Z pierwszego prawa Keplera dowiadujemy się, że planety krążą po elipsach, a Słońce znajduje się w jednym z ognisk tych elips.
R1Xw3cmcwq4TJ
Punkty i to ogniska elipsy. W znajduje się Słońce. Odległość nazywamy wielką półosiąWielka półoświelką półosią elipsy, - małą półosiąMała półośmałą półosią elipsy, natomiast to odległość pomiędzy ogniskiem elipsy a jej środkiem. Odległości i to odpowiednio odległość do apheliumApheliumaphelium oraz odległość do peryheliumPeryheliumperyhelium. Zauważmy, że , natomiast .
Kepler na początku XVII wieku analizował obserwacyjne dane, które dotyczyły położenia planet na niebie w znanych odstępach czasu pomiędzy kolejnymi pomiarami. Dzięki temu wyznaczył zależność, jaką sformułował w swoim drugim prawie.
II prawo Keplera:
W równych odstępach czasu promień wodzący planety, poprowadzony od Słońca, zakreśla równe pola.
Kepler sformułował to prawo również w następujący sposób: prędkość polowa w ruchu planet wokół Słońca jest stała. Czym jest prędkość polowa? Dziś nie używamy często tego pojęcia. Zostało one wprowadzone w czasach, kiedy nie znano prawa grawitacji (Newton urodził się kilkadziesiąt lat później), a także nie znano zasady zachowania momentu pędu, z której wynika drugie prawo Keplera. Jeżeli promień wodzący zakreśla w pewnym czasie pole powierzchni , wówczas prędkość polowa zdefiniowana jest jako
Więcej o zależności pomiędzy momentem pędu a drugim prawem Keplera dowiesz się w e‑materiale „Jaki jest związek między II prawem Keplera a zasadą zachowania momentu pędu?”.
RH96ERT0PqbVH
Zgodnie z II prawem Keplera, pola zaznaczone w różnych miejscach orbity szarym kolorem na Rys. 2., zakreślone przez promienie wodzące w równych odstępach czasu, są sobie równe. Blisko peryhelium, gdzie promienie wodzące są najkrótsze, planeta zakreśla większy łuk – przebywa dłuższą drogę – niż w pobliżu aphelium, w którym promienie wodzące są najdłuższe.
Wyobraźmy sobie, że elipsa jest tak duża, że jej wybrane fragmenty w krótkich przedziałach czasu możemy przybliżyć trójkątami. Rozważmy pola powierzchni zakreślone przez promienie wodzące w peryhelium () i aphelium () w czasie . Zgodnie z drugim prawem Keplera, pola te są sobie równe. Jeżeli skorzystamy z przybliżenia tych pól trójkątami równoramiennymi, wóczas w aphelium pole powierzchni zakreślone przez promień wodzący jest równe
a w peryhelium
przy założeniu, że promienie i są wysokościami tych trójkątów, a przebyte przez planetę drogi i ich podstawami.
Dodatkowo wiemy, że . Ponieważ pole musi zostać zachowane w ustalonym przedziale czasu, to otrzymujemy równość
Z równości tej otrzymujemy zależność pomiędzy prędkościami w aphelium i peryhelium
gdzie to wielka półoś, to odległość ogniska od środka elipsy, a to mimośród elipsyMimośród (ekscentryczność)mimośród elipsy. Z tej zależności jasno wynika, że prędkość orbitalna planety w peryhelium będzie zawsze największa, a w aphelium najmniejsza.
Słowniczek
Wielka półoś
Wielka półoś
(ang.: semi‑major axis) - odległość pomiędzy środkiem elipsy a jej najdalszym punktem od tego środka.
Mała półoś
Mała półoś
(ang.: semi‑minor axis) - odległość pomiędzy środkiem elipsy a jej najbliższym punktem od tego środka.
Mimośród (ekscentryczność)
Mimośród (ekscentryczność)
(ang.: eccentricity) - określa, jak bardzo elipsa jest spłaszczona. Im większy mimośród, tym większe spłaszczenie. Gdy mimośród jest równy zero, wówczas mamy do czynienia z okręgiem.
Aphelium
Aphelium
(ang.: aphelion) - najdalszy od Słońca punkt orbity.
Peryhelium
Peryhelium
(ang.: perihelion) - najbliższy Słońcu punkt orbity.