Nierównością kwadratową z niewiadomą nazywamy każdą nierówność postaci
lub lub lub
gdzie: , , – są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i .
Do rozwiązania nierówności kwadratowej cenną umiejętnością jest rozwiązywanie równań kwadratowych. Ponadto niezbędna jest również umiejętność rysowania wykresu funkcji kwadratowej oraz odczytywania własności funkcji z wykresu.
Zbiorem rozwiązań nierówności jest najczęściej przedział liczbowy lub suma przedziałów. Zdarza się, że rozwiązaniem nierówności jest zbiór składający się z jednej liczby. Nierówność kwadratowa może również nie posiadać rzeczywistych rozwiązań.
Nierówności, w których wszystkie współczynniki trójmianu kwadratowego są różne od , nazywamy nierównościami kwadratowymi zupełnymi.
Skorzystamy z własności odpowiedniej funkcji kwadratowej. W celu wyznaczenia miejsc zerowych funkcji rozwiążemy najpierw równanie .
Następnie na osi liczbowej zaznaczymy miejsca zerowe utworzonej funkcji oraz szkicujemy parabolę, będącą wykresem tej funkcji, przechodzącą przez wyznaczone punkty. Ramiona paraboli skierowane są do góry, bo współczynnik przy jest dodatni.
RkpLNGUjLDGtN
Z wykresu odczytujemy, że .
Zbiór rozwiązań nierówności tworzą wszystkie liczby .
Funkcja posiada jedno miejsce zerowe, a ramiona paraboli będącej wykresem funkcji skierowane są do dołu, bo współczynnik przy jest liczbą ujemną.
R1Q7AX0OGmokh
Przykład 3
Obliczymy zbiór rozwiązań nierówności .
.
Rozpatrzymy najpierw równanie . Równanie nie ma pierwiastków. Współczynnik przy jest dodatni, zatem parabola, będąca interpretacją geometryczną równania, znajduje się nad osią .
RDAHWirYWbUQE
Nierówność jest sprzeczna.
Przykład 4
Rozwiążemy nierówność .
.
Równanie nie posiada rzeczywistych rozwiązań.
Ramiona paraboli, bedącej interpretacją geometryczną równania, skierowane są do dołu, zatem parabola znajduje się pod osią .
RBopqJelcXxJW
Oznacza to, że nierówność jest prawdziwa dla dowolnego .
Przykład 5
Dane są zbiory i . Wyznaczymy zbiór .
,
.
Rozwiążemy najpierw nierówność .
Korzystając z wzorów Viete’a, zapiszemy lewą stronę nierówności w postaci iloczynowej.
lub
RdxDThwTheHGd
, czyli
Rozwiążemy nierówność .
lub
R1TSMd5WGdb9Y
czyli
Wyznaczymy teraz część wspólną zbiorów i .
R1AsYHk245gmw
Zatem .
Słownik
nierówność kwadratowa z niewiadomą
nierówność kwadratowa z niewiadomą
jest to każda nierówność postaci:
lub lub lub
gdzie: , , – są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i
nierówność kwadratowa zupełna
nierówność kwadratowa zupełna
nierówność, w której wszystkie współczynniki trójmianu kwadratowego są różne od