Przeczytaj

Zastosowanie funkcji w programach

Funkcje stosujemy zazwyczaj wtedy, gdy w kodzie powtarzają się pewne operacje. W takiej sytuacji wystarczy zapisać je jednorazowo w treści definiowanej funkcji, którą następnie możemy wielokrotnie wywoływać w programie. W ten sposób kod będzie krótszy, bardziej przejrzysty, łatwiejszy w analizie i w razie ewentualnych problemów wystarczy poprawić tylko treść funkcji, a nie wielokrotnie tę samą operację. Możemy dojść do mylnego wniosku, że funkcje znajdują zastosowanie tylko w obszernych, długich programach. Tak oczywiście nie jest i wszystkie wymienione zalety korzystania z nich mają zastosowanie również w przypadku prostych kodów.

Rozwiązywanie układu równań metodą wyznaczników

Analiza algorytmu

Skupimy się teraz na algorytmie rozwiązywania układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi metodą wyznacznikówmetoda wyznacznikówmetodą wyznaczników. Na samym początku określmy, jak powinien wyglądać nasz układ równań:

{\begin{array}{rrr} a x + b y & = & c \\ d x + e y & = & f \end{array}

Poszukiwanymi niewiadomymi są x oraz y. Pozostałe liczby a, b, c, d, e, f wykorzystamy przy obliczaniu wyznaczników W, WIndeks dolny x Indeks dolny koniec oraz WIndeks dolny y Indeks dolny koniec. Zastosujemy następujące zależności:

W = | \begin{array}{cc} a & b \\ d & e \end{array} | = a \cdot e - b \cdot d

W_{x} = | \begin{array}{cc} c & b \\ f & e \end{array} | = c \cdot e - b \cdot f

W_{y} = | \begin{array}{cc} a & c \\ d & f \end{array} | = a \cdot f - c \cdot d

Gdy mamy wartości wszystkich wyznaczników, pozostaje już tylko wyliczyć niewiadome z tzw. wzorów Cramera:

{\begin{array}{rrr} x & = & \frac{W_{x}}{W} \\ y & = & \frac{W_{y}}{W} \end{array}

W ten sposób rozwiązaliśmy cały układ równań.

Schemat blokowy

Algorytm w postaci schematu blokowego prezentuje się następująco:

RfbRL2jLH2VHH

Algorytm w postaci schematu blokowego. 1: Zielony okrąg Start, 2: Fioletowy równoległobok Pobierz a, b, c, d, e, f, 3: Różowy prostokąt W=a razu e‑b razy d, Wx= c razy e‑b razy f, Wy= a razy f‑c razy d, 4: Niebieski romb Czy W=0? Dla tak w punkcie 4, 5: Niebieski romb Czy Wx=0 i Wy=0? Dla tak w punkcie 5. 6: Fioletowy równoległobok Wypisz "Układ równań jest nieoznaczony", 7: Czerwony okrąg Stop. Dla nie w punkcie 5. 6: Fioletowy równoległobok Wypisz "Układ równań jest sprzeczny", 7: Czerwony okrąg Stop. Dla nie w punkcie 4, 5: Różowy prostokąt x=Wx/W, y=Wy/w. 6: Fioletowy równoległobok Wypisz x, y. 7: Czerwony okrąg Stop. — Źródło: Contentplus.pl Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Analiza różnych przypadków

Przedstawiony algorytm nie jest skomplikowany, należy jednakże rozpatrzyć sytuację, w której mielibyśmy do czynienia z nieoznaczonym lub sprzecznym układem równań. Opisaną metodę przetestujemy na trzech przykładach.

Przykład 1

Do przetestowania przygotowaliśmy układ równań przedstawiony poniżej:

{\begin{array}{rrr} 2 x + 2 y & = & 20 \\ 6 x + 7 y & = & 67 \end{array}

Będziemy wykonywać dla niego kolejne kroki algorytmu, rozpoczynając od wyliczenia wyznaczników.

W = | \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 6 & 7 \end{array} | = 2 \cdot 7 - 2 \cdot 6 = 2

W_{x} = | \begin{array}{cc} 20 & 2 \\ 67 & 7 \end{array} | = 20 \cdot 7 - 2 \cdot 67 = 6

W_{y} = | \begin{array}{cc} 2 & 20 \\ 6 & 67 \end{array} | = 2 \cdot 67 - 20 \cdot 6 = 14

Dla każdego wyznacznika otrzymana wartość jest różna od 0. Zapamiętajmy to, ponieważ będzie to istotne przy porównaniu rozpatrywanego przykładu z kolejnymi. Przejdźmy teraz do ostatniego punktu naszego algorytmu, czyli wyliczenia niewiadomych.

{\begin{array}{rrr} x & = & \frac{6}{2} \\ y & = & \frac{14}{2} \end{array}

{\begin{array}{rrr} x & = & 3 \\ y & = & 7 \end{array}

W wyniku przeprowadzonych operacji znaleźliśmy wartości naszych niewiadomych. Możemy jasno stwierdzić, że przedstawiony układ równań był oznaczony, ponieważ ma on tylko jedno rozwiązanie, będące parą liczb x oraz y.

Przykład 2

Tym razem nasz układ równań prezentuje się następująco:

{\begin{array}{rrr} x + 4 y & = & 9 \\ 3 x + 12 y & = & 10 \end{array}

Tak jak w poprzednim przykładzie obliczamy wartości wyznaczników.

W = | \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 3 & 12 \end{array} | = 1 \cdot 12 - 4 \cdot 3 = 0

W_{x} = | \begin{array}{cc} 9 & 4 \\ 10 & 12 \end{array} | = 9 \cdot 12 - 4 \cdot 10 = 68

W_{y} = | \begin{array}{cc} 1 & 9 \\ 3 & 10 \end{array} | = 1 \cdot 10 - 9 \cdot 3 = - 17

Zwróćmy uwagę, że wyznacznik W równy jest 0. Może być to kłopotliwe, ponieważ jest on dzielnikiem w ilorazie obliczanym przy wyznaczaniu wartości niewiadomych. Na tym etapie możemy zakończyć nasz algorytm, gdyż sytuacja, w której W = 0 i przynajmniej jeden z pozostałych dwóch wyznaczników jest różny od 0, oznacza, że mamy do czynienia ze sprzecznym układem równań (nieposiadającym rozwiązań).

Przykład 3

W ostatnim już przykładzie wybraliśmy poniższy układ równań:

{\begin{array}{rrr} 2 x + 4 y & = & 10 \\ x + 2 y & = & 5 \end{array}

Wyliczamy wyznaczniki:

W = | \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} | = 2 \cdot 2 - 4 \cdot 1 = 0

W_{x} = | \begin{array}{cc} 10 & 4 \\ 5 & 2 \end{array} | = 10 \cdot 2 - 4 \cdot 5 = 0

W_{y} = | \begin{array}{cc} 2 & 10 \\ 1 & 5 \end{array} | = 2 \cdot 5 - 10 \cdot 1 = 0

Sytuacja jest dość nietypowa, ponieważ wszystkie obliczone wartości wynoszą 0. Oznacza to, że mamy do czynienia z nieoznaczonym układem równań (ma on nieskończoną liczbę rozwiązań).

Analizując wyniki z każdego przykładu, możemy sformułować zależności między wartościami wyznaczników a typami układów równań. Prezentują się one następująco:

Układ równań jest oznaczony, gdy:

W \neq 0

Układ równań jest sprzeczny, gdy:

W = 0 i (W_{x} \neq 0 l u b W_{y} \neq 0)

Układ równań jest nieoznaczony, gdy:

W = 0 i W_{x} = 0 i W_{y} = 0

W ten sposób dotarliśmy do końca matematycznego i słownego opisu metody wyznaczników dla układów dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

Słownik

macierz

układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci tablicy (w wierszach i kolumnach)

metoda wyznaczników

metoda, która polega na rozwiązywaniu układu równań za pomocą wyznaczników; więcej na jej temat znajdziesz w e‑materiale Metoda wyznacznikowa rozwiązywania układu równań liniowych z dwiema niewiadomymiP1GfCfRXFMetoda wyznacznikowa rozwiązywania układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Wprowadzenie

Schemat interaktywny