  ma dwa rozwiązania: x=-3y=4 oraz x=-3y=-4.

Przykład 3

Rozwiążemy metodą graficzną układ równań x+y=33·x-y=1.

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej przekształcamy pierwsze równanie rozpatrując przypadki.

x+y=3

  • I przypadek – I ćwiartka układu współrzędnych

    x0y0 wtedy x=xy=y i równanie przyjmuje postać x+y=3

    Wybieramy pary, które należą do pierwszej ćwiartki układu współrzędnych  i spełniają to równanie.

    0, 3, 3, 0

  • II przypadek – II ćwiartka układu współrzędnych

    x<0y0 wtedy x=-xy=y i równanie przyjmuje postać -x+y=3

    Wybieramy pary, które należą do drugiej ćwiartki i spełniają to równanie.

    -1, 2, -3, 0

  • III przypadek – III ćwiartka układu współrzędnych

    x<0y<0 wtedy x=-x y=-y i równanie przyjmuje postać -x-y=3

    Wybieramy pary, które należą do trzeciej  ćwiartki układu współrzędnych  i spełniają to równanie.

    -1, -2, -2, -1

  • IV przypadek – IV ćwiartka układu współrzędnych

    x0y<0 wtedy x=xy=-y i równanie przyjmuje postać x-y=3

    Wybieramy pary, które należą do czwartej ćwiartki układu współrzędnych i spełniają to równanie.

    0, -3, 1, -2

RsuF8qZkmREVG

Zajmiemy się teraz drugim równaniem 3·x-y=1.

Rozpatrujemy przypadki wynikające z definicji wartości bezwzględnej liczby.

  • I przypadek:

    x0 wtedy x=x i równanie przyjmuje postać 3x-y=1.

    Przekształcamy równanie:

    y=3x-1

    Wybieramy pary liczb spełniające to równanie:

    0, -1, 1, 2, 2, 5

  • II przypadek:

    x<0 wtedy x=-x i równanie przyjmuje postać -3x-y=1.

    Przekształcamy równanie:

    y=-3x-1

    Wybieramy pary liczb spełniające to równanie:

    -2, 5, -1, 2

A więc wykres równania ma postać:

RzjUdFPS7dQCQ

Umieszczamy powyższe wykresy w jednym układzie współrzędnych.

R1NDIBzeYgl2m

Wykresy przecinają się w dwóch punktach -1, 2 oraz 1, 2.

Sprawdzamy poprawność odczytanych rozwiązań.

Dla pary x=-1y=2:

L1=x+y=-1+2=3=P1

L2=3·x-y=3·-1-2=3-2=1=P2

Dla pary x=1y=2:

L1=x+y=1+2=3=P1

L2=3·x-y=3·1-2=3-2=1=P2

A zatem układ równań x+y=33·x-y=1 ma dwa rozwiązania: x=-1y=2 oraz x=1y=2.

Przykład 4

Rozwiążemy metodą graficzną układ równań 2x-2y=4x+y=2.

Doprowadzamy pierwsze równanie do postaci kierunkowej.

2x-2y=4

2y=2x-4 |:2

y=x-2

Wybieramy przykładowe punkty, których współrzędne spełniają to równanie. Mogą to być punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych.

X – punkt 2, 0

Y – punkt 0, -2

Rysujemy wykres równania 2x-2y=4.

R95gqeZdNiclF

Zajmiemy się teraz drugim równaniem x+y=2.

Rozpatrujemy przypadki wynikające z definicji wartości bezwzględnej liczby.

  • I przypadek:

    x+y0y-xx+y=x+y

    Wtedy równanie przyjmuje postać

    x+y=2.

    Przekształcamy je do postaci kierunkowej i dobieramy pary liczb będące rozwiązaniem.

    y=-x+2

    0, 2, 2, 0

  • II przypadek:

    x+y<0y<-xx+y=-x-y

    Wtedy równanie przyjmuje postać

    -x-y=2.

    Przekształcamy je do postaci kierunkowej i dobieramy pary liczb będące rozwiązaniem.

    y=-x-2

    0, -2, -2, 0

Rysujemy wykres równania x+y=2.

Rqv0eptspPR7w

Umieszczamy wykresy obu równań w jednym układzie współrzędnych.

RGpORvTf8ma0S

Wykresy przecinają się w dwóch punktach 0, -2 oraz 2, 0.

Sprawdzamy poprawność odczytanych rozwiązań.

Dla pary x=0y=-2:

L1=2x-2y=2·0-2·-2=4=P1

L2=x+y=0-2=2=P2

Dla pary x=2y=0:

L1=2x-2y=2·2-2·0=4=P1

L2=x+y=2+0=2=P2

A zatem układ równań 2x-2y=4x+y=2  ma dwa rozwiązania: x=0y=-2  oraz x=2y=0.

Przykład 5

Określimy liczbę rozwiązań układu równań x+y=4y=m w zależności od parametru m.

Korzystając z przykładu 3, wiemy jaką postać będzie miał wykres równania x+y=4.

Wyznaczymy jedynie punkty  przecięcia  wykresu  z osiami XY.

X – punkty -4, 0, 4, 0

Y – punkty 0, -4, 0, 4

Rysujemy wykres.

R388SQ3qnenSG

Rozpatrzymy teraz położenie wykresu równania y=m w zależności od parametru m.

Wykres jest prostą równoległą do osi X, a parametr m „przesuwa” tą prostą wzdłuż osi Y.

Przyjrzyjmy się następującym przypadkom:

  • m=-5

Wtedy równanie przyjmuje postać y=5.

RgFlHeKRlzxvz

Wykresy nie mają teraz punktów wspólnych. Widać, że analogiczna sytuacja będzie dla wszystkich m<-4, np.:

R17GcvN4Un4Bg

A także dla wszystkich m>4, np.:

R1SYdUKzNfXsm
  • m=-4 lub m=4

RC5dkQO5bWPaQ

Wykresy równań x+y=4y=4 oraz x+y=4y=-4 mają jeden punkt wspólny.

  • m=2

RAp2gLINmTv1i

Wykresy równań x+y=4y=2 mają dwa punkty wspólne.

Zauważmy, że analogiczna sytuacja będzie dla m-4, 4, np.:

RxHacwyLQaCez

Podsumowujmy nasze rozważania.

Układ równań x+y=4y=m :

  • nie ma rozwiązań dla m-, -44, ;

  • ma jedno rozwiązanie dla m-4, 4;

  • ma dwa rozwiązania dla m-4, 4.

Słownik

rozwiązanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi
rozwiązanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

para liczb spełniających każde z równań składowych w tym układzie

wartość bezwzględna liczby rzeczywistej (moduł liczby rzeczywistej)
wartość bezwzględna liczby rzeczywistej (moduł liczby rzeczywistej)
a=a,jeżeli a0-a,jeżeli a<0