Warto przeczytać

Praca w sensie fizycznym ma dwa znaczenia:

1. Jest to sposób zamiany jednego rodzaju energii w inny (a zatem pewien proces);

2. Jest to wielkość fizyczna, która opisuje powyższy proces, czyli mówi, ile energii zostało zamienione z jednej formy w drugą.

Definicja pracy jako wielkości fizycznej jest następująca:

gdzie $\alpha$ jest kątem między wektorami siły $\overrightarrow{F}$ oraz przemieszczenia $\Delta \overrightarrow{r}$.

Więcej informacji na temat pracy oraz jej definicji znajdziesz w e‑materiale „Praca mechaniczna i jej jednostka”. Różnorodne zadania dotyczące pracy umieściliśmy w e‑materiałach „Praca i moc w zadaniach” oraz „Praca i moc w zadaniach – przykłady”. W tym e‑materiale skupimy się przede na badaniu zależności pomiędzy pracą a przemieszczeniem.

Przykład 1 – praca podczas niesienia zakupów

Gdy nosimy ciężkie torby z zakupami, często mówimy, że „napracowaliśmy się” dostarczając je do domu. Sprawdźmy, jak wygląda to zagadnienie opisane za pomocą precyzyjnego języka fizyki. Rozważymy działanie siły $\overrightarrow{F}$ pochodzącej od mięśni naszych rąk w dwóch sytuacjach:

1. na poziomej drodze ze sklepu do domu niesiemy torby cały czas na tej samej wysokości;

2. wnosimy torby po schodach do mieszkania, również utrzymując je na stałej wysokości względem schodów.

Siły działające na torbę można przedstawić następująco:

RMWpRNOZ6Nm0Y

Rys. 1. Zdjęcie prezentuje zbliżenie na torbę z zakupami niesioną przez przechodnia. W torbie znajdują się jabłka. Do środka ciężkości torby przyłożone są dwa wektory sił, narysowane w postaci pionowych strzałek. Jedna ze strzałek jest niebieska i skierowana pionowo w dół. Strzałka ta to wektor siły ciężkości opisany wielką literą F z indeksem dolnym mała litera c i strzałką oznaczającą wektor równy iloczynowi masy opisanej małą literą m oraz przyspieszenia grawitacyjnego – mała litera g ze strzałką oznaczającą wektor. Druga strzałka jest czerwona i skierowana pionowo w górę. Czerwona strzałka symbolizuje siłę mięśni ręki trzymającej torbę, opisana jest wielką literą F ze strzałką oznaczająca wektor. Obie strzałki są tej samej długości, co oznacza, że obie siły mają równe wartości. Trzymana w ręku torba z zakupami nie zmienia swojej wysokości podczas niesienia.

Na torbę działa pionowo w dół siła ciężkości $\overrightarrow{F_c}$. Z drugiej strony torba jest utrzymywana poprzez siłę $\overrightarrow{F}$ pochodzącą od mięśni ręki. Aby torba nie poruszała się w kierunku pionowym, siły te powinny się równoważyć, tj. $F=F_c=mg$.

Sytuacja 1:

W przypadku, gdy z torbą idziemy po chodniku, utrzymując ją na stałej wysokości, przemieszczenie torby $\Delta \overrightarrow{r}$ jest wektorem skierowanym poziomo. Siła naszych mięśni $\overrightarrow{F}$ jest z kolei przyłożona pionowo, co wynika z Rys. 2.

RQoIpx31GAnOX

Rys. 2. Ilustracja przedstawia uproszczoną sylwetkę idącego mężczyzny niosącego w ręku torbę. Mężczyzna idzie w kierunku poziomym w prawo. W prawym ręku trzyma żółtą torbę, do której środka masy przyłożono trzy wektory narysowane w postaci kolorowych strzałek. Jedna ze strzałek jest niebieska i skierowana pionowo w dół. Strzałka ta to wektor siły ciężkości opisany wielką literą F z indeksem dolnym mała litera c i strzałką oznaczającą wektor, równy iloczynowi masy – mała litera m oraz przyspieszenia grawitacyjnego opisanego małą literą g ze strzałką oznaczającą wektor. Kolejna strzałka jest czerwona i skierowana pionowo w górę. Czerwona strzałka symbolizuje siłę mięśni ręki trzymającej torbę, opisana jest wielką literą F ze strzałką oznaczająca wektor. Obie strzałki są tej samej długości, co oznacza, że obie siły mają równe wartości. Trzymana w ręku torba z zakupami nie zmienia swojej wysokości. Trzecia strzałka jest zielona i skierowana poziomo w prawo, zgodnie z kierunkiem przemieszczania się mężczyzny. Strzałka ta symbolizuje wektor przemieszczenia opisany wielką grecką literą delta i małą literą r ze strzałką oznaczającą wektor.

Oznacza to, że kąt między wektorami wynosi 90°, a jego cosinus – zero. Praca siły $\overrightarrow{F}$ jest więc w tym przypadku równa zero! Sytuacja taka zupełnie nie zgadza się z naszym potocznym rozumieniem pracy. Prawa fizyki są jednak nieubłagane – aby, w sensie fizycznym, została wykonana jakaś praca, wektor siły musi, przynajmniej częściowo, działać w kierunku przemieszczenia.

Sytuacja 2:

Załóżmy, że wchodzimy z torbami po schodach na $n$-te piętro, a wysokość pomiędzy kolejnymi piętrami wynosi $h$.

R1Kdnotkfa8BN

Rys. 3. Ilustracja przedstawia schematycznie narysowaną sylwetkę mężczyzny niosącego torbę. Mężczyzna wchodzi po schodach. Schody od parteru na pierwsze piętro biegną w górę i w prawo. Schody od pierwszego piętra na piętro drugie, biegną w górę i w lewo. Wysokość pięter opisana jest małą literą h i zaznaczona w postaci dwustronnie zakończonej grotami pionowej strzałki obok rysunku. Wysokość pomiędzy parterem i pierwszym piętrem jest taka sama, jak wysokość pomiędzy pierwszym i drugim piętrem. W prawym ręku mężczyzna trzyma torbę, do której środka masy przyłożono trzy wektory narysowane w postaci kolorowych strzałek. Jedna ze strzałek jest niebieska i skierowana pionowo w dół. Strzałka ta opisuje wektor siły ciężkości wielką literą F z indeksem dolnym mała litera c i strzałką oznaczającą wektor, równa jest iloczynowi masy – mała litera m oraz przyspieszenia grawitacyjnego opisanego małą literą g ze strzałką oznaczającą wektor. Druga strzałka jest czerwona i skierowana pionowo w górę. Czerwona strzałka symbolizuje siłę mięśni ręki trzymającej torbę, opisana jest wielką literą F ze strzałką oznaczającą wektor. Obie strzałki są tej samej długości, co oznacza, że obie siły mają równe wartości. Trzymana w ręku torba z zakupami nie zmienia swojej wysokości w stosunku do ciała mężczyzny, jednak przemieszcza się w kierunku pionowym, ponieważ jest wnoszona po schodach. Trzecia strzałka jest zielona i skierowana pionowo w górę. Strzałka ta symbolizuje wektor przemieszczenia, opisana jest wielką grecką literą delta i małą literą r ze strzałką oznaczającą wektor. Strzałka symbolizująca wektor przemieszczenia jest znacznie dłuższa niż strzałki opisujące wektory sił.

Podczas wchodzenia po schodach przemieszczamy się zarówno w pionie, jak i w poziomie. Z poprzedniego przykładu wiemy, że praca siły $\overrightarrow{F}$ związana z przemieszczeniem w poziomie wynosi zero. Wystarczy więc rozważyć jedynie pracę tej siły przy przemieszczeniu pionowym. W tym przypadku kierunek i zwrot siły $\overrightarrow{F}$ pokrywa się z kierunkiem przemieszczenia – kąt pomiędzy wektorami $\overrightarrow{F}$ oraz $\Delta \overrightarrow{r}$ wynosi zero. Pionowe przemieszczenie przy wchodzeniu na określone piętro wynosi:

Praca siły zależy od numeru piętra, na które wnosimy torbę i jest równa:

Analizując ten wynik pod kątem obydwu definicji pracy, dochodzimy do wniosku, że wchodzenie na piętro było procesem zmiany energii potencjalnej ciała (definicja 1), a zmiana ta jest co do wartości równa wartości pracy mechanicznej wykonanej przez siłę $\overrightarrow{F}$ (definicja 2).

Na koniec rozważmy jeszcze, jaką pracę wykonała siła ciężkości w tym przypadku. Siła ciężkości jest również równoległa do przemieszczenia, lecz jej zwrot jest przeciwny. Kąt pomiędzy wektorami $\overrightarrow{F_c}$ oraz $\Delta \overrightarrow{r}$ wynosi więc 180°, a zatem $cos180°=-1$. Praca siły ciężkości byłaby zatem równa

Przykład 2 – praca siły przy przemieszczaniu pudła po gładkim podłożu

Przeanalizujemy teraz wartość pracy wykonanej przez siłę $\overrightarrow{F}$ przesuwającą pudło o masie $m$ po poziomej, gładkiej podłodze. Załóżmy dodatkowo, że pionowa składowa siły $\overrightarrow{F}$ jest mniejsza od siły ciężkości (ciało nie zostaje unoszone). Siła ta może być przyłożona pod dowolnym kątem $\alpha$ do przemieszczenia $\Delta \overrightarrow{r}$. Sytuację tę, wraz z działającymi siłami, przedstawiliśmy na Rys. 4.

RT98i3VOgL0xZ

Rys. 4. Rysunek prezentuje siły działające na przesuwaną skrzynię. Skrzynię narysowano w postaci niebieskiego prostokąta osadzonego na płaskiej poziomej powierzchni w postaci czarnego odcinka. Do środka skrzyni stanowiącego jej środek masy, przyłożono kolorowe strzałki symbolizujące wektory sił. Jedna ze strzałek jest fioletowa i skierowana pionowo w dół. Symbolizuje siłę ciężkości, opisana jest wielką literą F z indeksem dolnym mała litera c i strzałką oznaczającą wektor. Wektor siły ciężkości jest równy iloczynowi masy – mała litera m i przyspieszenia grawitacyjnego mała litera g ze strzałką oznaczającą wektor. Druga ze strzałek jest czerwona i skierowana w prawo w górę. Strzałka ta symbolizuje siłę wywołującą ruch skrzyni, opisana jest wielką literą F ze strzałką oznaczającą wektor. Siła z jaką ciągnięta jest skrzynia jest skierowana pod kątem ostrym do kierunku poziomego, opisanym małą grecką literą alfa. Siła wywołująca ruch skrzyni rozłożona jest na wektory sił składowych w kierunkach poziomym i pionowym. Składowe siły pokazano w postaci zielonych strzałek. Jedna z nich jest skierowana pionowo w górę i opisana wielką literą F z indeksem dolnym mała litera y i strzałką oznaczającą wektor. Druga składowa jest pozioma i skierowana w prawo. Opisano ją wielką literą F z indeksem dolnym mała litera x i strzałką oznaczającą wektor. Składowe siły, wielka litera F, są jej rzutami na kierunek pionowy i poziomy. Do dolnej i środkowej części skrzyni przyłożono wektor jej przemieszczenia opisany wielką grecką literą delta i małą literą r ze strzałką oznaczającą wektor. Wektor przemieszczenia narysowano w postaci żółtej strzałki skierowanej poziomo w prawo.

Ruch skrzyni w kierunku poziomym wywołany jest przez poziomą składową siły $\overrightarrow{F}$. Jej wartość wynosi:

Praca siły $\overrightarrow{F}$ wynosi:

Wniosek wynikający z tego rozumowania jest następujący: praca wykonywana jest jedynie przez składową siły $\overrightarrow{F}$, która jest równoległa do przemieszczenia ciała. Ten sam wniosek wysnuliśmy w przykładzie 1. – tutaj przedstawiliśmy jeszcze jego dokładne matematyczne uzasadnienie.

Przykład 3 – praca sił przy obecności tarciatarcietarcia (Zadanie przeznaczone jest dla profilu rozszerzonego)

Rozważmy ponownie przykład pudła przesuwanego po poziomym podłożu. Tym razem wprowadźmy jednak pewien niezerowy współczynnik tarciawspółczynnik tarciawspółczynnik tarcia $f$. Załóżmy dodatkowo, że pionowa składowa siły $\overrightarrow{F}$ jest mniejsza od siły ciężkości (ciało nie zostaje unoszone). Rozkład sił w tym przypadku przedstawiliśmy na Rys. 5.

RAEam0oo13YK9

Rys. 5. Rysunek prezentuje siły działające na przesuwaną skrzynię. Skrzynię narysowano w postaci niebieskiego prostokąta. Skrzynia spoczywa na płaskiej poziomej powierzchni narysowanej w postaci czarnego odcinka. Do środka skrzyni, który stanowi jej środek masy, przyłożono kolorowe strzałki symbolizujące wektory sił. Jedna ze strzałek jest fioletowa i skierowana pionowo w dół. Symbolizuje siłę ciężkości opisaną wielką literą F z indeksem dolnym mała litera c i strzałką oznaczającą wektor. Wektor siły ciężkości jest równy iloczynowi masy – mała litera m i przyspieszenia grawitacyjnego opisanego małą literą g ze strzałką oznaczającą wektor. Druga ze strzałek jest czerwona i skierowana w prawo w górę. Strzałka ta symbolizuje siłę wywołującą ruch skrzyni, opisana jest wielką literą F ze strzałką oznaczająca wektor. Siła z jaką ciągnięta jest skrzynia skierowana jest pod kątem ostrym do kierunku poziomego i opisana małą grecką literą alfa. Siła wywołująca ruch skrzyni rozłożona jest na wektory sił składowych w kierunkach poziomym i pionowym. Składowe siły widoczne są w postaci zielonych strzałek. Jedna z nich jest skierowana pionowo w górę i opisana wielką literą F z indeksem dolnym mała litera y i strzałką oznaczającą wektor. Druga składowa jest pozioma i skierowana w prawo. Opisano ją wielką literą F z indeksem dolnym mała litera x i strzałką oznaczającą wektor. Składowe siły, wielka litera F, są jej rzutami na kierunek pionowy i poziomy. Do dolnej i środkowej części skrzyni przyłożono wektor jej przemieszczenia, opisany wielką grecką literą delta i małą literą r ze strzałką oznaczającą wektor. Wektor przemieszczenia narysowano w postaci żółtej strzałki skierowanej poziomo w prawo. Do dolnej krawędzi skrzyni przyłożono wektor siły tarcia opisany wielką literą T ze strzałką oznaczającą wektor. Wektor siły tarcia pokazany jest w postaci różowej poziomej strzałki skierowanej w lewo, przeciwnie do wektora przemieszczenia. Wektor siły tarcia jest krótszy niż wektor składowej poziomej siły, z jaką ciągnięta jest skrzynia, a zatem na ciało działa niezrównoważona siła w kierunku poziomym i zgodnie z drugą zasadą dynamiki porusza się ona w tym przypadku w prawo.

Pracę $W$ siły $\overrightarrow{F}$ wyznaczyliśmy już w przykładzie 2. – wynosi ona $W=F\Delta rcos\alpha$. W tym przypadku musimy dodatkowo określić pracę sił tarciatarcietarcia $W_T$. Siła tarciatarcietarcia jest proporcjonalna do naciskusiła naciskunacisku pudła na podłoże. Nacisksiła naciskuNacisk ten jest równy wypadkowej pionowych sił działających na pudło:

Wektor przemieszczenia $\Delta \overrightarrow{r}$ pudła skierowany jest w prawo, a wektor siły tarciatarcietarcia $\overrightarrow{T}$ w lewo. Oznacza to, że kąt pomiędzy tymi wektorami wynosi 180°. Praca siły tarciatarcietarcia jest zatem równa:

Rozważmy teraz wykonaną nad pudłem pracę z punktu widzenia zmian jego energii. Pod wpływem wypadkowej poziomej siły o wartości $F_{wx}=F_x-T$ pudło porusza się z przyspieszeniem:

Jeśli założymy, że pudło przed przyłożeniem siły spoczywało, możemy określić, ile czasu potrzebne było, by przemieściło się ono o $\Delta r$:

W tym czasie prędkość pudła zmieniła się o:

Pudło porusza się poziomo, więc jego wysokość nad Ziemią nie ulega zmianie. Zmienia się za to jego prędkość. Zmiana energii mechanicznej jest zatem równa zmianie energii kinetycznej. Początkowo pudło spoczywało, więc zmiana jego energii kinetycznej jest równa:

Z drugiej strony, całkowita praca sił działających na pudło jest równa sumie prac sił $\overrightarrow{F}$ oraz tarciatarcietarcia $\overrightarrow{T}$:

Wyrażenie w nawiasie możemy porównać z wyrażeniem oznaczonym gwiazdką (*) opisującym przyspieszenie pudła. Zauważamy wtedy, że:

Oznacza to, że całkowita praca sił działających na pudło jest równa zmianie jego energii mechanicznej! Ponownie przeanalizujmy ten wynik korzystając z dwóch definicji pracy. W myśl definicji pierwszej, praca jest procesem, w którym niezrównoważona siła rozpędza skrzynię, zwiększając jej energię kinetyczną, a siła tarciatarcietarcia hamuje skrzynię, zamieniając część energii kinetycznej na energię wewnętrzną. W myśl drugiej definicji, zarówno siła $\overrightarrow{F}$, jak i siła tarciatarcietarcia $\overrightarrow{T}$ wykonały pewne prace nad ciałem, a całkowita wartość pracy $W_c$ jest ich sumą (a uwzględniając znak pracy siły tarcia – różnicą).

Przykład 4: przemieszczenie ciała w dwóch wymiarach

Załóżmy, że chcemy podnieść ciało do góry, a następnie przemieścić je w poziomie – może być to na przykład książka, którą chcemy wstawić na górną półkę. Sytuację taką przedstawiliśmy na Rys. 6.

RHiYhXYndp22v

Rys. 6. Na schematycznym rysunku zielonego regału z trzema półkami zaprezentowano podnoszenie oraz przesuwanie książki umieszczonej na półce. Książka, narysowana w postaci niebieskiego prostokąta opatrzonego tytułem "Pan Tadeusz", pokazana jest w różnych pozycjach. Początkowo znajduje się w lewej części najniższej półki. Do środka masy książki przyłożono skierowany pionowo w górę wektor siły opisany wielką literą F z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. Wektor siły narysowano w postaci czerwonej strzałki. Siła ta powoduje przeniesienie książki na najwyższą z półek. Wektor przemieszczenia książki pod wpływem działania siły wielka litera F z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor, pokazano w postaci żółtej, pionowej strzałki skierowanej w górę ciągnącej się od wysokości środka masy książki w położeniu na najniższej półce regału do położenia na najwyższej półce. Wektor przemieszczenia opisano wielką grecką literą delta i małą literą r z indeksem dolnym jeden oraz strzałką oznaczającą wektor. Do książki znajdującej się w lewej części najwyższej półki regału przyłożono wektor siły wielka litera F z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor. Wektor ten ma kolor czerwony i jest skierowany poziomo w prawo. Działanie tej siły powoduje przesunięcie książki do pozycji pokazanej w prawej części najwyższej półki. Pomiędzy książkami na najwyższej półce poprowadzono wektor kolejnego przemieszczenia opisany wielką grecką literą delta i małą literą r z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor. Żółta, pozioma strzałka skierowana w prawo symbolizująca wektor tego przemieszczenia ciągnie się od położenia książki w lewej części do położenia w prawej części najwyższej półki regału.

Książka jest podnoszona do góry za pomocą siły $\overrightarrow{F_1}$ (wektor przemieszczenia wynosi wtedy $\Delta \overrightarrow{r_1}$), a następnie przesuwana w poziomie za pomocą siły $\overrightarrow{F_2}$ (wektor przemieszczenia wynosi wtedy $\Delta \overrightarrow{r_2}$). Jaka będzie całkowita praca wykonana przez obydwie siły? Będzie ona równa sumie prac wykonanych osobno przez siły $\overrightarrow{F_1}$ oraz $\overrightarrow{F_2}$. Wyznaczmy wartości tych prac:

Całkowita praca sił wyniesie zatem:

Słowniczek