Przeczytaj
Zastosowanie funkcji w programach
Funkcje stosujemy zazwyczaj wtedy, gdy w kodzie powtarzają się pewne operacje. W takiej sytuacji wystarczy zapisać je jednorazowo w treści definiowanej funkcji, którą następnie możemy wielokrotnie wywoływać w programie. W ten sposób kod będzie krótszy, bardziej przejrzysty, łatwiejszy w analizie i w razie ewentualnych problemów wystarczy poprawić tylko treść funkcji, a nie wielokrotnie tę samą operację. Możemy dojść do mylnego wniosku, że funkcje znajdują zastosowanie tylko w obszernych, długich programach. Tak oczywiście nie jest i wszystkie wymienione zalety korzystania z nich mają zastosowanie również w przypadku prostych kodów.
Rozwiązywanie układu równań metodą wyznaczników
Analiza algorytmu
Skupimy się teraz na algorytmie rozwiązywania układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi metodą wyznacznikówmetodą wyznaczników. Na samym początku określmy, jak powinien wyglądać nasz układ równań:
Poszukiwanymi niewiadomymi są x
oraz y
. Pozostałe liczby a
, b
, c
, d
, e
, f
wykorzystamy przy obliczaniu wyznaczników W
, W
Indeks dolny x
Indeks dolny koniecx
oraz W
Indeks dolny y
Indeks dolny koniecy
. Zastosujemy następujące zależności:
Gdy mamy wartości wszystkich wyznaczników, pozostaje już tylko wyliczyć niewiadome z tzw. wzorów Cramera:
W ten sposób rozwiązaliśmy cały układ równań.
Schemat blokowy
Algorytm w postaci schematu blokowego prezentuje się następująco:
Analiza różnych przypadków
Przedstawiony algorytm nie jest skomplikowany, należy jednakże rozpatrzyć sytuację, w której mielibyśmy do czynienia z nieoznaczonym lub sprzecznym układem równań. Opisaną metodę przetestujemy na trzech przykładach.
Do przetestowania przygotowaliśmy układ równań przedstawiony poniżej:
Będziemy wykonywać dla niego kolejne kroki algorytmu, rozpoczynając od wyliczenia wyznaczników.
Dla każdego wyznacznika otrzymana wartość jest różna od 0
. Zapamiętajmy to, ponieważ będzie to istotne przy porównaniu rozpatrywanego przykładu z kolejnymi. Przejdźmy teraz do ostatniego punktu naszego algorytmu, czyli wyliczenia niewiadomych.
W wyniku przeprowadzonych operacji znaleźliśmy wartości naszych niewiadomych. Możemy jasno stwierdzić, że przedstawiony układ równań był oznaczony, ponieważ ma on tylko jedno rozwiązanie, będące parą liczb x
oraz y
.
Tym razem nasz układ równań prezentuje się następująco:
Tak jak w poprzednim przykładzie obliczamy wartości wyznaczników.
Zwróćmy uwagę, że wyznacznik W
równy jest 0
. Może być to kłopotliwe, ponieważ jest on dzielnikiem w ilorazie obliczanym przy wyznaczaniu wartości niewiadomych. Na tym etapie możemy zakończyć nasz algorytm, gdyż sytuacja, w której W = 0
i przynajmniej jeden z pozostałych dwóch wyznaczników jest różny od 0
, oznacza, że mamy do czynienia ze sprzecznym układem równań (nieposiadającym rozwiązań).
W ostatnim już przykładzie wybraliśmy poniższy układ równań:
Wyliczamy wyznaczniki:
Sytuacja jest dość nietypowa, ponieważ wszystkie obliczone wartości wynoszą 0
. Oznacza to, że mamy do czynienia z nieoznaczonym układem równań (ma on nieskończoną liczbę rozwiązań).
Analizując wyniki z każdego przykładu, możemy sformułować zależności między wartościami wyznaczników a typami układów równań. Prezentują się one następująco:
Układ równań jest oznaczony, gdy:
Układ równań jest sprzeczny, gdy:
Układ równań jest nieoznaczony, gdy:
W ten sposób dotarliśmy do końca matematycznego i słownego opisu metody wyznaczników dla układów dwóch równań z dwiema niewiadomymi.
Słownik
układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci tablicy (w wierszach i kolumnach)
metoda, która polega na rozwiązywaniu układu równań za pomocą wyznaczników; więcej na jej temat znajdziesz w e‑materiale Metoda wyznacznikowa rozwiązywania układu równań liniowych z dwiema niewiadomymiMetoda wyznacznikowa rozwiązywania układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi