Przeczytaj

Nierówność kwadratowa

Definicja: Nierówność kwadratowa

Nierównością kwadratową z niewiadomą $x$ nazywamy każdą nierówność postaci

$a x^{2} + b x + c > 0$ lub $a x^{2} + b x + c \geq 0$ lub $a x^{2} + b x + c < 0$ lub $a x^{2} + b x + c \leq 0$

gdzie:
$a$ , $b$ , $c$ – są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i $a \neq 0$ .

Do rozwiązania nierówności kwadratowej cenną umiejętnością jest rozwiązywanie równań kwadratowych. Ponadto niezbędna jest również umiejętność rysowania wykresu funkcji kwadratowej oraz odczytywania własności funkcji z wykresu.

Zbiorem rozwiązań nierówności jest najczęściej przedział liczbowy lub suma przedziałów. Zdarza się, że rozwiązaniem nierówności jest zbiór składający się z jednej liczby. Nierówność kwadratowa może również nie posiadać rzeczywistych rozwiązań.

Nierówności, w których wszystkie współczynniki trójmianu kwadratowego są różne od $0$ , nazywamy nierównościami kwadratowymi zupełnymi.

Przykład 1

Rozwiążemy nierówność kwadratową zupełnąnierówność kwadratowa zupełnanierówność kwadratową zupełną $x^{2} - x - 2 > 0$ .

Skorzystamy z własności odpowiedniej funkcji kwadratowej. W celu wyznaczenia miejsc zerowych funkcji $f (x) = x^{2} - x - 2$ rozwiążemy najpierw równanie $x^{2} - x - 2 = 0$ .

$∆ = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 1 + 8 = 9$

$\sqrt{∆} = 3$

$x_{1} = \frac{1 - 3}{2} = - 1$

$x_{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$

Następnie na osi liczbowej zaznaczymy miejsca zerowe utworzonej funkcji oraz szkicujemy parabolę, będącą wykresem tej funkcji, przechodzącą przez wyznaczone punkty. Ramiona paraboli skierowane są do góry, bo współczynnik przy $x^{2}$ jest dodatni.

RkpLNGUjLDGtN

Ilustracja przedstawia oś x. Na tej osi zaznaczone są dwa punkty o współrzędnych: 1 oraz 2. Przez te punkty przechodzi parabola o ramionach skierowanych w górę. Po lewej stronie od punktu 1. Nad osią x, a pod parabolą znajdują się dwa znaki plus. Po prawej stronie od punktu 2, nad osią x, a pod parabolą również znajdują się dwa znaki plus.

Z wykresu odczytujemy, że $x \in (- \infty, - 1) \cup (2, \infty)$ .

Zbiór rozwiązań nierówności tworzą wszystkie liczby $x \in (- \infty, - 1) \cup (2, \infty)$ .

Przykład 2

Rozwiążemy nierówność kwadratową z niewiadomąnierówność kwadratową z niewiadomą $x$ :

$- x^{2} - 6 x - 9 < 0$ .

Obliczamy miejsce zerowe odpowiedniej funkcji $f (x) = - x^{2} - 6 x - 9$ .

$- {(x + 3)}^{2} = 0$

$x = - 3$

Funkcja posiada jedno miejsce zerowe, a ramiona paraboli będącej wykresem funkcji skierowane są do dołu, bo współczynnik przy $x^{2}$ jest liczbą ujemną.

R1Q7AX0OGmokh

Ilustracja przedstawia oś x. Na tej osi zaznaczony jest jeden punkt o współrzędnej minus 3. Punkt ten jest wierzchołkiem paraboli, której ramiona są skierowane do dołu. Po lewej stronie od punktu minus 3, pod osią x, a nad parabolą znajdują się dwa znaki minus. Po prawej stronie od punktu minus 3, pod osią x, a nad parabolą również znajdują się dwa znaki minus.

x \in ℝ ∖ \{- 3\}

Przykład 3

Obliczymy zbiór rozwiązań nierówności $x^{2} - 2 x + 5 \leq 0$ .

$∆ = {(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = - 16 < 0$ .

Rozpatrzymy najpierw równanie $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ . Równanie nie ma pierwiastków. Współczynnik przy $x^{2}$ jest dodatni, zatem parabola, będąca interpretacją geometryczną równania, znajduje się nad osią $X$ .

RDAHWirYWbUQE

Ilustracja przedstawia oś x. Nad osią znajduje się parabola o ramionach skierowanych w górę. Po lewej stronie od paraboli nad osią x znajdują się dwa znaki plus. Po prawej stronie od paraboli, nad osią x również znajdują się dwa znaki plus.

Nierówność jest sprzeczna.

Przykład 4

Rozwiążemy nierówność $- 2 x^{2} + x - 7 < 0$ .

$∆ = 1^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 7) = 1 - 56 = - 55 < 0$ .

Równanie $- 2 x^{2} + x - 7 = 0$ nie posiada rzeczywistych rozwiązań.

Ramiona paraboli, bedącej interpretacją geometryczną równania, skierowane są do dołu, zatem parabola znajduje się pod osią $X$ .

RBopqJelcXxJW

Ilustracja przedstawia oś x. Pod osią znajduje się parabola z ramionami skierowanymi do dołu. Po lewej stronie od paraboli pod osią x znajdują się dwa znaki minus. Po prawej stronie od paraboli, pod osią również znajdują się dwa znaki minus.

Oznacza to, że nierówność jest prawdziwa dla dowolnego $x \in ℝ$ .

Przykład 5

Dane są zbiory $A$ i $B$ . Wyznaczymy zbiór $A \cap B$ .

$A = \{x \in ℝ : x^{2} - x - 6 \leq 0\}$ ,

$B = \{x \in ℝ : - x^{2} + 3 x + 4 \geq 0\}$ .

Rozwiążemy najpierw nierówność $x^{2} - x - 6 \leq 0$ .

Korzystając z wzorów Viete’a, zapiszemy lewą stronę nierówności w postaci iloczynowej.

$(x - 3) (x + 2) \leq 0$

$x = 3$ lub $x = - 2$

RdxDThwTheHGd

Ilustracja przedstawia oś x. Na tej osi zaznaczone są dwa punkty o współrzędnych: minus 2 oraz 3. Przez te punkty przechodzi parabola o ramionach skierowanych w górę. Część paraboli znajdująca się pomiędzy tymi punktami jest pod osią. Pod osią x a nad parabolą, pomiędzy tymi punktami znajdują się dwa znaki minus.

$x \in ⟨- 2, 3⟩$ , czyli $A = ⟨- 2, 3⟩$

Rozwiążemy nierówność $- x^{2} + 3 x + 4 \geq 0$ .

$- (x + 1) (x - 4) \geq 0$

$x = - 1$ lub $x = 4$

R1TSMd5WGdb9Y

Ilustracja przedstawia oś x. Na tej osi zaznaczone są dwa punkty o współrzędnych: minus 1 oraz 4. Przez te punkty przechodzi parabola o ramionach skierowanych w dół. Część paraboli znajdująca się pomiędzy tymi punktami jest nad osią. Nad osią x a pod parabolą, pomiędzy tymi punktami znajdują się dwa znaki plus.

$x \in ⟨- 1, 4⟩$ czyli $B = ⟨- 1, 4⟩$

Wyznaczymy teraz część wspólną zbiorów $A$ i $B$ .

R1AsYHk245gmw

Ilustracja przedstawia oś x. Na tej osi zaznaczone są 4 punkty o współrzędnych kolejno: minus 2, minus 1, 3 oraz 4. Punkty te połączone są w pary odpowiednio: minus 2 z 3 oraz minus 1 z 4. Punkty zostały połączone ze sobą w taki sposób, że pionowe linie wychodzące z tych punktów, są połączone poziomą linią tworząc z osią x prostokąt. Oba prostokąty znajdują się nad osią x. Prostokąt utworzony z punktów minus 2 i 3 jest niższy i ma kolor niebieski. Prostokąt utworzony z punktów minus 1 i 4 jest wyższy i ma kolor różowy.

Zatem $A \cap B = ⟨- 1, 3⟩$ .

Słownik

nierówność kwadratowa z niewiadomą

x

nierówność kwadratowa z niewiadomą

x

jest to każda nierówność postaci:

$a x^{2} + b x + c > 0$ lub $a x^{2} + b x + c \geq 0$ lub $a x^{2} + b x + c < 0$ lub $a x^{2} + b x + c \leq 0$

gdzie:
$a$ , $b$ , $c$ – są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i $a \neq 0$

nierówność kwadratowa zupełna

nierówność, w której wszystkie współczynniki trójmianu kwadratowego są różne od $0$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik