Warto przeczytać

Z pierwszego prawa Keplera dowiadujemy się, że planety krążą po elipsach, a Słońce znajduje się w jednym z ognisk tych elips.

R1Xw3cmcwq4TJ

Rys .1. Ilustracja przedstawia poziomą elipsę narysowaną czarną linią symbolizującą orbitę planety wokół słońca. W elipsie widoczne są długa i krótka oś narysowane w postaci poziomej i pionowej czarnej, przerywanej linii. Promień długiej, poziomej osi oznaczono małą literą a, natomiast promień krótkiej os oznaczono małą literą b. W elipsie zaznaczono położenia dwóch ognisk Wielka litera F z indeksem dolnym jeden po lewej stronie i wielka litera F z indeksem dolnym dwa po prawej stornie od środka elipsy, wyznaczonego jako punkt przecięcia się jej długiej i krótkiej osi. Ogniska zaznaczono czarnymi punktami. W ognisku wielka litera F z indeksem dolnym dwa po prawej stronie widoczne jest Słońce narysowane w postaci okręgu o czarnej krawędzi i białym wypełnieniu. Na odbicie po lewej stronie w dolnej części elipsy widoczna jest planeta narysowana w postaci czarnego punktu. Odległość pomiędzy Słońcem i planetą narysowano w postaci czarnej linii i opisano jako promień wodzący. Przez ognisko wielka litera F z indeksem dolnym dwa, w którym umiejscowiono Słońce ora przez skrajne prawy i lewy punkt elipsy poprowadzono pionowe, czarne i przerywane linii, służące do opisu odległości. Odległość pomiędzy ogniskiem wielka litera F z indeksem dolny dwa a najbardziej oddalonym punktem orbity opisano jako mała litera r z indeksem dolnym małą litera a. Odległość pomiędzy ogniskiem wielka litera F z indeksem dolnym dwa a punktem orbity w najbliższym ognisku opisano jako mała litera r z indeksem dolnym mała litera p.

Punkty $F_1$ i $F_2$ to ogniska elipsy. W $F_2$ znajduje się Słońce. Odległość $a$ nazywamy wielką półosiąWielka półoświelką półosią elipsy, $b$ - małą półosiąMała półośmałą półosią elipsy, natomiast $c$ to odległość pomiędzy ogniskiem elipsy a jej środkiem. Odległości $r_a$ i $r_p$ to odpowiednio odległość do apheliumApheliumaphelium oraz odległość do peryheliumPeryheliumperyhelium. Zauważmy, że $r_a = a + c$, natomiast $r_p = a - c$.

Kepler na początku XVII wieku analizował obserwacyjne dane, które dotyczyły położenia planet na niebie w znanych odstępach czasu pomiędzy kolejnymi pomiarami. Dzięki temu wyznaczył zależność, jaką sformułował w swoim drugim prawie.

Kepler sformułował to prawo również w następujący sposób: prędkość polowa w ruchu planet wokół Słońca jest stała. Czym jest prędkość polowa? Dziś nie używamy często tego pojęcia. Zostało one wprowadzone w czasach, kiedy nie znano prawa grawitacji (Newton urodził się kilkadziesiąt lat później), a także nie znano zasady zachowania momentu pędu, z której wynika drugie prawo Keplera. Jeżeli promień wodzący zakreśla w pewnym czasie $\Delta t$ pole powierzchni $\Delta A$, wówczas prędkość polowa zdefiniowana jest jako

Więcej o zależności pomiędzy momentem pędu a drugim prawem Keplera dowiesz się w e‑materiale „Jaki jest związek między II prawem Keplera a zasadą zachowania momentu pędu?”.

RH96ERT0PqbVH

Rys. 2. Ilustracja przedstawia poziomą elipsę narysowaną czarną linia, z zaznaczonymi długą i krótką osią w postaci poziomej i pionowej, czarnych, przerywanych linii. Prawe ognisko elipsy zaznaczono w postaci czarnego punktu stanowiącego środek małego okręgu narysowanego czarną linią. Na orbicie zaznaczono dwa czarne punkty. Jedne w prawej dolnej części elipsy, w którym opisano prędkość planety widocznej w postaci tego czarnego punktu jako mała litera v z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. Drugi punkt zaznaczono w prawej górnej części orbity, a prędkość planety w tej części elipsy oznaczono jako mała litera v z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor. Planet porusza się po eliptycznej orbicie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Na wykresie zaznaczono dwa pola, zakreślone przez promień wodzący planety, które zakreślone zostały w ciągu jednego miesiąca. Kąt rozwarcia pomiędzy promieniami w części bardziej oddalonej od prawego ogniska elipsy jest mniejszy. W tej części planeta porusza się z prędkością małą litera v z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. Zakreślone pole oznaczono wielką literą A z indeksem dolnym jeden. W części gdzie planeta porusza się z prędkością mała litera v z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor kąt rozwarcia między promieniami ograniczającymi zakreślone pole jest większy. W tej części zakreślone pole oznaczono wielką literą A z indeksem dolnym dwa. Pola zakreślone przez promienie wodzące w takim samym czasie są sobie równe. Prędkość w części bardzie oddalonej od ogniska jest mniejsza niż w części bliżej jego położenia.

Zgodnie z II prawem Keplera, pola zaznaczone w różnych miejscach orbity szarym kolorem na Rys. 2., zakreślone przez promienie wodzące w równych odstępach czasu, są sobie równe. Blisko peryhelium, gdzie promienie wodzące są najkrótsze, planeta zakreśla większy łuk – przebywa dłuższą drogę $\Delta s$ – niż w pobliżu aphelium, w którym promienie wodzące są najdłuższe.

Wyobraźmy sobie, że elipsa jest tak duża, że jej wybrane fragmenty w krótkich przedziałach czasu możemy przybliżyć trójkątami. Rozważmy pola powierzchni zakreślone przez promienie wodzące w peryhelium ($r_p$) i aphelium ($r_a$) w czasie $\Delta t$. Zgodnie z drugim prawem Keplera, pola te są sobie równe. Jeżeli skorzystamy z przybliżenia tych pól trójkątami równoramiennymi, wóczas w aphelium pole powierzchni zakreślone przez promień wodzący jest równe

a w peryhelium

przy założeniu, że promienie $r_a$ i $r_p$ są wysokościami tych trójkątów, a przebyte przez planetę drogi $\Delta s_1$ i $\Delta s_2$ ich podstawami.

Dodatkowo wiemy, że $\Delta s = v\cdot \Delta t$. Ponieważ pole musi zostać zachowane w ustalonym przedziale czasu, to otrzymujemy równość

Z równości tej otrzymujemy zależność pomiędzy prędkościami w aphelium i peryhelium

gdzie $a$ to wielka półoś, $c$ to odległość ogniska od środka elipsy, a $e$ to mimośród elipsyMimośród (ekscentryczność)mimośród elipsy. Z tej zależności jasno wynika, że prędkość orbitalna planety w peryhelium będzie zawsze największa, a w aphelium najmniejsza.

Słowniczek