Równoległość prostych

Rozważmy proste opisane równaniami

gdzie $(A,B)\ne (0,0)$ i $(C,D)\ne (0,0)$.
Jeśli żadna z prostych nie jest równoległa do osi $Y$, to $B\ne 0$ i $E\ne 0$.

Możemy wówczas przekształcić ich równania do postaci kierunkowej otrzymując odpowiednio

Warunek równoległości orzeka, że proste są równoległe dokładnie wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe, zatem gdy

Otrzymane równanie można przekształcić do postaci

Zauważmy, że w przypadku, gdy jedna z prostych jest równoległa do osi $Y$, to są one równoległe do siebie nawzajem dokładnie wtedy, gdy współczynniki $B$ i $E$ są jednocześnie równe zeru. Wówczas wyrażenie $AE-BD$ również przyjmuje wartość zero. Zatem możemy sformułować następujący wniosek:

Proste o równaniach

gdzie $(A,B)\ne (0,0)$ i $(C,D)\ne (0,0)$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek $AE-BD=0$.

Prostopadłość prostych

Rozważmy proste opisane równaniami

gdzie $(A,B)\ne (0,0)\text{ i }(C,D)\ne (0,0)$.
Jeśli żadna z prostych nie jest równoległa do osi $Y$, to $B\ne 0\text{ i }E\ne 0$.

Możemy wówczas przekształcić ich równania do postaci kierunkowej otrzymując odpowiednio

Warunek prostopadłości orzeka, że proste są prostopadłe dokładnie wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $(-1)$, zatem gdy

Otrzymane równanie można przekształcić do postaci

Zauważmy, że w przypadku, gdy jedna z prostych jest równoległa do osi $Y$, to ma ona równanie postaci $Ax+C=0$. Wówczas prosta do niej prostopadła jest równoległakryterium równoległości prostychrównoległa do osi $X$, zatem opisuje się równaniem postaci $Ey+F=0$. Zatem możemy przyjąć, że $B=0\text{ i }D=0$, ale wtedy wyrażenie $AD+BE$ również przyjmuje wartość zero. Zatem możemy sformułować następujący wniosek:

Proste o równaniach $Ax+By+C=0\text{ i }Dx+Ey+F=0$, gdzie $(A;B)\ne (0;0)$ i $(C;D)\ne (0;0)$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek $AD+BE=0$.

Słownik