Przeczytaj
Warto przeczytać
Sposób obliczania niepewności pomiarów zależy od tego, czy zostały one wykonane w sposób bezpośredni, czy pośredni.
Przypomnijmy, że
Pomiar bezpośredni to taki, który jest wykonywany przy użyciu jednego przyrządu i od razu daje ostatezczny wynik. Innymi słowy: w takich pomiarach wartość wielkości mierzonej uzyskuje się bezpośrednio, tj. bez potrzeby wykonywania dodatkowych obliczeń. Przykładami takich pomiarów są: pomiar długości stołu przy użyciu linijki, pomiar średnicy pręta przy użyciu suwmiarki, pomiar czasu przy użyciu stopera, czy pomiar napięcia przy użyciu woltomierza.
Pomiar pośredni (tzw. złożony) polega natomiast na bezpośrednim zmierzeniu jednej lub kilku różnych wielkości fizycznych i obliczeniu wartości poszukiwanej wielkości na podstawie wzoru wiążącego wielkości mierzone bezpośrednio. Przykładami pomiarów pośrednich są: wyznaczenie pola powierzchni bocznej walca na podstawie pomiarów jego wysokości i średnicy podstawy, wyznaczenie rezystancji na podstawie pomiaru natężenia prądu i napięcia, czy wyznaczenie wartości przyspieszenia ziemskiego na podstawie długości i okresu drgań wahadła matematycznego (zob. materiał pt. Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego).
O tym, w jaki sposób wyznacza się niepewności pomiarów bezpośrednich, możesz przeczytać w materiale pt. Niepewność całkowita. W tym materiale omówimy metodę wyznaczania niepewności pomiarów pośrednich. Będziemy przy tym zakładać, że znamy wszystkie niepewności tych wielkości, które zostały wyznaczone w sposób bezpośredni i są nam potrzebne do wyznaczenia wielkości mierzonej pośrednio.
Metodę, o której będzie mowa, nazywa się często prawem przenoszenia (lub składania) niepewności, gdyż pokazuje ona, w jaki sposób niepewności pomiarów bezpośrednich wpływają (tj. przenoszą się) na niepewność pomiaru pośredniego.
W dalszej części tego materiału przedstawimy dwa algorytmyalgorytmy, dzięki którym łatwo przyswoisz sobie metodę liczenia niepewności w pomiarach pośrednich. Pierwszy z tych algorytmów dotyczy metody liczenia niepewności w sytuacji, gdy pomiar pośredni zależy tylko od jednej wielkości mierzonej bezpośrednio. Drugi algorytm uogólnia metodę liczenia niepewności pomiarów pośrednich na przypadek wielu pomiarów bezpośrednich. Wykorzystanie obydwu algorytmów zostało zilustrowane odpowiednio dobranymi przykładami.
Algorytm składania niepewności - przypadek JEDNEJ zmiennej wejściowej
Załóżmy, że wielkość fizyczna , którą chcemy wyznaczyć, zależy tylko od jednej wielkości , którą można wyznaczyć bezpośrednio:
Aby obliczyć niepewność pomiarową tej wielkości, należy:
KROK 1. wyznaczyć niepewność pomiarowąniepewność pomiarową ,
KROK 2. skorzystać z poniższego wzoru:
Na Rys. 1. pokazano, w jaki sposób należy interpretować wzór (2) i na czym polega przenoszenie niepewności pomiarowych w przypadku pomiarów pośrednich zależnych tylko od jednego pomiaru bezpośredniego. Zwróć uwagę, że dzięki zależności każdy punkt należący do odcinka niepewności , wokół bezpośrednio zmierzonej wartości , jest odwzorowywany na punkt należący do przedziału wokół wartości pomiaru pośredniego. Zatem, o ile jest to zależność monotoniczna, przedziałowi niepewności zmiennej niezależnej odpowiada pewien przedział niepewności zmiennej zależnej. Związek między długościami tych przedziałów zależy od tempa wzrostu tej funkcji.
Przykład 1. Pole przekroju poprzecznego walca
Przekrój poprzeczny stalowego pręta ma kształt koła, którego średnica została zmierzona suwmiarką z dokładnością . Ile wynosi pole powierzchni tego przekroju i jaka jest jego niepewność pomiarowa?
Pole przekroju pręta można obliczyć ze znanego wzoru:
gdzie przyjęliśmyprzyjęliśmy . Uzyskany wynik, podany z dokładnością do dziesięciotysięcznej części , wygląda nieco dziwacznie. Dopiero gdy obliczymy niepewność pomiarową, będziemy mogli go zaokrąglić do odpowiedniej liczby cyfr znaczących.
W dalszej części tego przykładu, zamiast symbolu będziemy pisali , zaznaczając w ten sposób, że pole przekroju (tj. pole koła) obliczamy, korzystając z bezpośredniego pomiaru średnicy.
Niepewność pomiarową pola przekroju pręta znajdujemy, realizując kolejne kroki zamieszczonego powyżej algorytmu:
KROK 1. Wyznaczamy niepewność związaną z pomiarem średnicy. Niepewność granicznaNiepewność graniczna tego pomiaru, która jest związana z rozdzielczością suwmiarki, wynosi .
Niepewność (standardowa)Niepewność (standardowa) wobec tego równa jest .
KROK 2. Korzystamy ze wzoru (2):
Podstawiając w tym wyrażeniu: i , a następnie - korzystając ze wzorów skróconego mnożenia na kwadrat sumy i różnicy dwóch liczb - dostajemy
Zgodnie z zaleceniami niepewność pomiarową podaliśmy z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.
Teraz możemy już zapisać ostateczny wynik wykonanego pomiaru pośredniego. Pole przekroju poprzecznego pręta jest równe (por. wzory (3) i (5)):
Względna niepewność wykonanego pomiaru pośredniego wynosi więc
Jest ona mniejsza niż 1%, co jest bardzo przyzwoitym wynikiem jeśli chodzi o pomiary wykonane w pracowni szkolnej. Zauważ też, że ta niepewność jest dwukrotnie większa od niepewności pomiaru bezpośredniego:
Algorytm składania niepewności - przypadek WIELU zmiennych wejściowych
Załóżmy, że wielkość fizyczna , którą chcemy wyznaczyć, zależy od dwóch innych wielkości (np. i ), które można wyznaczyć bezpośrednio:
Aby wyznaczyć niepewność pomiarową tej wielkości, należy kolejno:
KROK 1. wyznaczyć standardowe niepewności pomiarowestandardowe niepewności pomiarowe wszystkich wielkości fizycznych zmierzonych w sposób bezpośredni. W naszym przypadku będą to niepewności i ,
KROK 2. obliczyć tzw. udziały niepewności: i , jakie te bezpośrednio zmierzone wielkości wnoszą do niepewności wielkości mierzonej pośrednio,
KROK 3. wyznaczyć niepewność jako pierwiastek z sumy kwadratów wszystkich udziałów:
Zauważ, że powyższe wzory można łatwo uogólnić na dowolną liczbę wielkości wejściowych, tzn. takich, które są mierzone w sposób bezpośredni. W szczególności gdy mamy do czynienia z funkcją tylko jednej zmiennej, drugi z przedstawionych algorytmów sprowadza się do pierwszego.
Przykład 2. Pole powierzchni bocznej walca
Wysokość stalowego pręta o przekroju poprzecznym w kształcie koła wynosi , a średnica jego przekroju jest równa . Wysokość pręta zmierzono taśmą mierniczą z dokładnością , a średnicę zmierzono suwmiarką z dokładnością . Wiedząc to, zmierz pole powierzchni bocznej tego pręta. Wynik podaj wraz z niepewnością pomiarową.
Pole powierzchni bocznej walca obliczamy ze wzoru
W dalszej części tego przykładu zamiast symbolu będziemy pisali , zaznaczając w ten sposób, że pole powierzchni bocznej zależy od dwóch zmiennych, a pomiar jest pośredni - wartość wyniku wyznaczamy, korzystając z bezpośrednich pomiarów średnicy i wysokości pręta. Niepewność tego pomiaru pośredniego znajdujemy przez realizację kolejnych trzech kroków algorytmu:
KROK 1. Wyznaczamy niepewności pomiaroweniepewności pomiarowe pomiarów bezpośrednich:
KROK 2. Obliczamy udziały niepewności pomiarów bezpośrednich, zaokrąglając do czterech cyfr znaczących dla potrzeb dalszych obliczeń:
KROK 3. Wyznaczamy niepewność pomiaru objętości jako pierwiastek z sumy kwadratów wszystkich udziałów. Wynik zaokrąglamy - zgodnie z zasadami - do dwóch cyfr znaczących:pole powierzchni bocznej pręta jest równe
Szukane pole powierzchni bocznej pręta jest więc równe
Względna niepewność wykonanego pomiaru wynosi
Jest ona mniejsza niż 1%. Zauważ też, że ta niepewność jest większa od każdej z niepewności względnych pomiarów bezpośrednich, gdy są one brane osobno, ale mniejsza od sumy tych niepewności:
W fizyce wiele wzorów ma postać: sumy, różnicy, iloczynu lub ilorazu różnych wielkości fizycznych. Z tego powodu w wielu zastosowaniach praktycznych zachodzi potrzeba wyznaczania niepewności pomiarów pośrednich, w których mierzoną wielkość uzyskuje się dodając, odejmując, mnożąc lub dzieląc wielkości mierzone bezpośrednio. Zamieszczone poniżej zestawienie wzorów na niepewności pomiarów pośrednich może okazać się pomocne w takich przypadkach. Najtrudniejszy z zmieszczonych wzorów wyprowadzamy, w pozostałych przypadkach wyprowadzenie pozostawiamy zainteresowanym czytelnikom.
Funkcje jednej zmiennej:
funkcja liniowa: ,
funkcja kwadratowa: ,
funkcja potęgowa, z całkowitym wykładnikiem: .
Ad. 3.
Zakładając, że i korzystając z przybliżenia: , dostajemy:
Funkcje dwóch zmiennych:
niepewność wielkości ma zawsze postać pierwiastka z sumy kwadratów udziałów poszczególnych niepewności, , gdzie dla
sumy: , ,
różnicy: , ,
iloczynu: , ,
ilorazu: , .
Słowniczek
(ang. algorithm) – skończony ciąg jasno zdefiniowanych czynności koniecznych do wykonania pewnego rodzaju zadań, sposób postępowania prowadzący do rozwiązania problemu.
(ang. Pi, ozn. ) – stosunek obwodu okręgu do długości jego średnicy. Stosunek ten jest liczbą niewymierną, o przybliżonej wartości . Najczęściej podawaną, przybliżoną wartością tej liczby jest . W obliczeniach związanych z niepewnością pomiarów pośrednich należy posługiwać się takim jej przybliżeniem, które nie wpływa na niepewność tych pomiarów.
zwana dawniej niepewnością maksymalną - niepewność pomiaru wielkości fizycznej , oznaczana symbolem , związana z rozdzielczością i dokładnością przyrządu pomiarowego.
(ang. uncertainty of measurement) zwana również niepewnością standardową - niepewność pomiaru wielkości fizycznej , oznaczana symbolem , związana z rozrzutem wyników, które można uzyskać w serii niezależnych pomiarów wykonanych w powtarzalnych warunkach. W przypadku pomiarów bezpośrednich mamy dwa rodzaje niepewności standardowych: niepewność typu Aniepewność typu A (wyznaczoną w oparciu o statystyczne metody opracowania wyników) i niepewność typu Bniepewność typu B (wyznaczoną w oparciu o naukowy osąd badacza wykonującego pomiary i biorącego pod uwagę dostępne informacje nt. rozdzielczości przyrządów pomiarowych, wyniki poprzednich pomiarów itd.).
(ang. type A measurement uncertainty) - w sytuacji, gdy wynik pomiaru bezpośredniego jest średnią arytmetyczną z serii pomiarów, niepewność ta jest wyrażona odchyleniem standardowym wielkości średniej.
(ang. type B measurement uncertainty) - w sytuacji, gdy dysponujemy pojedynczym bezpośrednim pomiarem wielkości z niepewnością granicznąniepewnością graniczną , niepewność ta jest równa